Verschillende stapgrootte bij meervoudige integralen
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 20
Verschillende stapgrootte bij meervoudige integralen
Beste leden,
Ik heb laatst de inhoud van een piramide berekend (1/3*L*B*h) bewezen. Ik kwam er echter voor mezelf achter dat bij de verschillende integralen verschillende stapgroottes horen. (allemaal dezelfde delta stapjes op de hele lengte (L, B, H)
Is dit nieuw? Of alleen nieuw voor mij?
Met vriendelijke groet,
Bas Janssen
Ik heb laatst de inhoud van een piramide berekend (1/3*L*B*h) bewezen. Ik kwam er echter voor mezelf achter dat bij de verschillende integralen verschillende stapgroottes horen. (allemaal dezelfde delta stapjes op de hele lengte (L, B, H)
Is dit nieuw? Of alleen nieuw voor mij?
Met vriendelijke groet,
Bas Janssen
- Moderator
- Berichten: 10.666
Re: Verschillende stapgrootte bij meervoudige integralen
Heb je het hier over numerieke integratie? Alleen daar kan ik me voorstellen wat met stapgrootte bedoeld wordt.blthjanssen schreef: ↑do 12 sep 2024, 15:41 Ik heb laatst de inhoud van een piramide berekend (1/3*L*B*h) bewezen. Ik kwam er echter voor mezelf achter dat bij de verschillende integralen verschillende stapgroottes horen. (allemaal dezelfde delta stapjes op de hele lengte (L, B, H)
De stapgrootte kan je daar - binnen zekere grenzen - kiezen, hoe kleiner, hoe nauwkeuriger het resultaat.
-
- Berichten: 20
Re: Verschillende stapgrootte bij meervoudige integralen
Hoi,
Nou ik bedoel, als je bijvoorbeeld de een piramide uitrekent, dat je dan de integratieve stappen over de 3 assen gelijk moet hebben. Als het aantal stapjes n is, dan is het de stapgrootte over de assen: L/n, B/n, H/n. Ik heb het in excel uitgerekend (met delta stapjes) en dan kom je op de "correcte" inhoudswaarde. Als je de stapgrootte over alle assen evengroot neemt kom je niet op de gewenste vorm.
Is dit duidelijk? Anders voeg ik een tekening toe.
Met vriendelijke groet,
Bas Janssen
Nou ik bedoel, als je bijvoorbeeld de een piramide uitrekent, dat je dan de integratieve stappen over de 3 assen gelijk moet hebben. Als het aantal stapjes n is, dan is het de stapgrootte over de assen: L/n, B/n, H/n. Ik heb het in excel uitgerekend (met delta stapjes) en dan kom je op de "correcte" inhoudswaarde. Als je de stapgrootte over alle assen evengroot neemt kom je niet op de gewenste vorm.
Is dit duidelijk? Anders voeg ik een tekening toe.
Met vriendelijke groet,
Bas Janssen
- Moderator
- Berichten: 10.666
Re: Verschillende stapgrootte bij meervoudige integralen
Graag, het is me nog niet duidelijk, behalve dat het inderdaad over numerieke integratie lijkt te gaan.
Die methode geeft zelden een 100% exact resultaat.
-
- Berichten: 20
Re: Verschillende stapgrootte bij meervoudige integralen
Beste,
Ik heb een tekening bijgevoegd. Ik weet niet zeker of ik het wiskundig goed heb opgeschreven. (ben geen wiskundige maar een chemisch ingenieur). Stapgrootte %delta a en %delta b en %delta c moeten dus even groot zijn.
Stel A = 5, B = 6, C = 7
dan delta a is bijvoorbeeld 0,05 dan ligt delta B en delta C vast, respr: delta B: 0,06 en delta C 0,07
Kun je op nog een andere manier de inhoud van een pyramide bewijzen?
Ik heb een tekening bijgevoegd. Ik weet niet zeker of ik het wiskundig goed heb opgeschreven. (ben geen wiskundige maar een chemisch ingenieur). Stapgrootte %delta a en %delta b en %delta c moeten dus even groot zijn.
Stel A = 5, B = 6, C = 7
dan delta a is bijvoorbeeld 0,05 dan ligt delta B en delta C vast, respr: delta B: 0,06 en delta C 0,07
Kun je op nog een andere manier de inhoud van een pyramide bewijzen?
-
- Berichten: 20
Re: Verschillende stapgrootte bij meervoudige integralen
sorry ik heb een schrijffout gemaakt. De derde term is geen som van (n*delta c) maar de som van delta c
- Moderator
- Berichten: 10.666
Re: Verschillende stapgrootte bij meervoudige integralen
Bewijzen kun je het numeriek sowieso niet, dat blijft altijd een benadering.
Analytisch kun je het zo doen:
Voor het gemak zet ik de piramide op z'n kop, de hoogte aan de top is dan \(0\), bij het grondvlak is de hoogte \(c\)
Het oppervlak van het grondvlak (aangenomen dat het een rechthoek is) is \(ab=a_h(c) b_h(c)\).
\(a_h(x)\) is de zijde op hoogte \(x\)
De zijdes nemen lineair toe met de hoogte, de afstand tot de top, \(a_h(h)=a\frac{h}{c}\) en \(b_h(h)=b\frac{h}{c}\)
op hoogte h heeft het vlak een oppervlak \(a b\frac{h^2}{c^2}\)
Het volume van een plakje met dikte \(dh\) is dan \(a b\frac{h^2}{c^2}dh\)
Het totale volume is dan \(\int_0^c a b\frac{h^2}{c^2}dh=\frac{1}{3}a b\frac{h^3}{c^2}\vert _0^c=\frac{1}{3}abc\)
Analytisch kun je het zo doen:
Voor het gemak zet ik de piramide op z'n kop, de hoogte aan de top is dan \(0\), bij het grondvlak is de hoogte \(c\)
Het oppervlak van het grondvlak (aangenomen dat het een rechthoek is) is \(ab=a_h(c) b_h(c)\).
\(a_h(x)\) is de zijde op hoogte \(x\)
De zijdes nemen lineair toe met de hoogte, de afstand tot de top, \(a_h(h)=a\frac{h}{c}\) en \(b_h(h)=b\frac{h}{c}\)
op hoogte h heeft het vlak een oppervlak \(a b\frac{h^2}{c^2}\)
Het volume van een plakje met dikte \(dh\) is dan \(a b\frac{h^2}{c^2}dh\)
Het totale volume is dan \(\int_0^c a b\frac{h^2}{c^2}dh=\frac{1}{3}a b\frac{h^3}{c^2}\vert _0^c=\frac{1}{3}abc\)
-
- Berichten: 20
Re: Verschillende stapgrootte bij meervoudige integralen
bedankt voor uw energie en uitleg!
- Berichten: 4.889
Re: Verschillende stapgrootte bij meervoudige integralen
Dit is een benadering van het volume van een piramide met vierkant grondvlak (zijde a) en hoogte h.
Door 𝑛 groter te kiezen, wordt de benadering nauwkeuriger. Als je dit numeriek wilt uitvoeren, kun je deze som laten lopen voor een gekozen 𝑛
voor n>10000 kom je al aardig in de buurt van 1/3a2h
Door 𝑛 groter te kiezen, wordt de benadering nauwkeuriger. Als je dit numeriek wilt uitvoeren, kun je deze som laten lopen voor een gekozen 𝑛
voor n>10000 kom je al aardig in de buurt van 1/3a2h
-
- Berichten: 233
Re: Verschillende stapgrootte bij meervoudige integralen
Voor de formule voor het volume is deze afbeelding verhelderend: