Wetenschapsforum

stel je gooit een bal hard omhoog

v=100 m/s

we pakken voor de aarde 6* 10^24 kg = Ma

en de straal 6 * 10 ^ 6 m

en we willen weten op welke hoogte : v = 0

dus normaal 1/2 mv² = mgh

<=> h = v²/2g

maar dit geldt eigenlijk alleen voor lage snelheden want met iets dat te rap beweegt zal niet na ... 8000 km nog een versnelling g ondergaan.

dus

1/2mv² = F*h

<=> 1/2m v² = (G m Ma / (r + h)² ) * h

<=> 1/2 v² = (G *Ma / (r + h)² ) * h

maar het probleem is dat h vertdurend veranderd... en de snelheid weer veranderd waardoor h weer veranderd ...

als je die vergelijking zou oplossen naar h dan vind je :

2 2

√g·√m·√(g·m - 2·r·v ) (+ of -)( g·m - r·v)

h = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯------

2

v

maar klopt dit wel ?of niet?

de vergelijking naar h:

h =( gm - rv² +/- sqrt(gm(gm-2rv²))) /v²

sry

De formule voor potentiële energie wordt: -GmM/r, met m de massa van de bal en M de massa van de aarde, r is de afstand tot het middelpunt van de aarde.

Het energie verschil wordt dus: Ueinde - Ubegin=-GmM/r-(-GmM/R)

hierin is r=R+h

Dit energieverschil = kinetische energie.

Je kan r hier gemakkelijk uit halen.

De formule van U komt van: U=Integraal(GmM/r^2)dr

De gravitatiekracht is immers altijd naar het middelpunt van de aarde gericht en dus tegen dr in. Je moet geen rekening houden met een zijwaardse component want die is er niet.

volgens mij is de formule



Fg=f.Ma.M f.Ma.M

----- = ----------

®^2 (Ra+h)^2

en f= 6.67*10^-11N*m^2

--------

kg^2

Laat ik allereerst even opmerken dat je probleem niet helemaal relevant is. Wanneer je een bal met 100 km/h opgooit, hoef je je niet druk te maken over hoogtes van 8000 km. Die ga je toch bij lange na niet halen.

Maar anders:

0.5mv^2 = Fh klopt niet. Dit zou alleen werken als de kracht constant is. Dat is hier niet het geval, dus zul je in het rechterlid een integraal moeten gebruiken:

0.5mv^2 = int(F dh) met integratiegrenzen 0 en hf (gewoon een naam, niet meer). Je wil hierin hf bereken, dit is het hoogste punt wat je haalt.

vul in F = G m Ma / (r + h)²

0.5mv^2 = int(G m Ma / (r + h)² dh) = [-2GmMa/(r + h)^3] tussen 0 en hf

= -2GmMa/(r + hf)^3 - -2GmMa/(r + 0)^3

= 2GmMa(1/r^3 - 1/(r+hf)^3)

Als je hieruit hf isoleert, heb je je antwoord op de manier die jij beoogt. Voor deze snelheden is het echter moeilijk doen. F = mg voldoet ook.