minimize

[ukster]

Een kabel hangt tussen twee punten op gelijke hoogte op afstand 2d van elkaar.
Bij welke kabellengte L is de resultante kracht in de ophangpunten minimaal, en onder welke hoek met de horizontaal.
Interessante vraag en praktisch nuttig lijkt me. Het oplossen zal nog niet eenvoudig zijn vanwege allerlei bewerkingen (waaronder differentieren) op hyperbolische functies.

[tempelier]

Dit valt onder sterkteleer en daar weet ik niet zoveel van.

Wat ik wel weet dat als de kabel vrij hangt en geen inwendige spanningen heeft het een kettinglijn is.
Ook wel bekend onder de naam kathoïde en in de wiskunde als cosinushyperbolicus.

[ukster]

De tekening vormt de basis voor de berekening!

Voor de kracht F is het kabelgewicht G en de vorm van de vrij hangende kabel van belang.
L=2csinh(d/c) en y=ccosh(d/c)
kabelgewicht G=ρgL (met lineaire massadichtheid ρ [kg/m])
De verticale krachtcomponent in een ophangpunt is G/2, dus F=G/(2sin(θ))
Het verband worden tussen θ en de hyperbolische uitdrukking zit'm naar mijn idee in de
richtingscoëfficiënt in het ophangpunt: tan⁡(θ) =y'(_{differentieren naar d}) = sinh(d/c)

pythagoras.png (6.02 KiB) 1421 keer bekeken

sinθ=tanh(d/c)
wordt vervolgd...

[ukster]

verder uitgewerkt

w1.png (7.95 KiB) 1226 keer bekeken

afgeleide nul stellen.

w2.png (6.94 KiB) 1226 keer bekeken

w3.png (9.79 KiB) 1226 keer bekeken

w4.png (7.33 KiB) 1226 keer bekeken