bal

[FFish]

(hoe schrijven julie dit zo fancy op?)

Latex
phpbb/viewtopic.php?t=134114#entry643875

dank je

[Xilvo]

en de oplossing is van de vrom
(v0^2)*sin(s)/g-(v0^2)*(sin(s)^2-1)(ln(v0(1+sin(s)))-ln(v0(1-sin(s))))
(hoe schrijven julie dit zo fancy op?)

V₀ en g kun je 1 stellen, dat is overbodige ballast.
Aan de eerste term ontbreekt een factor 2.

[Marko]

Het probleem is te reduceren tot max booglengte.pngen (helaas) alleen numeriek op te lossen.
Θ ≈56,46583513°≈ 56,5°

Maar wellicht valt er wel een uitdrukking te vinden die analytisch oplosbaar is en bij benadering het goede antwoord geeft.

\(\frac{1+sin \theta}{cos \theta}\)

is te herschrijven tot

\(\sqrt{\frac{1+sin \theta}{1-sin \theta}}\)

en dus is

\(ln \frac{1+sin \theta}{cos\theta} = \frac 1 2 ln \frac{1+si n\theta}{1-sin \theta}\)

en tot

\(\frac 1 2 [ln (1+sin\theta) - ln (1-sin\theta)]\)

Noem

\(p=sin \theta\)

Dan wordt de vergelijking

\(p [ln (1+p) - ln (1-p)] = 2\)

Als je nu de ln termen als MacLaurin reeksen schrijft vallen de tweede, vierde, etc term tegen elkaar weg. Door hogere orde termen te verwaarlozen blijft als het goed is een analytisch oplosbare vergelijking over, die met redelijke precisie het juiste antwoord benadert.

Ik heb dit nog niet verder uitgewerkt en de afleiding ook nog niet nageplozen, maar wellicht kun je er iets mee.

[ukster]

Heel mooi ...,afbreken na de 8e term geeft een afwijking van 0,29% met het resultaat van de eerder genoemde numerieke oplossing.

reeksontwikkeling.png (4.98 KiB) 1528 keer bekeken

[FFish]

en de oplossing is van de vrom
(v0^2)*sin(s)/g-(v0^2)*(sin(s)^2-1)(ln(v0(1+sin(s)))-ln(v0(1-sin(s))))
(hoe schrijven julie dit zo fancy op?)

V₀ en g kun je 1 stellen, dat is overbodige ballast.
Aan de eerste term ontbreekt een factor 2.

de 2de term ontbreekt ook (1/g)

[Marko]

Heel mooi ...,afbreken na de 8e term geeft een afwijking van 0,29% met het resultaat van de eerder genoemde numerieke oplossing.
reeksontwikkeling.png

Maar dat "solven" is een numerieke oplossing. Dus zo heb je een numerieke benadering van een numerieke benadering.

Ik zat eerder te denken om al na de 2e term af te breken, dan krijg je

\(p^2 + \frac{p^4}{3} = 1\)

En als je vervolgens r = p² schrijft,

\(\frac{r^2}{3} +r -1 = 0\)

heb je een kwadratische vergelijking waar je expliciet de wortel van kunt schrijven. En vervolgens krijg je dus ook een expliciete uitdrukking voor p, en voor de hoek θ.

Volgens mij kom je dan op

\(\theta = sin^{-1} \sqrt{\frac 3 2 (\sqrt{\frac 7 3} - 1)}\)

Kun je verder niks mee. Als je het invult op de rekenmachine kom je tot de conclusie dat θ bij benadering 63°is, behoorlijk afwijkend van de exacte waarde dus.

Hoewel...stel dat je voor de opdracht staat om een projectiel af te schieten dat zo lang mogelijk van de grond moet blijven (geen idee waarom, verzin maar een verhaal), en je hebt geen computer, rekenmachine of wat dan ook bij de hand...dan kun je met bovenstaande, en wat slimme shortcuts, uit het hoofd bepalen wat je moet doen:

7/3 is ongeveer 2.3, dat is ongeveer 2.25 en dus is de wortel ongeveer 1.5. Dan is √7/3 - 1 ongeveer 0.5, en dus moet je de wortel van 3/4 uitrekenen, dat is 1/2 * √3. Dat is de sinus van een hoek van 60°. En hoewel dat niet de optimale waarde is kom je alleszins verder dan niet-rekenaars die zouden gokken op een hoek van 45°

[tempelier]

Afbreken mag eigenlijk alleen als men iets weet van de fout die dan wordt gemaakt.
Daarvoor is meestal een restterm nodig. Daar wordt hier duidelijk tegen gezondigd.
Bedenk ook dat niet elke Taylorreeks convergeert.

[ukster]

En hoewel dat niet de optimale waarde is kom je alleszins verder dan niet-rekenaars die zouden gokken op een hoek van 45°

Ook is de afleiding nog wel een dingetje...

[FFish]

Afbreken mag eigenlijk alleen als men iets weet van de fout die dan wordt gemaakt.
Daarvoor is meestal een restterm nodig. Daar wordt hier duidelijk tegen gezondigd.
Bedenk ook dat niet elke Taylorreeks convergeert.

het convergeert voor |X|<=1
hier is aan voldaan omdat x=sin(theta)

[FFish]

sorry voor |X|<1 niet gelijk!

[Marko]

Afbreken mag eigenlijk alleen als men iets weet van de fout die dan wordt gemaakt.
Daarvoor is meestal een restterm nodig. Daar wordt hier duidelijk tegen gezondigd.

Klopt, maar af en toe een beetje zondigen maakt het leven wel een stuk makkelijker.

Of de fout uiteindelijk acceptabel is, kan proefondervindelijk worden vastgesteld. Dat is het grote voordeel van toegepaste wetenschap. Het klopt nooit, maar het werkt wel.