Product

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Berichten: 369

Product

Zij Tn = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n

Pn = T2/(T2 - 1) x T3/(T3 - 1) x T4/(T4 - 1) x … x Tn/(Tn - 1), dan is P1999 ongeveer?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.510

Re: Product

hint:
Tn = 1+2+...+n=n(n+1)/2

Berichten: 369

Re: Product

Ja, zover was ik ook al 👍🏻

Maar dan kom ik uit op:

Pn = n(n+1)/(n(n+1)-1) x (n+1)(n+2)/((n+1)(n+2)-1) x …

En zo snel kreeg ik dat niet vereenvoudigd

Berichten: 369

Re: Product

Die -1 moet -2 zijn, excuus

Berichten: 472

Re: Product

Je hebt P(n) al gegeven als product van factoren:

\(P(n) = \prod_{i=2}^n \frac{i(i+1)}{i(i+1)-2}\)

herschrijf de noemer:

\(P(n) = \prod_{i=2}^n \frac{i(i+1)}{i^2+i-2}\)

ofwel

\(P(n) = \prod_{i=2}^n \frac{i(i+1)}{(i-1)(i+2)}\)

In het product P(n) ontstaan hierdoor gelijke kwadraten in de teller en noemer, die tegen elkaar wegvallen.
Voorbeeld voor n=6:

\(P(6) = \frac{2\cdot 3}{1\cdot 4}\cdot \frac{3\cdot 4}{2\cdot 5}\cdot \frac{4\cdot 5}{3\cdot 6}\cdot\frac{5\cdot 6}{4\cdot 7}\cdot\frac{6\cdot 7}{5\cdot 8}\)

In dit geval vallen beide \(4^2\) in teller en noemer tegen elkaar weg, hetzelfde geldt voor \(5^2\)
Dit levert:

\(P(6) = \frac{2\cdot 3\cdot 3\cdot 6 \cdot 6 \cdot 7}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}\)

In het algemeen houden we zo voor P(n) dus over:

\(P(n) = \frac{2\cdot 3\cdot 3\cdot n \cdot n \cdot (n+1)}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n+2)}\)

en dit nog vereenvoudigd:

\(P(n) = \frac{3n}{n+2}\)

Voor grote n is dit ongeveer 3 (maar je hebt nu ook het exacte antwoord).

Berichten: 369

Re: Product

Het is grappig; ik vermoedde al dat tellers en noemers in het product tegen elkaar zouden gaan wegvallen tijdens invullen, dus ik zat aanvankelijk op dat spoor, maar mezelf blijkbaar misteld, want dacht dat die vlieger niet opging. Dank!

Reageer