De grote raadseltopic

[Beroemdheid]

Raadsel 201

Lang geleden was er een schip dat in een hevige storm terecht kwam. Het zou zijn gezonken, ware het niet dat er drie uiterst vakkundige matrozen aan boord waren, die het schip redden van de ondergang. De kapitein van het schip wilde hen belonen en wilde hen een schatkist vol met munten geven. Hoeveel munten erin zaten is niet bekend, maar zeker is dat het tussen de 200 en 300 munten waren. Het was inmiddels avond geworden, dus de kapitein zou het morgenochtend aan de matrozen geven.

Die nacht werd een van de matrozen wakker. Hij wilde alvast zijn aandeel hebben, dus liep hij naar de schatkist. Daar verdeelde hij de munten eerlijk in drie porties, maar er bleef een munt over. Die gooide hij maar in het water, zodat er morgen geen ruzie zou ontstaan. Hij pakte zijn deel (een derde van de munten) en ging weer slapen.

Even later werd de tweede matroos wakker. Ook hij ging alvast naar de schatkist om zijn aandeel te pakken. Niet wetend dat er al een matroos voor hem was geweest, deelde hij de schat op in drie porties en weer bleef er een munt over. Die munt ging ook overboord en matroos nummer twee ging met wat hij dacht dat zijn aandeel was weg.

Uiteraard werd ook de derde matroos wakker en er gebeurde precies hetzelfde. Hij deelde het op in drie porties en er bleef een munt over, die hij maar in het water gooide. Hij nam een derde deel mee en ging weer slapen.

De volgende ochtend ging de kapitein de beloning uitdelen. Hij deelde de munten in drie porties op en wéér bleef er een munt over. Hij gaf iedere matroos een derde deel van de munten en hield die ene munt voor zichzelf. Iedereen was tevreden, want iedere matroos dacht dat hij zijn rechtvaardige aandeel al had gepakt die nacht.

De vraag is, hoeveel munten waren er in het begin? Het antwoord is niet zo heel moeilijk te vinden (programma voor schrijven, alles uitproberen, opzoeken), dus ik ben vooral benieuwd wie het kan oplossen met alleen logisch redeneren en wiskunde.

[Margriet]

Verborgen inhoud

Ik kom op 241 munten en iedere matroos krijgt dan van de kapitien 23 munten.<br><br>Berekend door het aantal munten dat een matroos krijgt&nbsp;&nbsp;y te stellen.<br>De kapitein verdeelt dan 3y+1.<br><br>De derde matroos vond: dit aantal vind je door te vermenigvuldigen met 3/2 en dan plus 1.<br>Idem voor de tweede en eerste matroos.<br><br>Het totaal aantal munten is dan na enig cijferwerk: 81/8 y + 65/8 = 10 y + 1/8 y + 8 + 1/8<br><br>y is dus een veelvoud van 8 min 1.&nbsp;&nbsp;(7, 15, 23, 31)<br><br>y=23&nbsp;&nbsp;voldoet gezien het totaal aantal munten dat tussen de 200 en 300 ligt.<br><br>En het totaal komt dan op 241.

[dannypje]

Margriet, ik begrijp hoe je aan de linkerkant van de vergelijking komt. Maar hoe kom je aan de rechterkant ? Care to explain ?

Verborgen inhoud

Wat mij betreft, kan dit ook opgelost worden door te stellen dat 81/8 y + 65/8 gelijk moet zijn aan een geheel getal (iets wat volgens mij eigen is aan diofantische vergelijkingen),&nbsp;&nbsp;gelegen tussen 200 en 300. Dus dan heb je het rechterlid niet nodig.

[dannypje]

Raadsel 202

Nu we het toch over diofantische vergelijkingen hebben. De tekst op de grafsteen van Diofantus zegt:

Hier ligt Diofantus, een zesde van zijn leven was hij een kind, een twaalfde van zijn leven groeide zijn baard, een zevende van zijn leven later is hij getrouwd, vijf jaar later heeft hij een zoon gekregen, die half zo lang geleefd heeft als zijn vader, en Diofantus is vier jaar na die zoon gestorven.

Hoe oud werd Diofantus ?

[In physics I trust]

Verborgen inhoud

84 als ik nog kan hoofdrekenen

[Margriet]

Raadsel 201

Margriet, ik begrijp hoe je aan de linkerkant van de vergelijking komt. Maar hoe kom je aan de rechterkant ? Care to explain ?

Verborgen inhoud

Wat mij betreft, kan dit ook opgelost worden door te stellen dat 81/8 y + 65/8 gelijk moet zijn aan een geheel getal (iets wat volgens mij eigen is aan diofantische vergelijkingen),&nbsp;&nbsp;gelegen tussen 200 en 300. Dus dan heb je het rechterlid niet nodig. Klopt, er staat precies hetzelfde. Ik zette dit lid er alleen bij om duidelijk te maken dat met 81/8y wordt bedoeld (80/8 en 1/8)y en niet (8 en1/8)y.

Zie onder verborgen inhoud.

[Safe]

wie het kan oplossen met alleen logisch redeneren en wiskunde.

Raadsel 201

Rechttoe Rechtaan

Begin met K aantal munten in de kist.

Matroos A: Na verwijderen van één munt blijkt 3|K-1 (K-1 deelbaar door 3)

Stel K=K_1 -2, dus 3|K_1 -3

Stel K_1=3K_2, dus 3|3K_2 -3 (klopt met K_2 geheel)

Matroos A neemt mee K_2 -1 en laat achter: 3K_2 -3-(K_2 -1)=2K_2 -2

Matroos B treft aan: 2K_2-2

Na verwijderen van één munt blijkt 3|2K_2 -3

Stel K_2=3K_3, dus 3|2*3K_3 -3 (klopt voor K_3 geheel)

Matroos B neemt mee 2K_3 -1 en laat achter 2(2K_3 -1)=2^2K_3 -2

Matroos C vindt 2^2K_3 -2

Na verwijderen van één munt blijkt 3|2^2K_3 -3

Stel K_3=3K_4, dus 3|2^2*3K_4 -3 (klopt voor K_4 geheel)

Matroos C neemt mee 2^2K_4 -1 en laat achter 2(2^2K_4 -1)

De kapitein treft aan 2^3K_4 -2

Na verwijderen van één munt blijkt 3|2^3K_4 -3

Stel K_4=3K_5, dus 3|2^3*3K_5 -3 (klopt voor K_5 geheel)

Tenslotte: K_5=K_4 /3=K_3 /3^2=K_2/ 3^3=K_1 /3^4

Dus: K=3^4K_5 -2 met K_5 geheel,

Kies nu:

K_5=1 => K=1*3^4 -2=79

K_5=2 => K=2*3^4 -2=160

K_5=3 => K=3*3^4 -2=241

K_5=4 => K=4*3^4 -2=322

K_5=5 => K=5*3^4 -2=403

...

Het gevraagde antwoord is dan: de kist bevatte 241 munten

[EvilBro]

Ik zou raadsel 201 zo doen: De beginsituatie, wat overblijft heeft rest 1 als je deelt door 3.

\( y \equiv 1 \mod 3\)

Eerste matroos komt, gooit 1 munt weg en neemt een derde mee. Wat overblijft heeft rest 1 als je deelt door 3.

\( \frac{2}{3}(y -1)\equiv 1 \mod 3\)

Tweede matroos komt, gooit 1 munt weg en neemt een derde mee. Wat overblijft heeft rest 1 als je deelt door 3.

\( \frac{2}{3}(\frac{2}{3}(y -1) - 1)\equiv 1 \mod 3\)

Derde matroos komt, gooit 1 munt weg en neemt een derde mee. Wat overblijft heeft rest 1 als je deelt door 3.

\( \frac{2}{3}(\frac{2}{3}(\frac{2}{3}(y -1) - 1)-1)\equiv 1 \mod 3\)

Nu is het een kwestie van uitwerken:

\( \frac{1}{3}(\frac{1}{3}(\frac{1}{3}(8 y - 8) - 4)-2)\equiv 1 \mod 3\)

\( \frac{1}{3}(\frac{1}{3}(8 y - 8) - 4)-2 \equiv 3 \mod 9\)

\( \frac{1}{3}(\frac{1}{3}(8 y - 8) - 4) \equiv 5 \mod 9\)

\( \frac{1}{3}(8 y - 8) - 4 \equiv 15 \mod 27\)

\( \frac{1}{3}(8 y - 8) \equiv 19 \mod 27\)

\( (8 y - 8) \equiv 57 \mod 81\)

\( 8 y \equiv 65 \mod 81\)

Ik heb toen even gezocht naar het getal x waarvoor geldt 8*x=1 mod 81.

\( 71 \cdot 8 y \equiv 71 \cdot 65 \mod 81\)

\( y \equiv 79 \mod 81\)

79, nee...

79+81 = 160, nee...

160+81 = 241, we have a winner.

[dannypje]

Verborgen inhoud

84 als ik nog kan hoofdrekenen

jeps

[TimothyL]

Raadsel 2

Een logisch probleem (niet zo simpel als het lijkt):

Een klant komt een schoenenzaak binnen en koopt er een paar laarzen ter waarde van 80 Euro. Hij betaalt met een briefje van 100.

De eigenaar van de schoenenzaak kan niet teruggeven van 100 Euro, dus gaat hij naar zijn buurman, een slager, en wisselt het briefje van 100 voor 5 briefjes van 20.

De klant krijgt een van de briefjes van 20 en verlaat de schoenenzaal.

Een half uur later komt de slager de schoenenzaak binnen en meldt dat het briefje van 100 dat hij gekregen heeft vals is.

De schoenenzaakeigenaar heeft inmiddels weer voldoende klein geld en geeft de slager een echt briefje van 100.

De vraag is nu, hoe groot is de strop die de eigenaar van de schoenenzaak heeft geleden?

kan dit 80 euro zijn?

[Th.B]

Ik zou hier eigenlijk een nieuw raadsel willen posten, maar ik weet niet of dat mag?

Iemand die de (ongeschreven) regels van dit topic kent?

[In physics I trust]

Gebruik deze lay-out

Raadsel nr

Raadseltekst

[hide]eventueel de oplossing in hide-tags[/hide]

[Th.B]

Raadsel 203

Je hebt een groot aantal munten voor je op een tafel liggen. Daarvan zijn er 100 met 'kop' naar boven gericht en de rest met 'munt'. Je wordt geblinddoekt, en jouw taak is als volgt: De munten moeten verdeeld worden in 2 groepen met elk evenveel munten met 'kop' naar boven. Je kunt dus niet kijken, en flauwe oplossingen als het gebruik van tastzin zijn ook niet toegestaan. Hoe moet dit?

[rova]

Verborgen inhoud

Antwoord op raadsel 203<br><br>Je neemt willekeurig 100 munten en draait ze gewoon om. Dan heb je evenveel keer kop als de rest van de munten op tafel.<br>stel: van die 100 munten waren er 5 'kop'naar boven gericht.<br>als je die allemaal omdraait heb je 95 x 'kop' en 5 x 'munt'<br><br>dan blijven er nog van die honderd met 'kop' naar boven gericht van in het begin: 100 - 5 x 'kop' naar boven gericht = 95 x 'kop' naar boven gericht over.

[Th.B]

Correct!

Is het nu de bedoeling dat rova met een nieuw raadsel komt, of mag ik een nieuwe posten?