Vragen/uitleg/opmerkingen minicursus differentieren

[Prof. Algebra]

Plaats in deze topic je vragen en opmerkingen over de [minicursus] DIFFERENTIËREN.

Er is ook een volledig overzicht van alle cursussen, FAQ's en handleidingen

[K. Jansen]

Misschien is het een idee om bij elke les enkele vragen met te plaatsen m.b.t. tot dat hoofdstuk. Zodat je zelf kan kijken of je enkele opgaven kan oplossen. De antwoorden op de vragen zou je b.v. in het wit kunnen typen. Veel succes met de cursus, en ik zal zeker proberen differentieren onder de knie te krijgen.

[Math]

De bedoeling is om een cursus aan te bieden over differentiëren in de vorm van een naslagwerk, een almanak en een leerstof.

Uiteraard, opgaves zijn gemakkelijk om te controleren of je het ook begrepen hebt, maar hoort niet bij de oorspronkelijke doelstelling van de cursus. Wil je echter controleren of je opgaves goed hebt gemaakt, d.w.z. je begrijpt de stof of een gedeelte van de stof van de cursus en wilt enkel het antwoord controleren (de berekening / manier van aanpakken kun je tenslotte halen uit de cursus) dan kan dit bijv. online doen. Klik daarvoor hier

Kom je er dan nog niet uit of denk je dat er ergens in je berekening iets fout is gegaan waar je zelf niet achter kunt komen, dan kun je alsnog die vraag stellen. Maar je begrijpt, veel vragen zullen dan al beantwoord zijn...

[peterdevis]

In de formele definitie stel je dat f'(x) = lim ( f(x+h)-f(x))/h met h->0

Je kan echter ook stellen dat f'(x) = lim (f(x)-f(x-h))/h met h->0

Kun je bewijzen dat voor alle f beide definities een zelfde afgeleide opleveren?

[Rogier]

In de formele definitie stel je dat f'(x) = lim ( f(x+h)-f(x))/h met h->0

Je kan echter ook stellen dat f'(x) = lim (f(x)-f(x-h))/h met h->0

Kun je bewijzen dat voor alle f beide definities een zelfde afgeleide opleveren?

Ja, als lim_h->0 bestaat wil dat zeggen dat h zowel van onderen als van boven 0 kan naderen, met hetzelfde resultaat. M.a.w. het maakt niet uit als je in de limiet h vervangt door -h.

Dat zou anders zijn geweest als er een pijltje omhoog of omlaag had gestaan, dan mag h maar van één kant naar nul gaan.

Verder staat er (weliswaar sumier) aangegeven dat het om continue functies gaat, en in dat geval zijn f(x+h) en f(x-h) sowieso hetzelfde als h naar 0 gaat.

(edit: vergeet deze zin maar, was geen geldig argument)

Je zou de afgeleide zelfs kunnen definiëren als lim_h->0( f(x+h) - f(x-h) ) / 2h.

[Anonymous]

ik heb een opmerking over de productregel. je deze ook beschouwen als techniek om de afgeleide van ingewikkeldere functies te bepalen.

Stel je weet weten wat de afgeleide is van f(x)=1/x.

hiervoor gebruik je een trucje:

kies nou een andere functie g(x)=x.

Stel dat p(x)=f(x)*g(x)=1 als x !=0

er geldt dus dat p'(x)=0.

dus 0 =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

0 =f'(x)x+1/x *1

0 =f'(x)x+1/x

dus f'(x)=-1/x²

en dat klopt wel..met de regel als (x^a)'=nx^a-1

en zo kun je deze technieken voor andere functies gebruiken en misschien ook voor primitieven, en natuurlijk hoeft p(x) niet altijd gelijk te zijn aan 1. ..

[aaargh]

Ik denk dat ik nu wel weet wat differentieren is maar wat is het nut?

[Anonymous]

Als je niet weet wat het nut is, weet je niet volledig wat differentieren is.

[sdekivit]

ik heb een opmerking over de productregel. je deze ook beschouwen als techniek om de afgeleide van ingewikkeldere functies te bepalen.

Stel je weet weten wat de afgeleide is van f(x)=1/x.

hiervoor gebruik je een trucje:

kies nou een andere functie g(x)=x.

Stel dat p(x)=f(x)*g(x)=1 als x !=0

er geldt dus dat p'(x)=0.

dus  0 =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

      0 =f'(x)x+1/x *1

      0 =f'(x)x+1/x

dus f'(x)=-1/x²

en dat klopt wel..met de regel als (x^a)'=nx^a-1

en zo kun je deze technieken voor andere functies gebruiken en misschien ook voor primitieven, en natuurlijk hoeft p(x) niet altijd gelijk te zijn aan 1. ..

dit hoort meer thuis in het hoofdstukje trucs, want 1/x kun je , zoals je zegt, gewoon differentieren met de machtregel en dus is de productregel eigenlijk overbodig.

[Syd]

Ik denk dat ik nu wel weet wat differentieren is maar wat is het nut?

Het grote nut is dat je minima en maxima kunt berekenen. En als je verder bent in de wetenschap zijn de mogelijkheden en toepassingen eindeloos...

[Anonymous]

Nut?

op eerste zicht: geen

maar zoals gezegd: minima, maxima...

Klein vb dat al iets of wat praktijkgericht is..

Gegeven een metalen plaat, 1m lang

gevraagd: maak hiervan een dakgoot met rechtopstaande zijden

dus je maakt van (wat volgt zijn doorsneden...)

___________________

iets in aard van

Code: Selecteer alles

|         |

|_____|

gevraagd is: zoek het maximale volume dat je op die manier kan construeren met die plaat... (lengte speelt niet echt rol.. neem dus maximale volume per lengte-eenheid)

vraag naar oplossing als jet niet vind (niet zo moeilijk)

nu, eens je functies van R^2 -> R hebt kan je veel verder gaan.... op hetzelfde voorbeeldje:

niet beide zijden loodrecht maar 1 zijde loodrecht, andere zijde heeft een bepaalde hoek, zodat je als doorsnede een trapeziumvorm krijgt...

ander nut: raaklijnen...

ander nut: (heel erg belangrijk nut zelfs!) Taylorontwikkeling....

Stelling van Taylor zegt dat er een c bestaat tussen x[0] en x:

f(x)=f(x[0])+f'(x[0])*(x-x[0])+[f''(x[0])*(x-x[0])^2]/2+[f'''(x[0])*(x-x[0])^3]/3!+...+[f(n keer afleiden)(x[0])*(x-x[0])^n]/n!+[f(n+1 keer afleiden)©*(x-x[0])^(n+1)]/(n+1)!

nogal warrige notatie... voor in maple:

Sum((diff(f(x),x$k)(x[0])*(x-x[0])^k)/k!,k=0..n) + (diff(f(x),x$(k+1))©*(x-x[0])^(k+1))/(k+1)!;

waarbij de laatste term de sluitterm van lagrange wordt genoemd...

mss lukt het om zo op te schrijven:

Code: Selecteer alles

/  n   /  k                                     /  k+1                        

|----- | d       |                        k |   | d            |                  (k + 1)

|     |---- f(x)|          (x - x[0])   |   |------ f(x) |     (x - x[0])       

|  )   |   k     |  (x[0])                 |   |   k+1       |(c)                  

| /     dx      /                           |    dx          /                  

|----- --------------------------      | + -------------------------------

k = 0        factorial(k)             /          factorial(k + 1)        

hiermee kan je een benadering, in de buurt van het punt x[0], maken voor eender welke functie die voldoende afleidbaar is... je kan immers enkele keren afleiden.. sommige functies oneindig keer, andere een beperkt aantal keer.. hang af van de continuiteit...

ik weet niet of er aandacht geschonken is aan de afleidbaarheid in de minicursus...

deze valt dan ook terug uit te bereiden tot hogere orden van functies...

voor mensen met maple moet je maar eens volgende doorlopen

Code: Selecteer alles

plot([sin(x),mtaylor(sin(x),x,8)],x=-Pi..Pi,color=[blue,red]);

plot([sin(x),mtaylor(sin(x),x,8)],x=-6/4*Pi..6/4*Pi,color=[blue,red]);

rood= benadering

blauw= functie sin(x)

duidelijk een bandering in omgeving van het punt x=0...

mvg

Andy

[Andy]

nja, die taylorreeks toch niet goed uitgekomen...

mss zo..

Code: Selecteer alles

/  n   /  k                             /  k+1                             

|----- | d         |                 k|   | d           |              (k + 1)

|     |---- sin(x)|(x[0]) (x - x[0]) |   |------ sin(x)|(c) (x - x[0])       

|  )   |   k       |                  |   |   k+1       |                     

| /     dx        /                  |    dx          /                     

|----- -------------------------------| + ------------------------------------

k = 0          factorial(k)          /             factorial(k + 1)          

[Andy]

alle, die sin(x) moet ge dus vervangen door f(x), mijn excuses

[TD]

Zoiets?

[Andy]

nja, nie helemaal, maar trekt er goed op...

uw afgeleiden in u som moet ge evalueren in x[0] en uw n+1e afgeleide in het punt c... is nogal moeilijk om met maple da in orde te krijgen...



dit zou het moeten zijn...

wat is trouwens een goede andere manier om hier wisk formules derop te zetten buiten omslachtig met images te werken?