x^n als functie van Combinaties

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: x^n als functie van Combinaties

En hoe zit het met de haakjes, begrijpt Maple dat wel?

Gebruikersavatar
Berichten: 4.518

Re: x^n als functie van Combinaties

Ja, dat weer wel!
maar een maalteken tussen bijvoorbeeld de laatste twee expressies geeft 0 als antwoord!
vreemd toch?
maal teken.png
maal teken.png (2.15 KiB) 973 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: x^n als functie van Combinaties

En zo?
\( x^m=\sum\limits_{i=0}^{m} \left ( \left(\begin{array}{cols} {x-1} \\i \end{array}\right) \cdot \sum\limits_{j=0}^{i} \left ( \left(\begin{array}{cols} {i} \\j \end{array}\right) \cdot (-1)^j \cdot (i+1-j)^m \right ) \right ) \)

Gebruikersavatar
Berichten: 4.518

Re: x^n als functie van Combinaties

't zit m kennelijk toch in het eerste maalteken na het sommatieteken!
maal teken.png
maal teken.png (2.61 KiB) 958 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: x^n als functie van Combinaties

Dat is de omgekeerde wereld: je zoekt nu een schrijfwijze die het gewenste antwoord oplevert. Maar wat doe je dan als je het juiste antwoord nog niet weet?

Berichten: 387

Re: x^n als functie van Combinaties

Hopelijk wilt men dit word document lezen.
Het bevat enkel een eleganie wijze om de coefficienten te ordenen.
Word163.docx
(65.08 KiB) 79 keer gedownload

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: x^n als functie van Combinaties

kloptdatwel.png
kloptdatwel.png (9.21 KiB) 891 keer bekeken
Moet n bij de rode pijl geen x zijn?

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: x^n als functie van Combinaties

Verder is het dan logischer en eleganter om de volgende notatie te gebruiken:
\(\)
\( x^n = \mbox{C}_{x-1}^0 \mbox{L}_0 + \mbox{C}_{x-1}^1 \mbox{L}_1 + \mbox{C}_{x-1}^2 \mbox{L}_2 + ... + \mbox{C}_{x-1}^n \mbox{L}_n \)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: x^n als functie van Combinaties

Nee - ik doe het verkeerd! :oops: Die "getallen van Lara" moeten ook twee indices hebben. Aansluitend bij de hedendaagse notatie krijg je dan:
\(\)
\( x^n = \left(\begin{array}{cols} {x-1} \\0 \end{array}\right) \mbox{L}(0,m) + \left(\begin{array}{cols} {x-1} \\1 \end{array}\right) \mbox{L}(1,m) + \left(\begin{array}{cols} {x-1} \\2 \end{array}\right) \mbox{L}(2,m) + ... + \left(\begin{array}{cols} {x-1} \\n \end{array}\right) \mbox{L}(n,m) \)

Zodat:
\(\)
\( \mbox{L}(i,m) = \sum\limits_{j=0}^{i} \left( \begin{array}{cols} {i} \\j \end{array}\right) \cdot (-1)^j \cdot (i+1-j)^m \)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: x^n als functie van Combinaties

Professor Puntje schreef: do 04 mar 2021, 16:22
\( x^n = \left(\begin{array}{cols} {x-1} \\0 \end{array}\right) \mbox{L}(0,m) + \left(\begin{array}{cols} {x-1} \\1 \end{array}\right) \mbox{L}(1,m) + \left(\begin{array}{cols} {x-1} \\2 \end{array}\right) \mbox{L}(2,m) + ... + \left(\begin{array}{cols} {x-1} \\n \end{array}\right) \mbox{L}(n,m) \)
Hier klopt iets niet. Aan de linker kant heb je twee vrije variabelen (x en n) Terwijl je er aan de rechter kant drie hebt (x,m en n).

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: x^n als functie van Combinaties

Je hebt gelijk! We hadden in de formule van Xilvo een m in plaats van een n voor de exponent gebruikt. Het moet dus zijn:
\( x^m = \left(\begin{array}{cols} {x-1} \\0 \end{array}\right) \mbox{L}(0,m) + \left(\begin{array}{cols} {x-1} \\1 \end{array}\right) \mbox{L}(1,m) + \left(\begin{array}{cols} {x-1} \\2 \end{array}\right) \mbox{L}(2,m) + ... + \left(\begin{array}{cols} {x-1} \\n \end{array}\right) \mbox{L}(n,m) \)
Met:
\( \mbox{L}(k,m) = \sum\limits_{j=0}^{k} \left( \begin{array}{cols} {k} \\j \end{array}\right) \cdot (-1)^j \cdot (k+1-j)^m \)

Iedereen mee eens?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: x^n als functie van Combinaties

Nee, want je hebt nu nog steeds 2 vrije variabelen aan de ene kant, en 3 aan de andere kant.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: x^n als functie van Combinaties

\( x^m = \left(\begin{array}{cols} {x-1} \\0 \end{array}\right) \mbox{L}(0,m) + \left(\begin{array}{cols} {x-1} \\1 \end{array}\right) \mbox{L}(1,m) + \left(\begin{array}{cols} {x-1} \\2 \end{array}\right) \mbox{L}(2,m) + ... + \left(\begin{array}{cols} {x-1} \\m \end{array}\right) \mbox{L}(m,m) \)
\(\)
Of beter zo (dan zie je gelijk welke vrije variabelen er zijn):
\(\)
\( x^m = \sum\limits_{j=0}^m \left(\begin{array}{cols} {x-1} \\ j \end{array}\right) \mbox{L}(j,m) \)

Berichten: 387

Re: x^n als functie van Combinaties

PP,

Ja hoor, x in plaats van n
Sorry, ik maak wel tamelijk veel schrijffouten, door gebrek aan “scherpte” in mijn toestand, en door mijn reacties niet aandachtig te herlezen.

Dank U voor de onmisbare hulp.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: x^n als functie van Combinaties

Komen de formules nu helemaal overeen met je eigen berekeningen?
\(\)
\( x^m = \sum\limits_{i=0}^m \left(\begin{array}{cols} {x-1} \\ i \end{array}\right) \mbox{L}(i,m) \)
\( \mbox{L}(k,m) = \sum\limits_{j=0}^{k} \left( \begin{array}{cols} {k} \\j \end{array}\right) \cdot (-1)^j \cdot (k+1-j)^m \)

Reageer