Sommatie reeks

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Berichten: 369

Sommatie reeks

Als antwoord op de onderstaande vraag, kom ik na enig algebraïsch herschikken uit op: 1/4^0 - 1/4^1 + 1/4^2 - 1/4^3 + 1/4^4 - … Door uitrekenen van de eerste (relevante) termen kom ik dan uit op ongeveer 0,8 (dus 80%). Is er een manier om deze reeks, dus: sommatie van de reeks 1/4^2n, te starten met n = 0, min de reeks 1/4^(2k-1), te starten met k = 1 (leek mij?), handig te sommeren of gewoon “brute kracht”, haha? Mensen met meer wiskunde-ervaring dan ik zullen hier vast een truc voor hebben 👍🏻
Bijlagen
IMG_3658.jpeg

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 10.103

Re: Sommatie reeks

Je krijgt dan \(1+\frac{1}{16}+\frac{1}{16^2}+...\)
en \(-\frac{1}{4} (1+\frac{1}{16}+\frac{1}{16^2}+...)\)

Twee meetkundige reeksen, met voor beide de som tussen haakjes gelijk aan \(\frac{1}{1-a}\) met \(a=\frac{1}{16}\)
Dan kom je inderdaad op 0,8.

Berichten: 369

Re: Sommatie reeks

Dank!

Berichten: 7.072

Re: Sommatie reeks

Zo zou ik het doen:
\(A = \left(\frac{1}{4}\right)^0 - \left(\frac{1}{4}\right)^1 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^3 + \cdots \)
\(-\frac{1}{4} \cdot A = -\left(\frac{1}{4}\right)^1 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^3 + \left(\frac{1}{4}\right)^4 - \cdots \)
dan geldt dus:
\(A = \left(\frac{1}{4}\right)^0 -\frac{1}{4} \cdot A\)
\(\frac{5}{4} A = \left(\frac{1}{4}\right)^0 = 1\)
\(A = \frac{4}{5}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 215

Re: Sommatie reeks

Of (met x het gekleurde percentage):
\(x=1-\frac14+\frac{1}{16}x\Rightarrow x=\frac45\)

Berichten: 369

Re: Sommatie reeks

Elegant!

Reageer