Taylorreeksen

[MartoO]

Ik ben op zoek naar de afleiding van de taylorreeks van de sinusfunctie.
Deze vergelijking luidt: sin x = x/1! - x^3/ 3! + x^5/5! -x^7/7! , enz.
Wie kan mij vertellen waar deze beschreven staat of hoe ik deze zelf kan uitrekenen of bepalen.

[Marko]

Dat kun je vrijwel direct afleiden uit de definitie van de Taylor-reeks (zie https://nl.wikipedia.org/wiki/Taylorreeks#Definitie)

Wat jij opschrijft is de reeksontwikkeling van sin x rond het punt x=0.

Dan moet je dus bepalen wat f(0), f'(0), f''(0), enzovoort zijn.

Als f(x) = sin x, is f'(x) = cos x, f''(x) = -sin x, f'''(x) = -cos x en f''''(x) = sin x enzovoort

Dus wordt de reeksontwikkeling sin 0 + cos 0/1! * x - sin 0/2! * x² - cos 0/3! * x³ enzovoort.

\(sin \space 0 + \frac {cos \space 0}{1!} x - \frac {sin \space 0}{2!} x^2 - \frac {cos \space 0}{3!} x^3 + \frac {sin \space 0}{4!} x^4 + \frac {cos \space 0}{5!} x^5 ....\)

Aangezien sin 0 = 0 vallen alle termen met sin weg. En cos 0 = 1, dus blijft over

\(\frac {1}{1!} x - \frac {1}{3!} x^3 + \frac {1}{5!} x^5 ....\)

En alle hogere orde termen.

[MartoO]

Duidelijk, dank!