Afstand tussen twee punten in hogere dimensies

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Berichten: 3.863

Re: Afstand tussen twee punten in hogere dimensies

mbt het bewijs:
is het niet gewoon een afspraak om de systmatiek die al geldt in 2d en 3d op dezelfde manier door te zetten naar hogere dimensies? als je het begrip afstand kunt definieren via pythagoras dan kun je je daar in 2d en 3d iets bij voorstellen. in 4d of hoger kun je dan nog steeds dezelfde formule structuur gebruiken alleen kun je je dan bij het begrip 'afstand' niets meer voorstellen. Ik zou zelf niet weten hoe je zoiets moet bewijzen of wat je dan moet bewijzen.

Berichten: 3.863

Re: Afstand tussen twee punten in hogere dimensies

Xilvo schreef: zo 15 aug 2021, 18:48 Dat is toch precies wat hij zegt?
Hij had het over Euclidische ruimte en over Minkowski ruimte-tijd. Geen van beide is gekromd.
hij had het volgens mij over Euclidische ruimte en over Minkowski ruimte-tijd in het verband tot het feit dat dat niet gekromd is inderdaad, met als doel om aan te geven dat het ingewikkelder wordt als het wel gekromd is. dus dat bracht hij het begrip gekromde ruimte daar toch inde discussie? of ben ik nu gek?

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 9.901

Re: Afstand tussen twee punten in hogere dimensies

HansH schreef: zo 15 aug 2021, 18:52 mbt het bewijs:
is het niet gewoon een afspraak om de systmatiek die al geldt in 2d en 3d op dezelfde manier door te zetten naar hogere dimensies? als je het begrip afstand kunt definieren via pythagoras dan kun je je daar in 2d en 3d iets bij voorstellen.
Als je de afstand definieert als wat Pythagoras als uitkomst geeft, dan heb je gelijk en ben je klaar.
Als je het wil bewijzen dan kan dat door in te zien dat Pythagoras in meer dan twee dimensies opgebouwd kan worden door een paar keer Pythagoras in twee dimensies toe te passen. En het bewijs daarvoor is overbekend.

Berichten: 3.863

Re: Afstand tussen twee punten in hogere dimensies

Xilvo schreef: zo 15 aug 2021, 18:58 dan kan dat door in te zien dat Pythagoras in meer dan twee dimensies opgebouwd kan worden door een paar keer Pythagoras in twee dimensies toe te passen. En het bewijs daarvoor is overbekend.
ja, voor elke dimensie die erbij komt staat de richting loodrecht op de richtingen die je al had. en pythagoras berekent de lengte ten gevolge van 2 loodrecht op elkaar staande zijden van een driehoek.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.312

Re: Afstand tussen twee punten in hogere dimensies

HansH schreef: zo 15 aug 2021, 18:52 mbt het bewijs:
is het niet gewoon een afspraak om de systmatiek die al geldt in 2d en 3d op dezelfde manier door te zetten naar hogere dimensies? als je het begrip afstand kunt definieren via pythagoras dan kun je je daar in 2d en 3d iets bij voorstellen. in 4d of hoger kun je dan nog steeds dezelfde formule structuur gebruiken alleen kun je je dan bij het begrip 'afstand' niets meer voorstellen. Ik zou zelf niet weten hoe je zoiets moet bewijzen of wat je dan moet bewijzen.
Dat wordt meestal zo gedaan, het is echter altijd de vraag of dat wel kan.
Er zal dus altijd gecontroleerd moeten worden of het consistent doorzetten wel mogelijk is.

PS.
Soms komt er iets anders uit dan verwacht:

Denk aan een van de vermoedens van Euler dat onjuist bleek.
Ook de formules voor de gloom (en hogere hypersferen) van de omvattende en bevattende pakten anders uit dan verwacht.
Zo is er wel meer.

Deze twee termen heb ik zelf bedacht.

Gebruikersavatar
Berichten: 209

Re: Afstand tussen twee punten in hogere dimensies

Uit het vermelde handboek:
Schermafbeelding 2021-08-17 002732.png
De afstand tussen 2 punten wordt op die manier gedefinieerd. Er valt helemaal niets te bewijzen. Het is een veralgemening van 2D en 3D omdat voor die dimensies de formule samenvalt met de gekende formules.
Het enige dat je zou kunnen bewijzen, is dat deze definitie van afstand voldoet aan de 3 voorwaarden waaraan elke metriek moet voldoen. Het is niet zinvol om de formule voor dim=n+1 te bewijzen vanuit dim=n, want je gaat ongetwijfeld gebruik maken van 'loodrechte stand'. Maar wat is loodrechte stand? Een Euclidische ruimte heeft per definitie een inproduct, en met dit inproduct wordt een norm, een afstand, een hoek en loodrechte stand gedefinieerd. De formule voor afstand volgt dus uit het inproduct, net als de definitie van loodrechte stand. Het gebruik van 'loodrechte stand' vergt dus net evenveel rechtvaardiging als het poneren van de formule voor afstand.
(Uiteraard heeft Euclides destijds zelf geen gebruik gemaakt van een inproduct, maar voor het invoeren van loodrechte stand waren dan weer aparte axioma's nodig die mogelijk nog minder verhelderend zijn)

Berichten: 1.223

Re: Afstand tussen twee punten in hogere dimensies

HansH schreef: zo 15 aug 2021, 18:56
Xilvo schreef: zo 15 aug 2021, 18:48 Dat is toch precies wat hij zegt?
Hij had het over Euclidische ruimte en over Minkowski ruimte-tijd. Geen van beide is gekromd.
hij had het volgens mij over Euclidische ruimte en over Minkowski ruimte-tijd in het verband tot het feit dat dat niet gekromd is inderdaad, met als doel om aan te geven dat het ingewikkelder wordt als het wel gekromd is. dus dat bracht hij het begrip gekromde ruimte daar toch inde discussie? of ben ik nu gek?
Gek weet ik niet, maar je hebt me i.i.g. niet goed begrepen.

Berichten: 3.863

Re: Afstand tussen twee punten in hogere dimensies

flappelap schreef: di 17 aug 2021, 09:11
Gek weet ik niet, maar je hebt me i.i.g. niet goed begrepen.
Wat bedoelde je dan wel? komt voor mij en mogelijk anderen toch verwarrend over.

Berichten: 1.223

Re: Afstand tussen twee punten in hogere dimensies

HansH schreef: di 17 aug 2021, 13:44
flappelap schreef: di 17 aug 2021, 09:11
Gek weet ik niet, maar je hebt me i.i.g. niet goed begrepen.
Wat bedoelde je dan wel? komt voor mij en mogelijk anderen toch verwarrend over.
Ik bedoelde dat je verschillende normen kunt definieren voor een Euclidische ruimte.

Reageer