y=f(x,h,R,alpha)

[ukster]

y=f(x,h,R).png (15.78 KiB) 2244 keer bekeken

Volgens mij is in het bovenste plaatje de hoogte y te schrijven als:

expressie voor y=f(x,h,R).png (1023 Bytes) 2244 keer bekeken

Hoe ziet y=f(x,h,R,α) eruit in het onderste plaatje?

[Rik Speybrouck]

Heb even mijn papierberg omgekeerd en heb iets gevonden dat ik eens heb opgesteld. Ik heb het niet opnieuw bekeken. Je moet het maar eens evalueren.

[RedCat]

Volgens mij is in het bovenste plaatje de hoogte y te schrijven als:

\(y=\frac{4hx}{R^2}(R-x)\)

Hoe ziet y=f(x,h,R,α) eruit in het onderste plaatje?

Punt (R cos(alpha), R sin(alpha)) ligt op de parabool, daarmee kom ik voor het onderste plaatje uit op:

\(y=\frac{4hx}{S^2}(S-x)\)

waarbij

\(S=\frac{2R \cos \alpha}{1 + \sqrt{1 - \frac{R \sin \alpha}{h}}}\)

[Rik Speybrouck]

Volgens mij is in het bovenste plaatje de hoogte y te schrijven als:

\(y=\frac{4hx}{R^2}(R-x)\)

Hoe ziet y=f(x,h,R,α) eruit in het onderste plaatje?

Punt (R cos(alpha), R sin(alpha)) ligt op de parabool, daarmee kom ik voor het onderste plaatje uit op:

\(y=\frac{4hx}{S^2}(S-x)\)

waarbij

\(S=\frac{2R \cos \alpha}{1 + \sqrt{1 - \frac{R \sin \alpha}{h}}}\)

welke afstand is je s juist als ik vragen mag

[RedCat]

S = de afstand van de oorsprong tot het rechter snijpunt van de parabool met de x-as (= de R uit het bovenste plaatje): als x = S dan is y = 0.

[ukster]

Perfect.. ik heb e.e.a gecheckt en het klopt tot in de puntjes....
Heel erg bedankt. Dit is wat ik zocht en waar ik niet uitkwam.
Mooi dat je het op die manier geschreven hebt. Het geeft meteen de relatie met het 1e plaatje weer.
anders wordt het een nogal een expressie

expressie voor y=f(x,h,R,alpha).png (3.91 KiB) 1980 keer bekeken

[RedCat]

Dit is wat ik zocht en waar ik niet uitkwam.

Oei, ik dacht dat je hem al had en alleen maar controle wilde...
Dan geef ik ook nog mijn werkwijze:

Een parabool door de oorsprong wordt beschreven door

\(y=ax^2+bx\)

en de top daarvan ligt op

\(\left( -\frac{b}{2a}, -\frac{b^2}{4a} \right)\)

dus

\(h = -\frac{b^2}{4a} \; \Rightarrow \; a = -\frac{b^2}{4h}\)

De vergelijking van de parabool wordt hiermee:

\(y=-\frac{b^2}{4h}x^2+bx\)

Noem het snijpunt van de parabool en de schuine lijn = P, dan is

\(P = (R \cos \alpha, R \sin \alpha)\)

P ligt op de parabool, vul de coördinaten van P in in de paraboolvergelijking en los daaruit b op:

\(b=\frac{2h+2\sqrt{h^2-hR \sin \alpha}}{R \cos \alpha}\)

Er zijn 2 oplossingen voor b, bovenstaande levert de blauwe parabool in het plaatje hieronder.
De andere oplossing van b levert de rode parabool, ook door P en ook met maximale y-waarde = h, maar ik vermoed dat je die niet nodig hebt.



Resteert nog de parabool te herschrijven in de vorm:

\(y = k \cdot x \cdot (S - x)\)

dus k te bepalen, uitgedrukt in de gegeven variabelen.
Dat levert het uiteindelijke resultaat.

Je eerste plaatje is inderdaad een bijzonder geval van je tweede plaatje met alpha = 0, waardoor S = R.

[Rik Speybrouck]

Dit is wat ik zocht en waar ik niet uitkwam.

Oei, ik dacht dat je hem al had en alleen maar controle wilde...
Dan geef ik ook nog mijn werkwijze:

Een parabool door de oorsprong wordt beschreven door

\(y=ax^2+bx\)

en de top daarvan ligt op

\(\left( -\frac{b}{2a}, -\frac{b^2}{4a} \right)\)

dus

\(h = -\frac{b^2}{4a} \; \Rightarrow \; a = -\frac{b^2}{4h}\)

De vergelijking van de parabool wordt hiermee:

\(y=-\frac{b^2}{4h}x^2+bx\)

Noem het snijpunt van de parabool en de schuine lijn = P, dan is

\(P = (R \cos \alpha, R \sin \alpha)\)

P ligt op de parabool, vul de coördinaten van P in in de paraboolvergelijking en los daaruit b op:

\(b=\frac{2h+2\sqrt{h^2-hR \sin \alpha}}{R \cos \alpha}\)

Er zijn 2 oplossingen voor b, bovenstaande levert de blauwe parabool in het plaatje hieronder.
De andere oplossing van b levert de rode parabool, ook door P en ook met maximale y-waarde = h, maar ik vermoed dat je die niet nodig hebt.



Resteert nog de parabool te herschrijven in de vorm:

\(y = k \cdot x \cdot (S - x)\)

dus k te bepalen, uitgedrukt in de gegeven variabelen.
Dat levert het uiteindelijke resultaat.

Je eerste plaatje is inderdaad een bijzonder geval van je tweede plaatje met alpha = 0, waardoor S = R.

ik
Ik weet niet of je mijn formules even heb doorlopen, maar er staat een formule tussen om de unieke lanceerhoek te berekenen waarbij de afstand langs de helling precies gelijk is aan de afgelegde afstand zonder helling

[RedCat]

Ik weet niet of je mijn formules even heb doorlopen, maar er staat een formule tussen om de unieke lanceerhoek te berekenen waarbij de afstand langs de helling precies gelijk is aan de afgelegde afstand zonder helling

Je hebt daar deze formule afgeleid:

\(RS = \frac{v_0^2 \sin 2 \epsilon}{g} \cdot \frac{1- \tan \alpha \tan \epsilon}{\cos \alpha}\)

De tweede breuk daarin wordt gelijk aan één als

\(\epsilon = \text{atan}\left(\frac{1-\cos \alpha}{\tan \alpha}\right)\)

Maar hoe komen we hiermee verder?

Als we v0 willen bepalen voor een gewenste afstand RS, dan hebben we nog steeds alle 3 de constanten (g, ε en α) nodig:
bij elke α moeten we eerst opnieuw ε bepalen voordat we hem in kunnen vullen in sin(2ε) in de linker breuk.

Voorbeeld (met v0 = 20, g=10):

\(\alpha = 20^\circ \;\Rightarrow\; \epsilon = 9.408^\circ \;\Rightarrow RS = R = 12.90\)

\(\alpha = 30^\circ \;\Rightarrow\; \epsilon = 13.054^\circ \;\Rightarrow RS = R = 17.62\)

[Rik Speybrouck]

Ik weet niet of je mijn formules even heb doorlopen, maar er staat een formule tussen om de unieke lanceerhoek te berekenen waarbij de afstand langs de helling precies gelijk is aan de afgelegde afstand zonder helling

Je hebt daar deze formule afgeleid:

\(RS = \frac{v_0^2 \sin 2 \epsilon}{g} \cdot \frac{1- \tan \alpha \tan \epsilon}{\cos \alpha}\)

De tweede breuk daarin wordt gelijk aan één als

\(\epsilon = \text{atan}\left(\frac{1-\cos \alpha}{\tan \alpha}\right)\)

Maar hoe komen we hiermee verder?

Als we v0 willen bepalen voor een gewenste afstand RS, dan hebben we nog steeds alle 3 de constanten (g, ε en α) nodig:
bij elke α moeten we eerst opnieuw ε bepalen voordat we hem in kunnen vullen in sin(2ε) in de linker breuk.

Voorbeeld (met v0 = 20, g=10):

\(\alpha = 20^\circ \;\Rightarrow\; \epsilon = 9.408^\circ \;\Rightarrow RS = R = 12.90\)

\(\alpha = 30^\circ \;\Rightarrow\; \epsilon = 13.054^\circ \;\Rightarrow RS = R = 17.62\)

uiteraard heb je verschillende gegevens nodig om de afstand te berekenen, de berekening van deze ene unieke hoek waarbij ze juist gelijk worden is voor de aardigheid

[RedCat]

OK, dan klopt alles weer.
Ik was al aan het zoeken of ik misschien iets miste of over het hoofd zag.
Inderdaad wel leuk om die eigenschap te zien!

[Rik Speybrouck]

OK, dan klopt alles weer.
Ik was al aan het zoeken of ik misschien iets miste of over het hoofd zag.
Inderdaad wel leuk om die eigenschap te zien!

al die speciale verhoudingen gezien in die gelijkzijdige driehoek die ik heb gepost