Raar priem-idee...?

[Professor Puntje]

@ RedCat

Ah - dank! Dat gaat dus niet.

Is er iets over te zeggen wat interessante eigenschappen voor de gezochte bewerking ⊕ (en ⊗) zouden zijn?

[Professor Puntje]

Nee - dit klopt niet!

[Professor Puntje]

Nog een poging:

Het kernprobleem van de gezochte priemoptelling ⊕ is dat de gewone som van twee priemgetallen meestal zelf geen priemgetal is. Wellicht valt daar een mouw aan te passen door te werken met "vage priemgetallen", een generalisatie van priemgetallen. Je kunt een gewoon priemgetal p weergeven door de functie \( \mathfrak{p} \) van \( \mathbb{N} \) naar het interval [0,1] die overal 0 is behalve voor het argument p waar die 1 is. Onder vage priemgetallen verstaan we dan functies \( \mathfrak{p} \) van \( \mathbb{N} \) naar het interval [0,1] waarvoor:

\( \mathfrak{p}(n) = 0 \) indien n geen priemgetal is.
&
\( \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mathfrak{p}(p_i) = 1 \) (de normalisatie).

\(\)

Intuïtief kun je een vaag priemgetal zien als een priemgetal waarvan de waarde (over het algemeen) niet precies bekend is maar waarvan we wel weten dat het een priemgetal is en wat de kansverdeling van dat priemgetal over \( \mathbb{N} \) is. Alleen in het speciale geval wanneer een vaag priemgetal een gewoon priemgetal voorstelt is de exacte waarde van dat vage priemgetal bekend.

De priemoptelling ⊕ definiëren we dan in twee stappen:
1. Bepaal de kansverdeling van de som van twee vage priemgetallen uitgaande van de kansverdelingen van die twee vage priemgetallen.
2. Maak alle waarden van de in 1. gevonden kansverdeling nul voor de argumenten die geen priemgetallen zijn, en renormaliseer de resterende kansverdeling.

[Professor Puntje]

Nee - bovenstaande is ook nog niet in orde. Bij de vage versie van 2⊕2 gaat het al fout. Daar zou in eerste instantie een functie van \( \mathbb{N} \) naar [0,1] uit komen die voor het argument 4 gelijk aan 1 is en overal elders 0 is. Maar 4 is geen priemgetal dus moet die som in de tweede stap voor dat argument ook 0 worden, maar dan valt er niets meer te renormaliseren!

Dit probleem kunnen we wegnemen door vage priemgetallen aldus te definiëren:

Onder vage priemgetallen verstaan we functies \( \mathfrak{p} \) van \( \mathbb{N} \) naar het interval [0,1] waarvoor:

\( \mathfrak{p}(n) = 0 \) indien n geen priemgetal is.
&
\( \mathfrak{p}(n) > 0 \) indien n wel een priemgetal is.
&
\( \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mathfrak{p}(p_i) = 1 \) (de normalisatie).

\(\)

[tempelier]

Zojuist viel mij het volgende idee in:

Is het mogelijk een wiskundig interessante rekenkunde te ontwerpen met twee bewerkingen ⊕ en ⊗ zodanig dat voor a en b priemgetallen a⊕b en a⊗b ook steeds zelf weer priemgetallen zijn?

(Mocht zoiets al bestaan dan ben ik benieuwd wat dat is.)

Ik denk dat zoiets niet bekend is.
Zou dat wel zo zijn dan was er een manier bekend om van een gevonden Priem en grotere Priem te vinden.

Natuurlijk zijn er wel triviale mogelijkheden maar daar hebben we niet zo veel aan.

[Professor Puntje]

Interessante overweging! Dat maakt het inderdaad onwaarschijnlijk dat zo'n bewerking al bekend is.

En wat vind je van mijn voorstel om met 'vage priemgetallen' te werken?

[tempelier]

Interessante overweging! Dat maakt het inderdaad onwaarschijnlijk dat zo'n bewerking al bekend is.

En wat vind je van mijn voorstel om met 'vage priemgetallen' te werken?

Lost niets op.
Het enige wat je dan hebt is, dat er eentje zou moeten zijn, maar is die dan wel uniek?
Lijkt mij ook te veel op de Intuïtieve Wiskunde.

[Professor Puntje]

Intuïtieve wiskunde? Dergelijke begrippen kunnen toch netjes gedefinieerd worden?

[tempelier]

Hoe wil je dat dan vastleggen als er geen bewerkingsvoorschrift is?

[Professor Puntje]

Dat heb ik in een eerder berichtje aldus gedefinieerd:

De priemoptelling ⊕ definiëren we dan in twee stappen:
1. Bepaal de kansverdeling van de som van twee vage priemgetallen uitgaande van de kansverdelingen van die twee vage priemgetallen.
2. Maak alle waarden van de in 1. gevonden kansverdeling nul voor de argumenten die geen priemgetallen zijn, en renormaliseer de resterende kansverdeling.

[tempelier]

Ik zie niet goed wat die definitie werkelijk oplost.
(Ook is het me duidelijk hoe je die kansverdeling denkt te bepalen)

Ook is er iets vreemds aan het begin.
Je komt met twee bewerkingen, maar die hebben geen enkel verband.
Meestal wordt zo'n verband gelegd door de distributieve eigenschap of een (zwakkere) variant daarvan.

[Professor Puntje]

De kansverdelingen voor de vage versies van de gewone priemgetallen moeten gekozen worden. Eerst dacht ik dat simpelweg te doen door een gewoon priemgetal p voor te stellen door een functie \( \mathfrak{p} \) van \( \mathbb{N} \) naar [0,1] met \( \mathfrak{p}(x) = 1 \) voor x=p en \( \mathfrak{p}(x) = 0 \) voor x≠p, maar dat pakte verkeerd uit. Ik denk nu dat een gerenormaliseerde poissonverdeling wel werkt. Dus neem voor ieder gewoon priemgetal p een poissonverdeling met de verwachtingswaarde λ=p; maak dan alle functiewaarden voor een niet-priem argument 0; en renormaliseer die verdeling dan weer zodat de totale kans op een willekeurige uitkomst 1 wordt.

Het verband tussen de priemoptelling ⊕ en priemvermenigvuldiging ⊗ moet nog worden uitgewerkt. Maar ik wil eerst een werkende priemoptelling hebben.

[Onno Dekker]

Snap er weinig van, maar misschien kan je het probleem aanpakken door een programma.

# define uptoprime(I,P) for(P+=2ul, I=3ul; P%I && I < P/I; I += 2ul); I = (P%I == 0ul && P != 3ul)?(P/I):P
# define isprime(I,P) for( I=3ul; P%I && I < P/I; I += 2ul); I = (P%I == 0ul && P != 3ul)?(0ul):P
# define downtoprime(I,P) for(P-=2ul, I=3ul; P%I && I < P/I; I += 2ul); I = (P%I == 0ul && P != 3ul)?(P/I):P

en wat macro's als begin voor de leesbaarheid.

Veel succes.

Onno

[Professor Puntje]

En daar snap ik nu weer weinig van, maar misschien anderen hier wel...

[mathfreak]

@Onno: Welke programmeertaal gebruik je hier?