Heeft deze vergelijking oplossingen ?
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 387
Heeft deze vergelijking oplossingen ?
Over de som van drie kwadraten:
Heeft de vergelijking (a^2+c^2+f^2) = (b^2+d^2+e^2) oplossingen ?
Mits a,b,c,d,e,f behoren tot de natuurlijke getallen.
En mits a >b en c>d
En mits a niet gelijk aan c en niet gelijk is aan f en c niet gelijk is aan f
En mits b niet gelijk aan d en niet gelijk is aan e en d niet gelijk is aan e
Heeft de vergelijking (a^2+c^2+f^2) = (b^2+d^2+e^2) oplossingen ?
Mits a,b,c,d,e,f behoren tot de natuurlijke getallen.
En mits a >b en c>d
En mits a niet gelijk aan c en niet gelijk is aan f en c niet gelijk is aan f
En mits b niet gelijk aan d en niet gelijk is aan e en d niet gelijk is aan e
-
- Berichten: 463
Re: Heeft deze vergelijking oplossingen ?
Vele oplossingen.
Triviaal:
Kies natuurlijke getallen a > c > f,
neem b=c, d=f, e=a.
Maar bijvoorbeeld ook:
a=10, c=8, f=5, b=3, d=6, e=12:
100 + 64 + 25 = 9 + 36 + 144 = 189
Triviaal:
Kies natuurlijke getallen a > c > f,
neem b=c, d=f, e=a.
Maar bijvoorbeeld ook:
a=10, c=8, f=5, b=3, d=6, e=12:
100 + 64 + 25 = 9 + 36 + 144 = 189
-
- Berichten: 387
Re: Heeft deze vergelijking oplossingen ?
@Redcat,
Dank U
Geen triviale oplossingen, geen enkel van de getallen a,b,c,d,e,f gelijk aan een ander
Ok, ik heb nog te weinig voorwaarden opgenomen.
...............................
a en b moeten een grootste gemene deler hebben, c en d ook, e en f ook.
Dank U
Geen triviale oplossingen, geen enkel van de getallen a,b,c,d,e,f gelijk aan een ander
Ok, ik heb nog te weinig voorwaarden opgenomen.
...............................
a en b moeten een grootste gemene deler hebben, c en d ook, e en f ook.
- Moderator
- Berichten: 9.904
Re: Heeft deze vergelijking oplossingen ?
Neem een oplossing en vermenigvuldig beide vergelijkingen (a2+c2+f2) , (b2+d2+e2) met p2.
De "nieuwe" a en b hebben dan op z'n minst een gemene deler p, dat geldt ook voor de andere getallen.
-
- Berichten: 463
Re: Heeft deze vergelijking oplossingen ?
En als je de grootste gemene delers van alle tweetallen ook verschillend wil hebben:
a=8, c=6, f=5, b=4, d=3, e=10:
64 + 36 + 25 = 16 + 9 + 100 = 125
ggd(a,b) = 4 > 1
ggd(c,d) = 3 > 1
ggd(e,f) = 5 > 1
Merk op: dit zijn 2 pythagoreische drietallen: (3,4,5) en (6,8,10) met elkaar verweven.
a=8, c=6, f=5, b=4, d=3, e=10:
64 + 36 + 25 = 16 + 9 + 100 = 125
ggd(a,b) = 4 > 1
ggd(c,d) = 3 > 1
ggd(e,f) = 5 > 1
Merk op: dit zijn 2 pythagoreische drietallen: (3,4,5) en (6,8,10) met elkaar verweven.
-
- Berichten: 387
Re: Heeft deze vergelijking oplossingen ?
@Redcat,
Bijkomende voorwaarden:
ggd(a,c,f) = 0
ggd(b,d,e) = 0
Bijkomende voorwaarden:
ggd(a,c,f) = 0
ggd(b,d,e) = 0
- Moderator
- Berichten: 9.904
Re: Heeft deze vergelijking oplossingen ?
Die eisen zijn niet mogelijk.
Grootste gemene delers zijn minstens 1.
Grootste gemene delers zijn minstens 1.
-
- Berichten: 387
Re: Heeft deze vergelijking oplossingen ?
@Redcat,
Sorry, verstrooid.
ggd (a,c,f) = 1
ggd (b,d,e)=1
Sorry, verstrooid.
ggd (a,c,f) = 1
ggd (b,d,e)=1
-
- Berichten: 463
Re: Heeft deze vergelijking oplossingen ?
ggd(a,b,c) = ggd(ggd(a,b), c) = ggd(a, ggd(b,c))
Voor het bovenstaand voorbeeld, met
a=8, c=6, f=5, b=4, d=3, e=10
levert dit:
ggd(a,c,f) = ggd(8, ggd(6,5)) = ggd(8, 1) = 1
ggd(b,d,e) = ggd(4, ggd(3,10)) = ggd(4, 1) = 1
Voor het bovenstaand voorbeeld, met
a=8, c=6, f=5, b=4, d=3, e=10
levert dit:
ggd(a,c,f) = ggd(8, ggd(6,5)) = ggd(8, 1) = 1
ggd(b,d,e) = ggd(4, ggd(3,10)) = ggd(4, 1) = 1
-
- Berichten: 463
Re: Heeft deze vergelijking oplossingen ?
Aanvulling:
Hier nog een aantal voorbeelden waarbij a, c en f alle 3 en b, d en e alle 3 onderling relatief priem zijn
(dus ggd(a,c) = ggd(a,f) = ggd(c,f) = 1 en ggd(b,d) = ggd(b,e) = ggd(d,e) = 1):
a=10, c=9, f=7, b=5, d=3, e=14
a=15, c=14, f=11, b=3, d=7, e=22
a=16, c=15, f=7, b=8, d=5, e=21
a=21, c=10, f=13, b=3, d=5, e=26
Wellicht bedoelde je dit?
Hier nog een aantal voorbeelden waarbij a, c en f alle 3 en b, d en e alle 3 onderling relatief priem zijn
(dus ggd(a,c) = ggd(a,f) = ggd(c,f) = 1 en ggd(b,d) = ggd(b,e) = ggd(d,e) = 1):
a=10, c=9, f=7, b=5, d=3, e=14
a=15, c=14, f=11, b=3, d=7, e=22
a=16, c=15, f=7, b=8, d=5, e=21
a=21, c=10, f=13, b=3, d=5, e=26
Wellicht bedoelde je dit?
-
- Berichten: 387
Re: Heeft deze vergelijking oplossingen ?
@Redacat,
Ja dat bedoelde ik.
Volgende reactie van mij zou ik straks liefst in een nieuwe Topic plaatsen ....... FLT
Ja dat bedoelde ik.
Volgende reactie van mij zou ik straks liefst in een nieuwe Topic plaatsen ....... FLT