Pagina 1 van 1

Is er een algemene formule voor de oplossingen?

Geplaatst: wo 17 jul 2019, 21:08
door Professor Puntje
Is er een algemene formule (d.w.z. voor alle natuurlijke n) voor de (reële en complexe) oplossingen van 2.xn = x + 1 ?

Re: Is er een algemene formule voor de oplossingen?

Geplaatst: do 18 jul 2019, 09:11
door tempelier
Mij niet bekend.

Maar als men neemt n=p+1

Dan geeft dit:
\(x^p=\frac{1}{2}+\frac{1}{2x}\)
Die laat gelijk zien dat x=1 de enige natuurlijke oplossing is.

PS.
Wat houd jij aan voor 0, wel of niet natuurlijk?
Ik ben ouderwets, dus ik doe het niet.

Re: Is er een algemene formule voor de oplossingen?

Geplaatst: do 18 jul 2019, 09:36
door Xilvo
Als p=1, dan is x= -½ ook en oplossing. Of bedoel je iets anders?

Re: Is er een algemene formule voor de oplossingen?

Geplaatst: do 18 jul 2019, 09:43
door Professor Puntje
Het gaat mij vooral om de hogere waarden van n (zeg maar n > 4), dus of 0 mee doet is niet zo belangrijk (dat geval gebruik ik toch niet).

Re: Is er een algemene formule voor de oplossingen?

Geplaatst: do 18 jul 2019, 09:55
door Professor Puntje
Misschien helpt het om ook de achtergrond van deze vraag te weten. Ik zoek een algemene oplossing (voor alle positieve natuurlijke k) van de differentievergelijking:

x[n] = 1/2 . ( x[n - (k-1)] + x[n-k] )

(Let op: in deze differentievergelijking is n de discrete variabele, en k de positieve natuurlijke constante.)

Re: Is er een algemene formule voor de oplossingen?

Geplaatst: do 18 jul 2019, 10:25
door tempelier
Xilvo schreef:
do 18 jul 2019, 09:36
Als p=1, dan is x= -½ ook en oplossing. Of bedoel je iets anders?
Die heb ik in mijn drift even over de kop gezien.

Bedankt voor de aanvulling.

Re: Is er een algemene formule voor de oplossingen?

Geplaatst: do 18 jul 2019, 13:45
door ukster
Professor Puntje schreef:
do 18 jul 2019, 09:55
Misschien helpt het om ook de achtergrond van deze vraag te weten. Ik zoek een algemene oplossing (voor alle positieve natuurlijke k) van de differentievergelijking:

x[n] = 1/2 . ( x[n - (k-1)] + x[n-k] )

(Let op: in deze differentievergelijking is n de discrete variabele, en k de positieve natuurlijke constante.)
jullie zijn de tenslotte mannen met uitgebreide kennis van zaken.
ik ben slechts een goedwillende amateur, heb een youtubevideootje bekeken over differentievergelijkingen en dacht: laat ik dit eens even toe passen op de vergelijking van Puntje.
recursive series.png
En nu zit ik met de vraag: kan iemand me uitleggen wat hiervan de de zin en/of de complete onzin is en heb ik eigenlijk wel begrepen wat je precies bedoeld met de algemene oplossing.

Re: Is er een algemene formule voor de oplossingen?

Geplaatst: do 18 jul 2019, 14:11
door Professor Puntje
Nou nou ukster - ik ben ook maar een amateur hoor. Ik heb een paar jaar op de universiteit rondgelopen, maar dat ging mij allemaal veel te snel. De bedoeling van mijn algemene oplossing is dat deze in een explicite vorm staat, dat wil zeggen dat je gegeven een zekere n direct x[n] kunt berekenen.

Re: Is er een algemene formule voor de oplossingen?

Geplaatst: wo 07 aug 2019, 18:29
door Professor Puntje
Als een algemene oplossing voor de vergelijking 2.xn = x + 1 niet bekend is, is het dan wellicht wel zo dat er algemene studies over vergelijkingen van deze vorm bestaan?

Re: Is er een algemene formule voor de oplossingen?

Geplaatst: wo 07 aug 2019, 20:11
door Professor Puntje
Misschien biedt de wonderlijke Lambert W-functie uitkomst: http://www.cs.uwaterloo.ca/research/tr/1993/03/W.pdf

Re: Is er een algemene formule voor de oplossingen?

Geplaatst: za 10 aug 2019, 14:23
door Professor Puntje
Professor Puntje schreef:
wo 07 aug 2019, 20:11
Misschien biedt de wonderlijke Lambert W-functie uitkomst: http://www.cs.uwaterloo.ca/research/tr/1993/03/W.pdf
Zie ook (hoofdstuk 7 van):

https://www.researchgate.net/publicatio ... 6/download

Helaas kan ik er geen wijs uit worden of die oplossingen nu wel of niet in termen van de W-functie geschreven kunnen worden. :(

Re: Is er een algemene formule voor de oplossingen?

Geplaatst: ma 12 aug 2019, 12:15
door Professor Puntje
Jammer - maar kennelijk is er voor de beschouwde vergelijking met de Lambert W-functie ondanks de gelinkte artikelen maar weinig te beginnen. Zie: