rapunzel

[Michel Uphoff]

Opmerking moderator

Als het niet mogelijk blijkt de discussie fatsoenlijk te houden, wordt deze gesloten.
Onaangenaam bericht en de terechte reacties er op zijn verwijderd.

[CoenCo]

Stiekem is het misschien toch iets complexer dan het op het eerste gezicht lijkt.
De wrijving is direct afhankelijk van de normaalkracht tussen touw en oppervlak.
Deze is dan weer afhankelijk van de trekkracht in het trouw.
Maar door de wrijving is de trekkracht aan de ene kant van het touw (bij de last) aanzienlijk lager dan aan de ander kant (het trekkende poppetje).
Waarmee trekkracht afhankelijk is van de wrijving, terwijl de wrijving afhankelijk is van de trekkracht.
 
Iets zegt me dat hier een differentiaalvergelijking aan ten grondslag ligt. En de kracht in het touw, niet-lineair oploopt, maar mogelijk in de vorm Ftouw=A*e^(Bx) is. Met de x-as parallel aan het touw. En A en B twee n.t.b. constanten.
 
En @Ukster zou #Ukster niet zijn als hij hier niet vol op duikt.. Toch?

[Xilvo]

Dat klopt helemaal.
In het geval dat Rapunzel trekt met 800 N, dus als de krachten in evenwicht zijn, is de 'potentiële maximale wrijvingskracht' 251,33 N.
Er is dan natuurlijk geen wrijvingskracht (nodig), wegens dat evenwicht.
 
Maar als Rapunzel minder hard of harder gaat trekken, dan verloopt de spanning in het touw langs het contactoppervlak met de rots van T_Rapunzel tot 800 N.
 
Dat is te zien in de minimale en maximale krachten door Rapunzel voordat het touw gaat glijden: "In dit geval 584,325N < T_Rapunzel< 1095,286N voor evenwicht." [bericht #10 van Ukster].
De eerste kracht ligt minder dan 251,33 onder die 800 N, de tweede meer dan die waarde boven 800 N.
 
Lijkt me interessant om te berekenen hoe het krachtverloop in het touw is als er géén evenwicht is.
Er zal wel van een zekere elasticiteit van het touw moeten worden uitgegaan; bij een volstrekt star koord (en een eveneens geheel onvervormbare rots) zou je allerlei soorten spanningsverloop in het touw kunnen bedenken, zolang de kracht aan één kant maar 800 N is, aan de andere kant T_Rapunzel, en nergens de plaatselijke maximale wrijvingskracht overschrijdt.

[CoenCo]

Het moge duidelijk zijn dat rapunzel op een klim-expeditie was. En daar maakt men gebruik van zogenaamd dynamisch touw, met een vrij hoge rek. Dit is zodat bij een val, er een langeremweg is. Waardoor de versnelligen en krachten laag zijn.

De kwartrondd rots is in vergelijking uiteraard oneindig stijf.

[Xilvo]

Nog even over gedacht. Maar ook een (heel) rekbaar touw zal er niet voor kunnen zorgen dat er maar één unieke oplossing is.
Zolang de plaatselijke maximale wrijvingskracht niet overschreden wordt zijn er oneindig veel oplossingen mogelijk.
 
Ook bij evenwicht, als T_Rapunzel = 800 N, kun je plaatsen langs de rots hebben met bijvoorbeeld 850 of 750 N spanning in het touw.
 
Ik had trouwens de indruk uit #31 dat dit draadje op slot ging.
Gelukkig leidt een verkeerd bericht niet tot het onmiddellijk sluiten van een leuk draadje als dit.

[Professor Puntje]

In berichtje #10 staat een afleiding in de gelinkte pdf. Daarmee is het probleem toch opgelost, of is daar iets mis mee? 

[Xilvo]

Ik ben de hele afleiding nog niet nagegaan maar zowel uitgangspunten als uitkomsten zijn heel plausibel.
 
Daarmee zijn wel de minimale en maximale waardes voor T_Rapunzel bekend, maar nog niet het spanningsverloop in het touw voor waardes daar tussenin.

[Professor Puntje]

Er staat in die pdf wel een differentiaalvergelijking....

[Xilvo]

Als je net op het randje van slippen zit, weet je dat je op iedere punt een wrijvingskracht hebt die de wrijvingscoëfficiënt maal de normaalkracht is.
 
Maar als je ónder die grens zit weet je dat niet en kun je niet op deze wijze een differentiaalvergelijking opschrijven.

[Professor Puntje]

Inderdaad! Je hebt gelijk. En dan wordt het lastig.
 
Misschien is het dan beter om eerst een eenvoudiger geval (zonder boogje) te bekijken waarbij de wrijvingskracht onder de maximale waarde blijft om te zien of er dan op de een of andere manier toch nog aan te rekenen is...

 

[ukster]

Zonder speciale eigenschappen/kenmerken van de Cliff of van het touw erin te betrekken is de afleiding voor T2/T1 rechttoe rechtaan, waarbij is uitgegaan van 2 evenwichtsvoorwaarden: :SIGMA: Fx=0 en  :SIGMA: Fy=0
De krachtenratio T2/T1 is dus afgeleid voor het punt waarbij het systeem op het punt staat te gaan bewegen,maar net niet, maar waarbij μ_s en β wel een rol spelen (zie pdf bericht #10).

krachtenratio.jpg (12.71 KiB) 885 keer bekeken

Voor de gegeven μ_s en β geldt: T2=1,3691.T1 
Ingeval Rapunzel trekt met T_max(T2>1,3691.800N>1095,286N),gaat Repelsteeltje omhoog.
Ingeval Rapunzel trekt met T_min(T2<800N:1,3691<584,325N), gaat Repelsteeltje omlaag.
Dus equilibrium voor T_min<T_Rapunzel<T_max 
 
 
 
 

[ukster]

De straal zou onder deze omstandigheden dus geen enkele invloed hierop hebben.
Zou de krachtverdeling in het touw (tussen T2 en T1) lineair kunnen zijn als er geen beweging is?
En hoe zit dat dan als er wel beweging is? (dan moet uiteraard μ_d bekend zijn)

[Xilvo]

@Ukster
 
De (al eerder door jou geplaatste) oplossing in #41 is onomstreden, voor zover ik zie.
 
Ik denk dat de krachtenverdeling in het touw bij  T_min<T_Rapunzel<T_max (en dan niet pal bij T_min of T_max ) allerlei vormen kan aannemen.
 
Als er wèl beweging is, vermoed ik dat er weer een eenduidige oplossing is als μ_d = μ_s (indien geen versnelling).
Als μ_d < μ_s kun je plakken-loslaten krijgen, zoals een piepende autoband op een wegdek.

[ukster]

Heel aannemelijk! O:)

[CoenCo]

De uitwerking van bericht #10 had ik over het hoofd gezien, maar die ziet er zeer plausibel uit, inclusief een DV en oplossing in de door mij verwachtte vorm.
 
Met die oplossing kan je ook leuke andere puzzeltjes oplossen:

winch-with-rope-on-sailing-boat-stock-photo_csp5865284.jpg (33.48 KiB) 887 keer bekeken

Stel we hebben een lier op een flinke zeilboot. De fok (het voorste zeil) trekt met 500kg aan de fokkeschoot (het touw). De schipper moet even iets doen, en geeft de schoot aan zijn dochtertje: "hou vast!". Hoeveel slagen moet het touw om de lier zitten, zodat het meisje met een kracht van slechts 10kg deze fok in bedwang kan houden?
 
Neem us=ud=0,2.