normaalkracht

Moderator: physicalattraction

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 2.783

normaalkracht

Een dunne uniforme staaf met massa m waarvan het onderste uiteinde op een wrijvingsloze tafel rust, wordt losgelaten onder een hoek Θo ten opzichte van de verticaal. Op basis van de afgeleide formule N=mg/(1+3sin2Θo) zal dus de kleinst mogelijk voorkomende normaalkracht op de staaf op infinitesimaaltijd na loslaten ongeveer mg/4 zijn ? (Θo≈89,9999 …..°)

Berichten: 20

Re: normaalkracht

Waar komt die afgeleide formule vandaan? sinΘ is alleen gelijk aan 1 als Θ gelijk is aan 90 graden, maar dan ligt je staaf horizontaal op tafel.

Wat bedoel je met 'kleinst mogelijk voorkomende normaal kracht'?

Volgens mij is de kracht in lengte richting van de staaf t.g.v. de zwaartekracht gelijk aan N = mg*cos(Θ)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.783

Re: normaalkracht

irArjan schreef: ma 12 okt 2020, 19:58 Waar komt die afgeleide formule vandaan? sinΘ is alleen gelijk aan 1 als Θ gelijk is aan 90 graden, maar dan ligt je staaf horizontaal op tafel.
staaf.png
staaf.png (10.06 KiB) 1085 keer bekeken
Afleiding Normaalkracht N
Afleiding normaalkracht.png

Wat bedoel je met 'kleinst mogelijk voorkomende normaal kracht'?

De Normaalkracht bij net geen 90°
Normaalkracht.png
Normaalkracht.png (11.46 KiB) 1085 keer bekeken
Volgens mij is de kracht in lengte richting van de staaf t.g.v. de zwaartekracht gelijk aan N = mg*cos(Θ)
zie afleiding Normaalkracht N

Berichten: 20

Re: normaalkracht

Wat er hier niet goed gaat is dat je de beginwaarden te vroeg invult. Dat doe je al in de stap \(\ddot{y} = a_y=-\frac{l}{2}\ddot{\theta}\sin(\theta_0)\) maar dat is te vroeg. Daardoor valt de \(\dot{\theta}\) term te vroeg uit je analyse, terwijl die term de oplossing juist zo moeilijk maakt.

Wat je uiteindelijk moet oplossen zijn de gekoppelde, niet lineaire differentiaal vergelijkingen \(\Sigma F_y = ma_y\) en \(\Sigma M = I\alpha\). Dat wordt dan volgens mij deze vergelijkingen: \[N - mg = -m\frac{l}{2}\left(\dot{\theta}^2\cos(\theta) + \ddot{\theta}\sin(\theta)\right),\] \[\frac{l}{2}N\sin(\theta) = I\ddot{\theta}\] Dit zijn twee vergelijkingen met twee onbekenden (\(\theta\) en \(N\)) die je moet integreren van \(t=0\) tot \(t\). De beginwaarden kan je pas bij dit integreren toepassen, niet eerder. Het analytisch integreren van dit stelsel vergelijkingen is geen sinecure (voor mij iig :lol: ), dus je zal het numeriek moeten doen.

Als ik dat doe, en ik heb geen foutjes gemaakt kom ik op het volgende plaatje, zie hieronder. De minimale \(N = 9.4N\) op \(\theta = 45^{\circ}\) En daarbij heb ik een massa van 1kg, een lengte van 2m en een \(\theta_0\) van 1 graad gebruikt.
Bijlagen
Capture.PNG

Berichten: 20

Re: normaalkracht

Laat dat plaatje maar zitten, daar klopt niks van :? :lol:. Iets te snel op de 'solve' knop gedrukt. Misschien dat ik het later nog eens probeer.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.783

Re: normaalkracht

irArjan schreef: di 27 okt 2020, 21:05 Dat wordt dan volgens mij deze vergelijkingen: \[N - mg = -m\frac{l}{2}\left(\dot{\theta}^2\cos(\theta) + \ddot{\theta}\sin(\theta)\right),\] \[\frac{l}{2}N\sin(\theta) = I\ddot{\theta}\] Dit zijn twee vergelijkingen met twee onbekenden (\(\theta\) en \(N\))
Klopt helemaal!
Isoleren van de hoekversnelling uit de 2e vergelijking en invullen in de 1e vergelijking levert:
Normaalkracht op staaf.png
Normaalkracht op staaf.png (3.98 KiB) 712 keer bekeken

Berichten: 20

Re: normaalkracht

Op die manier kan je echter geen initiële condities mee geven, dat was mijn eerdere punt ook.

De relatie waar je mee eindigt is alleen geldig op de initiële conditie, dus als \(\theta = \theta_0\). Die vergelijking zegt dus alleen wat op \(t = 0\) en niet later. Wat je ook kan zeggen is dat je alle initiële condities tegelijk moet mee geven, en dan eindig je met:

\[
N = \frac{mg}{1 + 3\sin^2\theta_0}
\]

wat dus niks zegt over het verloop van \(N\) over \(\theta\)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.783

Re: normaalkracht

irArjan schreef: wo 28 okt 2020, 12:33
De relatie waar je mee eindigt is alleen geldig op de initiële conditie, dus als \(\theta = \theta_0\). Die vergelijking zegt dus alleen wat op \(t = 0\) en niet later.
wat dus niks zegt over het verloop van \(N\) over \(\theta\)
Klopt, maar de vraag was dan ook: Wat is de normaalkracht N die de tafel uitoefent op de staaf op infinitesimaaltijd na loslaten. . niet meer en niet minder!

Berichten: 20

Re: normaalkracht

Ok, als je vraag was wat de normaal kracht N is als functie van de beginwaarde van de hoek, dan is dit je antwoord idd. Maar ik had de vraag geïnterpreteerd als: "klopt het dat de minimale reactiekracht direct na het loslaten optreed" (en dus niet later na het loslaten...)

Anyway, dan zijn we eruit ;)

Berichten: 20

Re: normaalkracht

Om toch nog even het juiste plaatje te produceren, dit is dus wat er gebeurd als je de staaf los laat
Bijlagen
Capture.PNG

Gebruikersavatar
Berichten: 2.783

Re: normaalkracht

Als de staaf wordt losgelaten op θ=0° komt de onderkant van de staaf volgens dit plaatje los van de ondergrond bij ca 64,7°
(m=1kg, L=1m)
vallende staaf.png
vallende staaf.png (24.74 KiB) 472 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 2.783

Re: normaalkracht

vallende staaf.png
vallende staaf.png (4.87 KiB) 434 keer bekeken
op basis van deze uitleg.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.783

Re: normaalkracht

Niet dus .... slordigheidje :o
Denk dat dit wel goed is.
vallende staaf.png

Berichten: 20

Re: normaalkracht

Net niet hetzelfde als wat ik heb:

Dit is wat ik in ode45 stop:
\[ \ddot{\theta} = \left[ \frac{m}{2} Lg\sin\theta - \frac{m}{4} L^2\dot{\theta}^2\sin\theta\cos\theta\right] / \left( \frac{m}{12}L^2(1+3\sin^2\theta \right) \]

Met \(\theta(0) = 0.01\pi/180 \) en \(\dot{\theta}(0)\) = 0.

Hier komt \(\theta\) en \(\dot{\theta}\) uit. Vervolgens bereken ik \(\ddot{\theta}\) gewoon met \(d\dot{\theta} / dt\) en daarna \(N\) uit deze vergelijking:
\[
N = mg - m \frac{L}{2} \ddot{\theta} \sin(\theta) - m \frac{L}{2} \dot{\theta}^2 \cos(\theta)
\]

Hier komt bij mij dit uit:
Capture.PNG

Berichten: 20

Re: normaalkracht

Oh, wacht, ik heb \(L = 2m\)... Met \(L=1m\) krijg ik wel hetzelfde idd :D

(oh, mijn labels staan verkeerd)
Capture.PNG

Reageer