Verschillende stapgrootte bij meervoudige integralen

[blthjanssen]

Beste leden,

Ik heb laatst de inhoud van een piramide berekend (1/3*L*B*h) bewezen. Ik kwam er echter voor mezelf achter dat bij de verschillende integralen verschillende stapgroottes horen. (allemaal dezelfde delta stapjes op de hele lengte (L, B, H)

Is dit nieuw? Of alleen nieuw voor mij?

Met vriendelijke groet,
Bas Janssen

[Xilvo]

Ik heb laatst de inhoud van een piramide berekend (1/3*L*B*h) bewezen. Ik kwam er echter voor mezelf achter dat bij de verschillende integralen verschillende stapgroottes horen. (allemaal dezelfde delta stapjes op de hele lengte (L, B, H)

Heb je het hier over numerieke integratie? Alleen daar kan ik me voorstellen wat met stapgrootte bedoeld wordt.
De stapgrootte kan je daar - binnen zekere grenzen - kiezen, hoe kleiner, hoe nauwkeuriger het resultaat.

[blthjanssen]

Hoi,

Nou ik bedoel, als je bijvoorbeeld de een piramide uitrekent, dat je dan de integratieve stappen over de 3 assen gelijk moet hebben. Als het aantal stapjes n is, dan is het de stapgrootte over de assen: L/n, B/n, H/n. Ik heb het in excel uitgerekend (met delta stapjes) en dan kom je op de "correcte" inhoudswaarde. Als je de stapgrootte over alle assen evengroot neemt kom je niet op de gewenste vorm.

Is dit duidelijk? Anders voeg ik een tekening toe.

Met vriendelijke groet,
Bas Janssen

[Xilvo]

Is dit duidelijk? Anders voeg ik een tekening toe.

Graag, het is me nog niet duidelijk, behalve dat het inderdaad over numerieke integratie lijkt te gaan.
Die methode geeft zelden een 100% exact resultaat.

[blthjanssen]

Beste,

Ik heb een tekening bijgevoegd. Ik weet niet zeker of ik het wiskundig goed heb opgeschreven. (ben geen wiskundige maar een chemisch ingenieur). Stapgrootte %delta a en %delta b en %delta c moeten dus even groot zijn.

Stel A = 5, B = 6, C = 7
dan delta a is bijvoorbeeld 0,05 dan ligt delta B en delta C vast, respr: delta B: 0,06 en delta C 0,07

Kun je op nog een andere manier de inhoud van een pyramide bewijzen?

[blthjanssen]

sorry ik heb een schrijffout gemaakt. De derde term is geen som van (n*delta c) maar de som van delta c

[Xilvo]

Bewijzen kun je het numeriek sowieso niet, dat blijft altijd een benadering.

Analytisch kun je het zo doen:
Voor het gemak zet ik de piramide op z'n kop, de hoogte aan de top is dan \(0\), bij het grondvlak is de hoogte \(c\)
Het oppervlak van het grondvlak (aangenomen dat het een rechthoek is) is \(ab=a_h(c) b_h(c)\).
\(a_h(x)\) is de zijde op hoogte \(x\)
De zijdes nemen lineair toe met de hoogte, de afstand tot de top, \(a_h(h)=a\frac{h}{c}\) en \(b_h(h)=b\frac{h}{c}\)
op hoogte h heeft het vlak een oppervlak \(a b\frac{h^2}{c^2}\)
Het volume van een plakje met dikte \(dh\) is dan \(a b\frac{h^2}{c^2}dh\)

Het totale volume is dan \(\int_0^c a b\frac{h^2}{c^2}dh=\frac{1}{3}a b\frac{h^3}{c^2}\vert _0^c=\frac{1}{3}abc\)

[blthjanssen]

bedankt voor uw energie en uitleg!

[ukster]

Dit is een benadering van het volume van een piramide met vierkant grondvlak (zijde a) en hoogte h.
Door 𝑛 groter te kiezen, wordt de benadering nauwkeuriger.

piramide.png (2.32 KiB) 5795 keer bekeken

Als je dit numeriek wilt uitvoeren, kun je deze som laten lopen voor een gekozen 𝑛
voor n>10000 kom je al aardig in de buurt van 1/3a²h

[Lucas N]

Voor de formule voor het volume is deze afbeelding verhelderend:

ADM60709-assembly.png (29.16 KiB) 5572 keer bekeken