Laat \( \mathfrak{e}_i \) voor i=1 t/m 3 de afbeelding van \( \mathbb{E}^3 \) (met orthonormale basis {e1,e2,e3}) naar \( \mathbb{R} \) zijn waarvoor voor alle \( \mathbb{x} \in \mathbb{E}^3 \) geldt dat:
Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
- Berichten: 7.463
Re: Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime
Ik zie nog een paar fouten in mijn vorige post, dus even opnieuw:
Laat \( \mathfrak{e}_i \) voor i=1 t/m 3 de afbeelding van \( \mathbb{E}^3 \) (met orthonormale basis {e1,e2,e3}) naar \( \mathbb{R} \) zijn waarvoor voor alle \( \mathbb{x} \in \mathbb{E}^3 \) geldt dat:
Laat \( \mathfrak{e}_i \) voor i=1 t/m 3 de afbeelding van \( \mathbb{E}^3 \) (met orthonormale basis {e1,e2,e3}) naar \( \mathbb{R} \) zijn waarvoor voor alle \( \mathbb{x} \in \mathbb{E}^3 \) geldt dat:
\(\)
\( \mathfrak{e}_i(\mathbf{x}) \, = \, \langle \mathbf{x} | \mathbf{e}_i \rangle \)
\(\)
Dan is \( \mathfrak{e}_i \) een (0,1)-tensor.- Berichten: 7.463
Re: Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime
Voor de componenten \( ( \mathfrak{e}_i )_j \) van de tensoren \( \mathfrak{e}_i \) over \( \mathbb{E}^3 \) ten opzichte van de orthonormale basis {e1,e2,e3} vinden we dan:
\(\)
\( ( \mathfrak{e}_i )_j \, = \, \mathfrak{e}_i(\mathbb{e}_j) \)
\(\)
\( ( \mathfrak{e}_i )_j \, = \, \langle \mathbb{e}_j | \mathbb{e}_i \rangle \)
\(\)
\( ( \mathfrak{e}_i )_j \, = \, \delta^i_j \)
\(\)
Dus laten de tensoren \( \mathfrak{e}_i \) over \( \mathbb{E}^3 \) zich ten opzichte van de orthonormale basis {e1,e2,e3} schrijven als de kolomvectoren:
\(\)
\( \mathfrak{e}_1 \, \widehat{=} \, \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ) \)
\(\)
\( \mathfrak{e}_2 \, \widehat{=}\, \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right ) \)
\(\)
\( \mathfrak{e}_3 \, \widehat{=} \, \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right ) \)
- Berichten: 7.463
Re: Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime
Laten we nu eens kijken wat \( \mathbb{e}_i \otimes \mathbb{e}_i \) wordt als daarmee eigenlijk \( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \) bedoeld is. De \( \mathfrak{e}_i \) zijn (0,1)-tensoren dus de tensorproducten \( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \) zijn (0,2)-tensoren met:
\(\)
\( [ \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i](\mathbf{x},\mathbf{y}) \, = \, \mathfrak{e}_i(\mathbf{x}) \cdot \mathfrak{e}_i(\mathbf{y}) \)
\(\)
Voor de componenten van \( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \) vinden we dus:
\(\)
\( ( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i )_{j,k} \, = \, \mathfrak{e}_i(\mathbf{e}_j) \cdot \mathfrak{e}_i(\mathbf{e}_k) \)
\(\)
\( ( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i )_{j,k} \, = \, \langle \mathbf{e}_j | \mathbf{e}_i \rangle \cdot \langle \mathbf{e}_k | \mathbf{e}_i \rangle \)
\(\)
\( ( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i )_{j,k} \, = \, \delta^j_i \cdot \delta^k_i \)
\(\)
In matrixvorm geschreven:
\(\)
\( \mathfrak{e}_1 \otimes \mathfrak{e}_1 \, \widehat{=} \, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
\(\)
\( \mathfrak{e}_2 \otimes \mathfrak{e}_2 \, \widehat{=}\, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
\(\)
\( \mathfrak{e}_3 \otimes \mathfrak{e}_3 \, \widehat{=} \, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
\(\)
Als je die matrices optelt krijg je inderdaad de eenheidsmatrix 1 . Maar wat gebeurt er als je de tensoren optelt die door die matrices gerepresenteerd worden?-
- Berichten: 3.917
Re: Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime
wat betekent dat vertikale streepje eigenlijk?Professor Puntje schreef: ↑za 03 jul 2021, 11:08\(\)\( \mathfrak{e}_i(\mathbf{x}) \, = \, \langle \mathbf{x} | \mathbf{e}_i \rangle \)\(\)Dan is \( \mathfrak{e}_i \) een (0,1)-tensor.
-
- Berichten: 1.243
Re: Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime
Iets als |x> stelt een vector voor, en <y| een duale vector, zodat het inproduct genoteerd wordt als <y|x>. Dit is zgn. bra-ket notatie.
-
- Berichten: 1.243
Re: Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime
De som van N tensoren is ook weer een tensor (zelfde type, uiteraard). Ga maar na m.b.v. de definitie als multilineaire afbeelding.Professor Puntje schreef: ↑za 03 jul 2021, 18:59 Laten we nu eens kijken wat \( \mathbb{e}_i \otimes \mathbb{e}_i \) wordt als daarmee eigenlijk \( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \) bedoeld is. De \( \mathfrak{e}_i \) zijn (0,1)-tensoren dus de tensorproducten \( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \) zijn (0,2)-tensoren met:\(\)\( [ \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i](\mathbf{x},\mathbf{y}) \, = \, \mathfrak{e}_i(\mathbf{x}) \cdot \mathfrak{e}_i(\mathbf{y}) \)\(\)Voor de componenten van \( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \) vinden we dus:\(\)\( ( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i )_{j,k} \, = \, \mathfrak{e}_i(\mathbf{e}_j) \cdot \mathfrak{e}_i(\mathbf{e}_k) \)\(\)\( ( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i )_{j,k} \, = \, \langle \mathbf{e}_j | \mathbf{e}_i \rangle \cdot \langle \mathbf{e}_k | \mathbf{e}_i \rangle \)\(\)\( ( \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i )_{j,k} \, = \, \delta^j_i \cdot \delta^k_i \)\(\)In matrixvorm geschreven:\(\)\( \mathfrak{e}_1 \otimes \mathfrak{e}_1 \, \widehat{=} \, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)\(\)\( \mathfrak{e}_2 \otimes \mathfrak{e}_2 \, \widehat{=}\, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)\(\)\( \mathfrak{e}_3 \otimes \mathfrak{e}_3 \, \widehat{=} \, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)\(\)Als je die matrices optelt krijg je inderdaad de eenheidsmatrix 1 . Maar wat gebeurt er als je de tensoren optelt die door die matrices gerepresenteerd worden?
- Berichten: 7.463
Re: Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime
Maar levert de som van tensoren ook altijd hetzelfde op als de som van de corresponderende matrices?
- Berichten: 7.463
Re: Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime
\( \left [ \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \right ]( \mathbf{x} , \mathbf{y} ) \, = \, \sum\limits_{i=1}^3 [ \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i ]( \mathbf{x} , \mathbf{y} ) \)
\(\)
\( \left [ \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \right ]( \mathbf{x} , \mathbf{y} ) \, = \, \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i(\mathbf{x}) \cdot \mathfrak{e}_i(\mathbf{y}) \)
\(\)
\( \left [ \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \right ]( \mathbf{x} , \mathbf{y} ) \, = \, \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i( x^j \mathbf{e}_j ) \cdot \mathfrak{e}_i( y^k \mathbf{e}_k ) \)
\(\)
\( \left [ \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \right ]( \mathbf{x} , \mathbf{y} ) \, = \, \sum\limits_{i=1}^3 ( x^j \mathfrak{e}_i( \mathbf{e}_j ) ) \cdot ( y^k \mathfrak{e}_i( \mathbf{e}_k ) ) \)
\(\)
\( \left [ \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \right ]( \mathbf{x} , \mathbf{y} ) \, = \, \sum\limits_{i=1}^3 ( x^j \langle \mathbf{e}_j | \mathbf{e}_i \rangle ) \cdot ( y^k \langle \mathbf{e}_k | \mathbf{e}_i \rangle ) \)
\(\)
\( \left [ \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \right ]( \mathbf{x} , \mathbf{y} ) \, = \, \sum\limits_{i=1}^3 x^j \delta^j_i \cdot y^k \delta^k_i \)
\(\)
\( \left [ \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \right ]( \mathbf{x} , \mathbf{y} ) \, = \, \sum\limits_{i=1}^3 x^i y^i \)
\(\)
Voor de componenten van \( \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \) ten opzichte van de orthonormale basis {e1, e2, e3 } vinden we:
\(\)
\( \left [ \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \right ]_{j,k} \, = \, \left [ \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \right ]( \mathbf{e}_j \, , \mathbf{e}_k ) \)
\(\)
\( \left [ \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \right ]_{j,k} \, = \, \sum\limits_{i=1}^3 \delta^i_j \delta^i_k \)
\(\)
\( \sum\limits_{i=1}^3 \mathfrak{e}_i \otimes \mathfrak{e}_i \, \widehat{=} \, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
-
- Berichten: 1.243
Re: Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime
De componenten van een som van tensoren is simpelweg de som van de bijbehorende componenten. Dit toon je rechtstreeks aan door de tensoren in een algemene basis te ontwikkelen en de som uit te voeren.Professor Puntje schreef: ↑za 03 jul 2021, 19:25 Maar levert de som van tensoren ook altijd hetzelfde op als de som van de corresponderende matrices?
Zou ook niet weten wat er anders uit zou moeten komen.
- Berichten: 7.463
Re: Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime
@ flappelap
Oh ja - natuurlijk. Was even vergeten dat tensoren ook zelf weer vectoren zijn.
Dan bevat het vraagstuk verder onderstaande formule voor de traagheidstensor:
Oh ja - natuurlijk. Was even vergeten dat tensoren ook zelf weer vectoren zijn.
Dan bevat het vraagstuk verder onderstaande formule voor de traagheidstensor:
\(\)
\( \mathrm{I} = \iiint \limits_V \rho( | \mathbf{x} |^2 \mathbf{1} - \mathbf{x} \otimes \mathbf{x} ) \, dV \)
\(\)
Dat begrijp ik niet. Het argument van ρ zou toch een plaatsvector moeten zijn?-
- Berichten: 1.243
Re: Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime
Tensoren zijn geen vectoren, maar multilineaire afbeeldingen, terwijl vectoren lineaire afbeeldingen zijn.Professor Puntje schreef: ↑za 03 jul 2021, 23:10 @ flappelap
Oh ja - natuurlijk. Was even vergeten dat tensoren ook zelf weer vectoren zijn.
Dan bevat het vraagstuk verder onderstaande formule voor de traagheidstensor:\(\)\( \mathrm{I} = \iiint \limits_V \rho( | \mathbf{x} |^2 \mathbf{1} - \mathbf{x} \otimes \mathbf{x} ) \, dV \)\(\)Dat begrijp ik niet. Het argument van ρ zou toch een plaatsvector moeten zijn?
Dat ding tussen haakjes is niet het argument van rho; je vermenigvuldigt rho daarmee, waarbij rho=rho(x). Anders komen je eenheden al niet goed uit.
- Berichten: 7.463
Re: Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime
Maar tensoren van zeker type vormen toch ook zelf weer vectorruimten?
Juist - die haakjes zijn dan wel heel verwarrend. Ik zou dan eerder een maalteken tussen ρ en (...) verwachten. Maar goed, ik ben een beginner in deze zaken. Als ik het nu goed begrijp wordt daar dus uiteindelijk een integraal van een tensor genomen...? Of van een matrix?
Juist - die haakjes zijn dan wel heel verwarrend. Ik zou dan eerder een maalteken tussen ρ en (...) verwachten. Maar goed, ik ben een beginner in deze zaken. Als ik het nu goed begrijp wordt daar dus uiteindelijk een integraal van een tensor genomen...? Of van een matrix?
-
- Berichten: 1.243
Re: Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime
Ja, ok, in de context van tensoren lees ik "vector" als 'raakvector'. Dat is wellicht verwarrend.Professor Puntje schreef: ↑zo 04 jul 2021, 09:51 Maar tensoren van zeker type vormen toch ook zelf weer vectorruimten?
Juist - die haakjes zijn dan wel heel verwarrend. Ik zou dan eerder een maalteken tussen ρ en (...) verwachten. Maar goed, ik ben een beginner in deze zaken. Als ik het nu goed begrijp wordt daar dus uiteindelijk een integraal van een tensor genomen...? Of van een matrix?
Je neemt inderdaad de integraal van een tensor, oftewel elke component wordt gegeven door een volume integraal.
- Berichten: 7.463
Re: Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime
Ik werk graag vanuit definities zodat ik kan volgen wat waarom geldt. Helaas kon ik geen fatsoenlijke link naar de definitie van de volume-integraal van een (r,s)-tensor vinden. Maar voldoet onderstaande zelf bedachte definitie?
\(\)
\( \left [ \iiint\limits_V \mathrm{T} \, dV \right ](\tau^1, ... , \tau^r, x_1, ... , x_s) \,\, = \,\, \iiint\limits_V \mathrm{T}(\tau^1, ... , \tau^r, x_1, ... , x_s) \, dV \,\,\,\,\,\, (1) \)
-
- Berichten: 1.243
Re: Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime
Zie b.v. hier,
https://math.stackexchange.com/question ... e-a-tensor
Dat lijkt dus op hetzelfde neer te komen, inderdaad.
https://math.stackexchange.com/question ... e-a-tensor
Dat lijkt dus op hetzelfde neer te komen, inderdaad.