Hoogst mogelijke berg

[Ruben Kwast]

als je twee bergen neemt, beiden even hoog, maar de een is slank en de ander is breed, dan is er precies dezelfde druk op de respectievelijke punten recht onder de top op het aardoppervlak (of er zelfs al onder[magma] ) wat er aan de randen van de berg gebeurt doet er niet toe.

het heeft vooral te maken met de zwaartekracht die groter wordt, een berg zinkt niet in de magma, maar smelt

Daar twijfel ik toch wel een beetje aan. Naar mij idee zijn de krachten aan de zijkant juist het hoogst, maar ook dat hangt helemaal af van de bouw van een berg. Daardoor lijkt het mij niet dat wat er aan de zijkant gebeurd niet van belang is.

De kracht op die berg wordt inderdaad groter, maar het hangt af van de manier waarop de massa wordt verdeeld.

[Jan van de Velde]

De kracht op die berg wordt inderdaad groter, maar het hangt af van de manier waarop de massa wordt verdeeld.

Er valt weinig te verdelen. Teken maar eens de doorsnede door een berg, en verdeel de getekende berg in verticale kolommetjes van bijv. 5 mm breed.

Teken dan een hogere berg, van dezelfde vorm. En trek dan je conclusie m.b.t. verdeling van massa.......

[scalarpotential]

En als je nou een holle berg hebt?

--

Ik zou zeggen dat tijd ook een rol speeld. Als een enorme grootte en koude meteor zachtjes op aarde land, dan staat daar toch wel een miljoen jaar een 'te grootte' berg denk ik. Het zal tenminste wel ff duren voordat de boel onderin versmolten is. Zal wel beetje wobbly ritje door ruimte worden waarschijnlijk (alhoewel, de maan doet hetzelfde). In ieder geval, als je het overleefd dan heb jij in jou leven een enorme berg, en je oma denk ik ook wel.

Iets realistischer is misschien een erg gespannen aardlaag die uitbarst of een enorme gasbel die zich omhoog perst. Maargoed, dat is maar 'iets realistischer' en verder klinkt dat smelt antwoord prima van hierboven. Alhoewel dat uiteindelijk betekend dat bergen altijd wegsmelten en de 'echte maximale hoogte' dan ook 0 is. Als we dus niet een afgekoelde planeet bedoelen. Want die kan blijkbaar net iets hebben meegemaakt waardoor ie een huge berg heeft, maar deze smelt niet meer af.

[Ruben Kwast]

De kracht op die berg wordt inderdaad groter, maar het hangt af van de manier waarop de massa wordt verdeeld.

Er valt weinig te verdelen. Teken maar eens de doorsnede door een berg, en verdeel de getekende berg in verticale kolommetjes van bijv. 5 mm breed.

Teken dan een hogere berg, van dezelfde vorm. En trek dan je conclusie m.b.t. verdeling van massa.......

Ik snap wat je bedoeld, maar volgens mij ga je ervan uit dat de breedte aan de voet van de berg gelijk blijft. Dan klopt het helemaal wat je zegt.

Ik probeer duidelijk te maken dat als je de massa groter maakt, door bijvoorbeeld iets hoger te maken, je het grondoppervlak groter moet maken om alles in verhouding gelijk te houden. Misschien maakt dit het een beetje duidelijker...

Vergelijk het met een boot. Voor een boot geld dat de verplaatste massa van water gelijk of meer moet zijn dat de massa van de boot, dan blijf je drijven. Als dus de boot in massa toeneemt, moet je ook meer water verplaatsen, anders zink je. Dat kan als je het contactoppervlak van de boot vergroot, daardoor zal het meer water kunnen verplaatsen en blijf je drijven.

Hetzelfde denk ik dat geldt voor een berg. De vraag is dus hoe maak ik een zo hoog mogelijke berg die niet wegzakt in de magma? Naar mijn mening is dat een berg die een laag vormt over de aarde, dan heb je namelijk het grootst mogelijke contactoppervlak. Dan moet het toch wel berekenbaar zijn, ik heb alleen geen flauw idee hoe...

[Jan van de Velde]

Dan moet het toch wel berekenbaar zijn, ik heb alleen geen flauw idee hoe...

Awel, door die twee gelijkvormige bergen te tekenen op ruitjespapier. Elk ruitje is een kubieke kilometer berg, met bijbehorende massa.

Elke 5 mm van de basis van de berg is een vierkante kilometer basisoppervlak warop de bovenliggende massa rust.

[qrnlk]

Wat is de dichtheid van magma?

[Ruben Kwast]

Dan moet het toch wel berekenbaar zijn, ik heb alleen geen flauw idee hoe...

Awel, door die twee gelijkvormige bergen te tekenen op ruitjespapier. Elk ruitje is een kubieke kilometer berg, met bijbehorende massa.

Elke 5 mm van de basis van de berg is een vierkante kilometer basisoppervlak warop de bovenliggende massa rust.

Hmmmm, ik denk dat ik wel begrijp wat je bedoeld, zou je het misschien willen tekenen?

Ik zat meer te denken aan het maximale gewicht dat magma kan dragen per vierkante kilometer. Als je dat weet kan je berekenen hoe hoog een berg kan zijn, er van uit gaande dat de berg altijd een kilometer bij een kilometer blijft.

[Jan van de Velde]

Hmmmm, ik denk dat ik wel begrijp wat je bedoeld, zou je het misschien willen tekenen?

De jeugd van tegenwoordig is toch veel handiger met computers dan die oude knarren als ik???

Maar vooruit dan:

doorsnede door een bergrug (rood) en een hogere bergrug met dezefde vorm (blauw): stel: 5 mm (1 ruitje) is 1 km



het is eenvoudig te zien dat de blauwe bergrug een veel geringere druk uitoefent op zijn totale ondergrond dan de rode. Je kunt hiervoor de gemiddelde hoogte nemen, (de uitersten heb ik gekleurd, hokjes tellen en door twee delen) gedeeld door de basis, of de totale oppervlakte van de doorsnede gedeeld door de bijbehorende basis.

En nou mogen jullie eens uitvogelen of mijn verhaal nog steeds geldt voor een piramidevormige solitaire berg, en vervolgens nog voor een solitaire kegelvormige berg. Doe je ook nog wat nuttigs in je vakantie.

Ik lees het wel.....

[Ruben Kwast]

het is eenvoudig te zien dat de blauwe bergrug een veel geringere druk uitoefent op zijn totale ondergrond dan de rode. Je kunt hiervoor de gemiddelde hoogte nemen, (de uitersten heb ik gekleurd, hokjes tellen en door twee delen) gedeeld door de basis, of de totale oppervlakte van de doorsnede gedeeld door de bijbehorende basis.

Als ik de gemiddelde hoogte van de blauwe berg neem (16/2=8), dat deel door de basis (8/26=0.3077) kom ik dus op 0.3077.

Als ik de gemiddelde hoogte van de rode berg neem (11/2=5.5), dat deel door de basis (5.5/18=0.3056) kom ik dus op 0.3056.

Blauw is dus meer, klopt dit of ben ik nou verkeerd bezig?

[Jan van de Velde]

het is eenvoudig te zien dat de blauwe bergrug een veel geringere druk uitoefent op zijn totale ondergrond dan de rode. Je kunt hiervoor de gemiddelde hoogte nemen, (de uitersten heb ik gekleurd, hokjes tellen en door twee delen) gedeeld door de basis, of de totale oppervlakte van de doorsnede gedeeld door de bijbehorende basis.

Als ik de gemiddelde hoogte van de blauwe berg neem (16/2=8), dat deel door de basis (8/26=0.3077) kom ik dus op 0.3077.

Als ik de gemiddelde hoogte van de rode berg neem (11/2=5.5), dat deel door de basis (5.5/18=0.3056) kom ik dus op 0.3056.

Blauw is dus meer, klopt dit of ben ik nou verkeerd bezig?

Wel steeds door de bijbehorende basis delen, voor de gemiddelde hoogte is de bijbehorende basis slechts één hokje. Voor de totale oppervlakte van de doorsnede is de basis de totale basis.

[Ruben Kwast]

Wel steeds door de bijbehorende basis delen, voor de gemiddelde hoogte is de bijbehorende basis slechts één hokje. Voor de totale oppervlakte van de doorsnede is de basis de totale basis.

Sorry, nu volg ik je niet meer . Waarom is de basis voor de gemiddelde hoogt 1? Wat ben ik trouwens aan het uitrekenen?

Ik heb natuurlijk wel nog steeds vakantie hè...

[Jan van de Velde]

Waarom is de basis voor de gemiddelde hoogt 1? Wat ben ik trouwens aan het uitrekenen?

In mijn tekening zit je aan te kijken tegen de doorsnede door een bergrug. Om een volume en daarmee (via dichtheid) een massa te bepalen van de bergrug hoort daar nog een dimensie bij, namelijk de lengte van de bergrug. Die verdwijnt hier dus verticaal in het papier.

Een hokje van 5 x 5 mm vertegenwoordigt in mijn tekening dus een stukje berg met een hoogte van een km en een breedte van een km. Denken we er de lengte van de bergrug bij, bijvoorbeeld ook weer één km. Dan heb ik dus een (denk aan een cake) plak berg, en stelt een ruitje 1km x 1kmx 1km = 1 kubieke kilometer (km³) steen voor.

Kijken we nu naar de basis van de bergrug. Hier zien we alleen de breedte van de bergrug in mijn tekening. Maar denken we daar óók die lengte van 1 km bij, dan geeft dat streepje van 5 mm ineens een oppervlakte weer, want breedte x lengte = 1 km x 1km = 1 vierkante km (km²)

De gemiddelde hoogte van een kolommetje van het rode bergje is 5,5 km. Op 1 km² basisoppervlak rust dus gemiddeld 5,5 km³ steen.

De gemiddelde hoogte van een kolommetje blauwe berg is 8 km. Op 1 km² basisoppervlak rust dan dus gemiddeld 8 km³ steen.

Je kunt voor mijn part ook de totale oppervlakte van de doorsnede uitrekenen. Voor een driehoek is dat basis x halve hoogte. Voor de rode driehoek is dat dus

18km x ½ x 11km = 99 km². Van een plak bergrug met een dikte van 2 km is het volume van die plak bergrug 99km² x 2km = 198 km³. De basis van die plak heeft een oppervlakte van 18 km x 2 km = 36 km². Er rust dus 198 km³ steen op 36 km² grondoppervlak, dus 198/ 36 = 5,5 km³ steen per km² oppervlak.

Beide berekeningswijzen geven (uiteraard) hetzelfde resultaat.

Dus (-ondanks zijn grotere basis-) is de druk (gewicht/oppervlakte) van de hogere bergrug op de ondergrond groter. Want bij toenemende hoogte neemt het volume (op de tweedimensionale tekening weergegeven door de oppervlakte) en dus het gewicht sterker toe dan de grondoppervlakte (opde tweedimensionale tekening weergegeven door de breedte) van de basis.

[Ruben Kwast]

[...]

En toen snapte ik het helemaal, bedankt voor de heldere uitleg!

Ik zal nu eens gaan kijken naar die piramide en kegel.

[Ruben Kwast]

Voor de kegel:



Voor de piramide:



Conclussie:

Als een berg groter wordt, wordt de druk per km2 ook groter, ongeacht de vorm van de berg.

[Jan van de Velde]

nee, toch net niet.

Wat je nu getekend en berekend hebt is weer net als die bergrug. Maar die solitaire piramide c.q. kegelberg hebben ook in de lengterichting ineens andere hoogtes, zodat je gemiddelde hoogte niet meer klopt. Als je die bergrug an mij in plakjes snijdt, is ieder plakje gelijk van vorm. Maar als je een piramide in verticale plakjes snijdt, of een kegel, wordt elk plakje ineens anders van vorm. Nou moet je dus wél driedimensionaal gaan, en dan is tekenen ineens niet zo handig meer.

Nou wordt het een beetje wiskunde, maar nog niet zó ingewikkeld. Ik wil graag twee gelijke vormen vergelijken, en daarom waren mijn twee bergruggen even steil. Even steil betekent niks anders dan dat de verhouding tussen breedte en hoogte gelijk blijft.

voor mijn bergrug gold:

\( V(olume)= b\cdot½\cdot h\cdot l en A(rea)=b\cdot l\)

Omdat de massa evenredig is met het volume, stellen we deze voor het gemak even gelijk aan elkaar. Druk is dan massa per oppervlak, m/A, dus geldt:

\(p(re\ssure)=\frac{m}{A}=\frac{V}{A}=\frac{b\cdot½\cdot h\cdot l}{b\cdot l}=½\cdot h\)

Voor een bergrug geldt dus, p=½h, ofwel, als de hoogte verdubbelt, verdubbelt ook de druk.

Op vergelijkbare wijze kun je nou ook uitrekenen wat er gebeurt met de druk onder een piramide die hoger wordt, of onder een kegel die hoger wordt, of voor mijn part onder een halve bol (iglovormige berg) door de formules voor volume en grondoppervlak van elk meetkundige figuur op elkaar te delen.