8^x + 2^x = 130

[PhilipVoets]

Hoi,

Vraag: 8^x + 2^x = 130 —> x = ?

Mij leek: 8^x + 2^x = (2^x)^3 + 2^x = 130 —> a = 2^x —> a^3 + a = a(a^2 + 1) = 130. Je moet dus op zoek naar een waarde voor a waarbij zowel a als b = a^2 + 1 delers van 130 zijn en geldt ab = 130. Als ik dan kijk naar de delers van 130, valt snel op dat dat geldt voor 5 en 26 = 5^2 + 1. Dus: a = 2^x = 5 —> x = log(5)/log(2).

Nu ga ik ervan uit dat dit ook zonder kennis van de delers van 130 te organiseren moet zijn; suggesties?

[Bart23]

Het probleem is de vergelijking a³+a-130=0 op te lossen.
Als je geluk hebt, is je nulpunt geheel en dan moet dat nulpunt deler zijn van de constante term. In het slechtste geval zal je dus 16 kandidaten moeten controleren (ook de negatieve). In dit geval zijn dat ook de enige kandidaatnulpunten die rationaal zijn (omdat de hoogstegraadscoëfficiënt hier 1 is). Je hebt hier geluk, want de deler 5 is bingo, zoals je zelf ook al vond. Zie https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem voor meer info over deze methode.

Als je geen geluk hebt, kan je altijd de algemene methode voor het oplossen van derdegraadsvergelijkingen toepassen. Dat is wel wat omslachtiger, maar geeft wel met zekerheid de oplossingen. Zie https://nl.wikipedia.org/wiki/Derdegraadsvergelijking
Je zal hier natuurlijk alle oplossingen moeten uitsluiten die geen positief reëel getal zijn, anders kan het niet gelijk zijn aan 2^x.

[PhilipVoets]

Thanks! Maar als je dus niet bekend bent met die draak van een Cardano-vergelijking, is het dus een voor een alle delers van 130 testen?

[RedCat]

Als je een geheeltallige oplossing vermoedt (want je wilt zo te zien alle delers testen) is er nog een alternatief:
Je weet:
\(\small a = 2^x > 0\)
en
\(\small a^3\) groeit veel sneller dan \(a\)

Dat betekent dat we een \(\small a^3\) zoeken, die ongeveer (maar net iets kleiner) moet zijn dan 130.
Dit geldt voor \(\small a^3 = 5^3 = 125\), en inderdaad is \(\small a=5\) een oplossing: \(\small 5^3 + 5 = 130\).
De overige oplossingen vind je dan door \(\small (a-5)\) uit de derdegraadsvergelijking te delen:
\(\small (a^3+a-130)/(a-5) = a^2 + 5a + 26\) en dit gelijk aan nul te stellen.

[PhilipVoets]

Thanks! Bedoel je met dat laatste dat je deelt door (a - wortel) en dat het restant dan de andere wortel oplevert? Overigens levert a^2 + 5a + 26 = 0 volgens mij geen reële oplossingen, dus betekent dat dan dat a = 5 de enige reële oplossing is? Ik ken die truc alleen van een vierkantsvergelijking: x^2 + ax + b = (x - c)(x - d) met c en d de wortels (maar goed, ik ben ook alleen hobbymatig met wiskunde bezig)

[RedCat]

Overigens levert a^2 + 5a + 26 = 0 volgens mij geen reële oplossingen

Klopt

Bedoel je met dat laatste dat je deelt door (a - wortel) en dat het restant dan de andere wortel oplevert?
Ik ken die truc alleen van een vierkantsvergelijking: x^2 + ax + b = (x - c)(x - d) met c en d de wortels

Klopt ook.
Dit is volgens de hoofdstelling van de algebra, zie bv
https://nl.wikipedia.org/wiki/Hoofdstel ... de_algebra

[PhilipVoets]

Dank!

[Bart23]

De truc met de delers werkt alleen als er gehele nulpunten zijn. Dus probeer dit eerst, wegens veel minder werk. Er zijn 'maar' 16 delers, ça va nog wel. Anderzijds kan je direct zien dat a³+a-130 stijgt als a stijgt (a³ stijgt en a natuurlijk ook). Er kan dus maar 1 oplossing zijn. Bij a=0 krijg je -130, dus te klein, dus a moet dus zeker strikt positief zijn, probeer wat groter enz. Zo kan je toch snel de oplossing vinden zonder álle delers af te gaan.
Is geen enkele deler goed, dan moet je wel terugvallen op de formules van Cardano. Of zelf een uitgekiende truc bedenken voor de specifiek oefening, maar voor de hand liggend zal dat niet zijn omdat de nulpunten sowieso irrationaal zijn.

[PhilipVoets]

Helder, dus eigenlijk is mijn methode ook zoals jullie het hadden aangevlogen?

[RedCat]

Nee, mijn alternatief loopt de delers niet af:
In plaats van \(a^3 + a=130\)
los ik eerst op: \(a^3 <\approx 130\)
en dat geeft direct \(a = 5\).
Dit werkt hier omdat:
(1) de eerste term links veel sneller stijgt met \(a\) dan de tweede, en
(2) 130 al redelijk groot is.

Nog een voorbeeld in deze vorm: \(a^3 + a=1740\)
\(\sqrt[3]{1740} = 12.0277...\)
Dus als er een geheeltallige oplossing is, dan is dit 12.
Controle geeft: \(12^3 + 12 = 1740\)

[PhilipVoets]

Kortom, eerst een educated guess door ervan uit te gaan dat a^3 redelijk in de buurt van het getal rechts moet zitten en van daaruit terug te rekenen of je op een gehele oplossing uitkomt. Zoals a^3 + a = 520 moet al op het timmermansoog (d.w.z, als er een gehele oplossing is) a = 8 opleveren omdat a^3 = 512 ≈ 520?

[RedCat]

Klopt, in dit geval (met een dominante hoogste macht en een grote constante) kan je zo heel snel (of zo je wil 'Quick and Dirty') een geheeltallige oplossing vinden.
Maar in het algemeen zal je de hierboven door Bart23 beschreven methoden moeten gebruiken.

[PhilipVoets]

Thanks!