dubbele resonantie frequentie

Moderator: physicalattraction

Reageer
Berichten: 30

dubbele resonantie frequentie

Stel je hebt volgend systeempje, een locomotief, een wagon en in de wagon een lading. Alles is met veren aan elkaar verbonden. Er is geen demping. (de veer tussen de wagon en de trein heeft een waarde k).

Afbeelding

Als ik de vergelijkingen opstel krijg ik:
\(m\,\ddot{x_1}+k\,x_1=F + k\,x_2\)
\(m\,\ddot{x_2}+2\,k\,x_2=k\,x_1+\frac{k}{2}x_3+\frac{k}{2}x_4\)
\(\frac{m}{2}\ddot{x_3}+k\,x_3=\frac{k}{2}x_2+\frac{k}{2}x_4\)
\(\frac{m}{2}\ddot{x_4}+k\,x_4=\frac{k}{2}x_2+\frac{k}{2}x_3\)
Of in matrix vorm:
\(\underline{\underline{M}}\,\ddot{\underline{x}}+\underline{\underline{K}}\,\underline{x}=\underline{F}\)
\(\begin{bmatrix}
m & 0 & 0 & 0\\
0 & m & 0 & 0\\
0 & 0 & \frac{m}{2} & 0\\
0 & 0 & 0 & \frac{m}{2}\\
\end{bmatrix}\ddot{\underline{x}}+\begin{bmatrix}
k & -k & 0 & 0\\
-k & 2\,k & -\frac{k}{2} & -\frac{k}{2}\\
0 & -\frac{k}{2} & k & -\frac{k}{2}\\
0 & -\frac{k}{2} & -\frac{k}{2} & k\\
\end{bmatrix}\underline{x}=\begin{bmatrix}
F\\
0\\
0\\
0\\
\end{bmatrix}\)
Ok en dan nu de resonantie frequenties berekenen:,
Door de kracht weg te laten en het te transformeren naar het frequentie domein:
\(-\omega^2\,\underline{\underline{M}}\,\underline{X}+ \underline{\underline{K}}\,\underline{X}=0\)
\(\underline{\underline{M}}^{-1}\,\underline{\underline{K}}\,\underline{X}=\omega^2\,\underline{X}\)
En dus door de eigenwaarde van de matrix links uit te rekenen krijg ik:
\(\omega^2 = \begin{bmatrix}
0 & \frac{k}{m} & \frac{3\,k}{m} & \frac{3\,k}{m}\\
\end{bmatrix}\)
Dat betekent dat er een "dubbele" resonantie frequentie is op \(\sqrt{\frac{3\,k}{m}}\).
Mijn probleem is nu dat bij die eigenwaarde ook eigenvectoren horen.
Die eigenvectoren zijn de modevormen (hoe het systeem beweegt in resonantie),
maar welke modevorm gaat er dan voor komen?
Het lijkt me niet zo intuïtief hoe het systeem nu gaat bewegen op die frequentie.
Of heb ik ergens een fout gemaakt waardoor mijn oplossing niet klopt?

Technicus
Berichten: 908

Re: dubbele resonantie frequentie

Ziet er volgens mij netjes uit.
Laten we beginnen met het bepalen van die eigenvectoren, dan gaan we daarna eens kijken of ze optreden.
Lukt het je om de eigenvectoren te bepalen?
Weet je op intuitie/ervaring al wat de eigenvector is met hoekfrequentie 0?

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 5.714

Re: dubbele resonantie frequentie

Hier de eigenwaardes en eigenvectoren (in kolommen) voor k=1, m=1

[ 3.00000000e+00 1.00000000e+00 -2.48646608e-16 3.00000000e+00]

[[ -5.00000000e-01 -1.00000000e+00 -1.00000000e+00 -3.22580645e-02]
[ 1.00000000e+00 -3.75323885e-16 -1.00000000e+00 6.45161290e-02]
[ -5.00000000e-01 1.00000000e+00 -1.00000000e+00 -1.00000000e+00]
[ -5.00000000e-01 1.00000000e+00 -1.00000000e+00 9.35483871e-01]]

De eerste mode met ω2=3k/m is blijkbaar een trilling waarbij de wagon tegengesteld aan, en met twee maal zo grote amplitude, beweegt als locomotief en massa's in de wagon.

De mode met ω2=k/m is een trilling waarbij de wagon stilstaat en de massa's erin met gelijke amplitude maar in tegenfase met de locomotief trillen.

Berichten: 30

Re: dubbele resonantie frequentie

Het uitrekenen van de eigenvectoren was nu niet meteen mijn probleem,
maar dus zoals je bij Xilvo kan zien:
(laat me het even duidelijk opschrijven, de eigenvectoren zouden onafhankelijk moeten zijn van m en k)

Eigenwaarden:
\(\omega^2=\begin{bmatrix}
0 & \frac{k}{m} & \frac{3\,k}{m} & \frac{3\,k}{m}\\
\end{bmatrix}\)

Eigenvectoren:
\(\begin{bmatrix}
\underline{V_1} & \underline{V_2} & \underline{V_3} & \underline{V_4}\\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-0.5 & -0.5774 & -0.3780 & 0.0095\\
-0.5 & 0 & 0.7559 & -0.0189\\
-0.5 & 0.5774 & -0.3780 & -0.6974\\
-0.5 & 0.5774 & -0.3780 & -0.7164\\
\end{bmatrix}\)
De eerste 2 vectoren interesseren me nu niet.
Die 2 laatste zijn veel interessanter. Dus dit is wat de computer terug geeft als je de eigenvectoren vraagt.
Maar omdat je nu zit met een dubbele eigenwaarde op \(\sqrt{\frac{3\,k}{m}}\) zijn er niet gewoon 2 eigenvectoren.
Maar elke combinatie \(\alpha\,\underline{V_3}+\beta\,\underline{V_4}\) is een eigenvector van de frequentie \(\sqrt{\frac{3\,k}{m}}\). En dus de vraag: hoe weet je welke beweging er nu gaat voorkomen op die frequentie?

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 5.714

Re: dubbele resonantie frequentie

Klopt V4 wel?

Die houdt het zwaartepunt niet op z'n plaats dus is het op z'n minst een lineaire combinatie van een trilling en de translatie, met ω=0.

Berichten: 30

Re: dubbele resonantie frequentie

oei ja sorry. -0.7164 moet 0.7164 zijn

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 5.714

Re: dubbele resonantie frequentie

Dan klopt het wel.
Mijn V1 komt overeen met jouw V3, mijn V4 niet met jouw V4.
Jouw V4 is dus een lineaire combinatie van mijn V1 en V4, en omgekeerd, uiteraard.

Iedere lineaire combinatie van de eigenvectoren met ω2=3k/m is weer een eigenvector voor die frequentie.

Hoe de zaak precies gaat trillen hangt af van hoe het systeem aangestoten wordt.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 5.714

Re: dubbele resonantie frequentie

Tenslotte, een eigenvector voor de ontaarde frequentie loodrecht op [-0,5 1 -0,5 -0,5] is [0 0 -1 1]
Er is een trillingswijze waarbij de massa's binnen de wagon gelijk bewegen en gelijk met de locomotief. De wagon beweegt daarmee in tegenfase, met een dubbele amplitude.
En er is een trillingswijze waarbij locomotief en wagon stil staan en de massa's binnen de wagon tegen elkaar in bewegen.

Berichten: 30

Re: dubbele resonantie frequentie

Xilvo schreef: do 24 jun 2021, 13:46 En er is een trillingswijze waarbij locomotief en wagon stil staan en de massa's binnen de wagon tegen elkaar in bewegen.
Dus eigenlijk kan je besluiten dat deze modevorm niet gaat optreden voor een exciterende kracht op de locomotief?
Want er moet minstens een beweging zijn tussen de locomotief en de wagon opdat de inwerkende kracht wordt doorgegeven. Of maak ik hier een fout?

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 5.714

Re: dubbele resonantie frequentie

Als, vanuit een situatie waarin alles in rust is, de wagon gaat bewegen (doordat de locomotief er aan trek of om welke andere reden ook), dan ondervinden de massa's in de wagon identieke krachten (de linker via de veer links, de rechter via de veer rechts). Ze krijgen een gelijke versnelling en zullen t.o.v. elkaar niet bewegen. Die mode waarin ze tegen elkaar in bewegen zal niet aangeslagen worden.

Reageer