Steve Mould's nieuwe video van kettingfontein

[Professor Puntje]

Aangezien dat gerommel in bakje A een nogal chaotisch proces is wordt het heel lastig daar met pen en papier aan te rekenen.

In de video gaat dat overigens heel ordelijk want daar ligt de ketting netjes opgevouwen in het bakje. Daaraan is handmatig wellicht toch te rekenen...

[Professor Puntje]

Het zou nog ordelijker kunnen door de ketting in opeenvolgende cirkels in het bakje op te stapelen (dus in een schroefbaan).

[Professor Puntje]

Vaak helpt het de zaak extreem te vereenvoudigen. Krijg je met bovenstaand toestel ook een opwaarts boogje?

[Professor Puntje]

Even terug naar de situatieschets:

ketting-nieuw.png (8.74 KiB) 1086 keer bekeken

In de stationaire situatie beweegt het zwaartepunt van de ketting eenparig rechtlijnig zodat de som van de externe krachten op de ketting dan nul moet zijn. Laat S_A de trekkracht in de ketting vlak boven bakje A zijn, en μ de verhouding tussen de terugslagkracht T vanuit bakje A op de vertrekkende schakels van de ketting en de trekkracht S_A. Omdat in bakje B het omgekeerde gebeurt trekt daar een zelfde kracht T aan de daar aankomende ketting. Laat verder M de totale massa van de ketting zijn, en m_A de massa van de ketting in bakje A, en m_B de massa van de ketting in bakje B. De lineaire dichtheid van de ketting noemen we λ. De totale opwaartse kracht F_A in bakje A op de ketting is dan:

\(\)

\( F_A = m_A \, \mathrm{g} + T \)

\(\)

\( F_A = m_A \, \mathrm{g} + \mu S_A \,\,\,\,\,\, \mathrm{(i)} \)

\(\)

De opwaartse kracht F_B in bakje B op de ketting is:

\(\)

\( F_B = m_B \, \mathrm{g} + \frac{v \mathrm{d}t \lambda v}{ \mathrm{d} t} \)

\(\)

\( F_B = m_B \, \mathrm{g} + \lambda v^2 \,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(ii)} \)

\(\)

Verder werkt op de ketting als geheel nog de zwaartekracht F_M:

\(\)

\( F_M = - \mathrm{M} \mathrm{g} \,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(iii)} \)

\(\)

Dus moet gelden:

\(\)

\( F_A + F_B + F_M = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(iv)} \)

\(\)

\( m_A \, \mathrm{g} + \mu S_A + m_B \, \mathrm{g} + \lambda v^2 - \mathrm{M} \mathrm{g} = 0 \)

\(\)

\( (m_A + m_B - \mathrm{M}) \mathrm{g} + \mu S_A + \lambda v^2 = 0 \)

\(\)

\( - (\mathrm{H} + 2 h) \lambda \mathrm{g} + \mu S_A + \lambda v^2 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(v)} \)

\(\)

Voor bakje A waar de ketting in beweging wordt gebracht hebben we nog:

\(\)

\( S_A + T = \frac{ v \mathrm{d}t \lambda v}{\mathrm{d}t} \)

\(\)

\( S_A + T = \lambda v^2 \)

\(\)

\( S_A + \mu S_A = \lambda v^2 \)

\(\)

\( (1 +\mu) S_A = \lambda v^2 \)

\(\)

\( S_A = \frac{\lambda v^2}{1 + \mu} \,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(vi)} \)

\(\)

Zodat wegens (v) en (vi):

\(\)

\( - (\mathrm{H} + 2 h) \lambda \mathrm{g} + \frac{\mu \lambda v^2}{1 + \mu} + \lambda v^2 = 0 \)

\(\)

\( \frac{\mu \lambda v^2}{1 + \mu} + \lambda v^2 = (\mathrm{H} + 2 h) \lambda \mathrm{g} \)

\(\)

\( \frac{\mu v^2}{1 + \mu} + v^2 = (\mathrm{H} + 2 h) \mathrm{g} \)

\(\)

\( \left ( \frac{\mu}{1 + \mu} + 1 \right ) v^2 = (\mathrm{H} + 2 h) \mathrm{g} \)

\(\)

\( \left ( \frac{\mu}{1 + \mu} + \frac{1 + \mu}{1 + \mu} \right ) v^2 = (\mathrm{H} + 2 h) \mathrm{g} \)

\(\)

\( \frac{1 + 2 \mu}{1 + \mu} v^2 = (\mathrm{H} + 2 h) \mathrm{g} \,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(vii)} \)

\(\)

Vanwege de stationaire situatie hebben we ook:

\(\)

\( S_A = \mathrm{H} \lambda \mathrm{g} + T \)

\(\)

\( S_A = \mathrm{H} \lambda \mathrm{g} + \mu S_A \)

\(\)

\( (1 - \mu) S_A = \mathrm{H} \lambda \mathrm{g} \)

\(\)

\( S_A = \frac{\mathrm{H} \lambda \mathrm{g}}{ 1 - \mu } \,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(viii)} \)

\(\)

Zodat wegens (vi) en (viii):

\(\)

\( \frac{\lambda v^2}{1 + \mu} = \frac{\mathrm{H} \lambda \mathrm{g}}{ 1 - \mu } \)

\(\)

\( \frac{v^2}{1 + \mu} = \frac{\mathrm{H} \mathrm{g}}{ 1 - \mu } \)

\(\)

\( v^2 = \frac{1 + \mu}{1 - \mu} \mathrm{H} \mathrm{g} \,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(ix)} \)

\(\)

Combinatie van (vii) en (ix) geeft:

\(\)

\( \frac{1 + 2 \mu}{1 + \mu} \frac{1 + \mu}{1 - \mu} \mathrm{H} \mathrm{g} = (\mathrm{H} + 2 h) \mathrm{g} \)

\(\)

\( \frac{1 + 2 \mu}{1 - \mu} \mathrm{H} = \mathrm{H} + 2 h \)

\(\)

\( 2 h = \frac{1 + 2 \mu}{ 1 - \mu } \mathrm{H} - \mathrm{H} \)

\(\)

\( 2 h = \frac{1 + 2 \mu}{ 1 - \mu } \mathrm{H} - \frac{1 - \mu}{ 1 - \mu } \mathrm{H} \)

\(\)

\( 2 h = \frac{(1 + 2 \mu) - (1 - \mu)}{ 1 - \mu } \mathrm{H} \)

\(\)

\( 2 h = \frac{3 \mu}{1 - \mu } \mathrm{H} \)

\(\)

\( h = \frac{3}{2} \, \frac{\mu}{1 - \mu } \mathrm{H} \,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(x)} \)

\(\)

[Professor Puntje]

Mogelijke discussiepunten:

1. Is het aannemelijk om van dezelfde kracht T bij bakje A en bakje B uit te gaan.
2. Moet de kracht T ook in formule (ii) voorkomen?
3. Valt er iets meer over μ te zeggen?

[Professor Puntje]

2. Moet de kracht T ook in formule (ii) voorkomen?

Beschouw bakje B als een black box met een gaatje van boven waardoor de aankomende ketting met snelheid v binnenkomt. Dan moet de kracht die het bakje draagt het gewicht m_Bg van de reeds in het bakje aangekomen ketting dragen en bovendien de binnenkomende ketting tot stilstand brengen. En dat is precies wat formule (ii) beschrijft. De kracht T hebben we in die formule niet nodig. Dus dat ziet er goed uit.

[Professor Puntje]

1. Is het aannemelijk om van dezelfde kracht T bij bakje A en bakje B uit te gaan.

Laten we eens zien wat er gebeurt als we daar niet van uitgaan. Hier een aangepast bewijs waarbij de terugslagkrachten bij bakje A en bakje B niet als gelijk zijn aangenomen:

ketting-nieuw.png (8.74 KiB) 1031 keer bekeken

In de stationaire situatie beweegt het zwaartepunt van de ketting eenparig rechtlijnig zodat de som van de externe krachten op de ketting dan nul moet zijn. Laat S_A de trekkracht in de ketting vlak boven bakje A zijn, en μ_A de verhouding tussen de terugslagkracht T vanuit bakje A op de vertrekkende schakels van de ketting en de trekkracht S_A. Omdat in bakje B het omgekeerde gebeurt trekt daar een kracht U aan de daar aankomende ketting. We nemen aan dat U = μ_Bλv² , zodat de terugslagkracht U vlak boven bakje B recht evenredig is met de kracht die de neerkomende ketting op bakje B uitoefent. Laat verder M de totale massa van de ketting zijn, en m_A de massa van de ketting in bakje A, en m_B de massa van de ketting in bakje B. De lineaire dichtheid van de ketting noemen we λ. De totale opwaartse kracht F_A in bakje A op de ketting is dan:

\(\)

\( F_A = m_A \, \mathrm{g} + T \)

\(\)

\( F_A = m_A \, \mathrm{g} + \mu_A S_A \,\,\,\,\,\, \mathrm{(I)} \)

\(\)

De opwaartse kracht F_B in bakje B op de ketting is:

\(\)

\( F_B = m_B \, \mathrm{g} + \frac{v \mathrm{d}t \lambda v}{ \mathrm{d} t} \)

\(\)

\( F_B = m_B \, \mathrm{g} + \lambda v^2 \,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(II)} \)

\(\)

Verder werkt op de ketting als geheel nog de zwaartekracht F_M:

\(\)

\( F_M = - \mathrm{M} \mathrm{g} \,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(III)} \)

\(\)

Dus moet gelden:

\(\)

\( F_A + F_B + F_M = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(IV)} \)

\(\)

\( m_A \, \mathrm{g} + \mu_A S_A + m_B \, \mathrm{g} + \lambda v^2 - \mathrm{M} \mathrm{g} = 0 \)

\(\)

\( (m_A + m_B - \mathrm{M}) \mathrm{g} + \mu_A S_A + \lambda v^2 = 0 \)

\(\)

\( - (\mathrm{H} + 2 h) \lambda \mathrm{g} + \mu_A S_A + \lambda v^2 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(V)} \)

\(\)

Voor bakje A waar de ketting in beweging wordt gebracht hebben we nog:

\(\)

\( S_A + T = \frac{ v \mathrm{d}t \lambda v}{\mathrm{d}t} \)

\(\)

\( S_A + T = \lambda v^2 \)

\(\)

\( S_A + \mu_A S_A = \lambda v^2 \)

\(\)

\( (1 +\mu_A) S_A = \lambda v^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(VI)}\)

\(\)

\( S_A = \frac{\lambda v^2}{1 + \mu_A} \,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(VII)} \)

\(\)

Zodat wegens (V) en (VII) geldt:

\(\)

\( - (\mathrm{H} + 2 h) \lambda \mathrm{g} + \frac{\mu_A \lambda v^2}{1 + \mu_A} + \lambda v^2 = 0 \)

\(\)

\( \frac{\mu_A \lambda v^2}{1 + \mu_A} + \lambda v^2 = (\mathrm{H} + 2 h) \lambda \mathrm{g} \)

\(\)

\( \frac{\mu_A v^2}{1 + \mu_A} + v^2 = (\mathrm{H} + 2 h) \mathrm{g} \)

\(\)

\( \left ( \frac{\mu_A}{1 + \mu_A} + 1 \right ) v^2 = (\mathrm{H} + 2 h) \mathrm{g} \)

\(\)

\( \left ( \frac{\mu_A}{1 + \mu_A} + \frac{1 + \mu_A}{1 + \mu_A} \right ) v^2 = (\mathrm{H} + 2 h) \mathrm{g} \)

\(\)

\( \frac{1 + 2 \mu_A}{1 + \mu_A} v^2 = (\mathrm{H} + 2 h) \mathrm{g} \,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(VIII)} \)

\(\)

Vanwege de stationaire situatie hebben we ook:

\(\)

\( S_A = \mathrm{H} \lambda \mathrm{g} + U \)

\(\)

\( S_A = \mathrm{H} \lambda \mathrm{g} + \mu_B \lambda v^2 \)

\(\)

En dus wegens (VI) dat:

\(\)

\( S_A = \mathrm{H} \lambda \mathrm{g} + \mu_B (1 +\mu_A) S_A \)

\(\)

\( (1 - \mu_B (1 +\mu_A) ) S_A = \mathrm{H} \lambda \mathrm{g} \)

\(\)

\( S_A = \frac{\mathrm{H} \lambda \mathrm{g}}{ 1 - \mu_B (1 +\mu_A) } \,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(IX)} \)

\(\)

Zodat wegens (VII) en (IX):

\(\)

\( \frac{\lambda v^2}{1 + \mu_A} = \frac{\mathrm{H} \lambda \mathrm{g}}{ 1 - \mu_B (1 +\mu_A) } \)

\(\)

\( \frac{v^2}{1 + \mu_A} = \frac{\mathrm{H} \mathrm{g}}{ 1 - \mu_B (1 +\mu_A) } \)

\(\)

\( v^2 = \frac{1 + \mu_A}{ 1 - \mu_B (1 +\mu_A) } \mathrm{H} \mathrm{g} \,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(X)} \)

\(\)

Combinatie van (VIII) en (X) geeft:

\(\)

\( \frac{1 + 2 \mu_A}{1 + \mu_A} \frac{1 + \mu_A}{ 1 - \mu_B (1 +\mu_A) } \mathrm{H} \mathrm{g} = (\mathrm{H} + 2 h) \mathrm{g} \)

\(\)

\( \frac{ 1 + 2 \mu_A }{ 1 - \mu_B (1 +\mu_A) } \mathrm{H} \mathrm{g} = (\mathrm{H} + 2 h) \mathrm{g} \)

\(\)

\( \frac{ 1 + 2 \mu_A }{ 1 - \mu_B (1 +\mu_A) } \mathrm{H} = \mathrm{H} + 2 h \)

\(\)

\( \frac{ 1 + 2 \mu_A }{ 1 - \mu_B (1 +\mu_A) } \mathrm{H} - \mathrm{H} = 2 h \)

\(\)

\( \left ( \frac{ 1 + 2 \mu_A }{ 1 - \mu_B (1 +\mu_A) } - 1 \right ) \mathrm{H} = 2 h \)

\(\)

\( \left ( \frac{ 1 + 2 \mu_A }{ 1 - \mu_B (1 +\mu_A) } - \frac{ 1 - \mu_B (1 +\mu_A) }{ 1 - \mu_B (1 +\mu_A) } \right ) \mathrm{H} = 2 h \)

\(\)

\( \frac{ 2 \mu_A + \mu_B (1 +\mu_A) }{ 1 - \mu_B (1 +\mu_A) } \mathrm{H} = 2 h \)

\(\)

\( h \, = \, \frac{1}{2} \, \frac{ 2 \mu_A + \mu_B (1 +\mu_A) }{ 1 - \mu_B (1 +\mu_A) } \, \mathrm{H} \,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(XI)} \)

\(\)

[Professor Puntje]

Ik vraag me nu nog af hoe ik de invloed van het boogje bovenaan de kettingfontein in de berekening kan verwerken. Dat top-boogje oefent vanwege de daar plaats hebbende impuls-omkering een opwaartse kracht op de rest van de ketting uit. Maar vreemd genoeg heb ik met formule (XI) al een hoogte h gevonden zonder daar rekening mee te (hoeven?) houden.

[Professor Puntje]

De kettingfontein zit vol met geniepigheden die je gemakkelijk over het hoofd ziet. Omdat ik mijn afleiding hier niet steeds weer opnieuw met kleine verbeteringen wil posten zal ik mijn volgende versies in dit topic verder in pdf-vorm als bijlage plaatsen.

[Professor Puntje]

Net op het internet het volgende gevonden: https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q ... Zw36f2Nblw

Ziet er interessant uit maar heb het nog niet grondig bestudeerd.

[Professor Puntje]

Bekijk vooral de video "Fig 9 Crown Fountain" (zie de download-link in het artikel), uit het daar getoonde experiment blijkt duidelijk dat de verklaring van Biggins and Warner niet juist is.

[Professor Puntje]

Hier twee plaatjes uit Hiroshi Yokoyama's Reexamining the Chain Fountain :

[jkien]

Bekijk vooral de video "Fig 9 Crown Fountain" (zie de download-link in het artikel), uit het daar getoonde experiment blijkt duidelijk dat de verklaring van Biggins and Warner niet juist is.

Dat is inderdaad een fraaie slow motion video (link) die laat zien dat de ketting niet door de onderste schakel omhoog gelanceerd wordt vanuit de bak, maar omhooggetrokken wordt door centrifugale kracht (ja, dat schrijft de auteur, "simply put") van de boog. Ook de laatste beelden waarin het einde van de ketting uit de bocht vliegt zijn verhelderend.

[Professor Puntje]

Ik moet het artikel nog grondig bestuderen, maar het lijkt erop neer te komen dat het traditioneel berekende rendement voor het vanuit rust omhoog trekken van een ketting lager is dan wat we in werkelijkheid meemaken. In de praktijk gaat dat veel efficiënter dan in de sterk geïdealiseerde theorie. Als gevolg daarvan verkrijgt de ketting dan ook een grotere snelheid en moet de ketting wel uit het bakje omhoog komen om voldoende neerwaartse kracht (is hangend gewicht) in stelling te brengen om de ketting bij het doorlopen van de boog van bewegingsrichting te kunnen omkeren.

[Professor Puntje]

Wat is er mis met de gebruikelijke berekening waaruit volgt dat het omhoogtrekken van de liggende ketting uit het hoogste bakje hoogstens met een rendement van 1/2 gaat? De berekening gaat als hieronder.

Laat S de spankracht in de ketting ter hoogte van het hoogste bakje zijn, en v de stationaire snelheid van de ketting, en λ de lineaire massadichtheid van de ketting. Dan voegt de spankracht S in een tijdje dt een opwaartse impuls dp = (λ.v.dt).v aan de ketting toe. Dus:

\(\)

\( S = \frac{dp}{dt} \)

\(\)

\( S = \frac{\lambda v^2 \, dt}{dt} \)

\(\)

\( S = \lambda v^2 \)

\(\)

Om die impuls toe te voegen verricht de spankracht S een arbeid dW waarvoor:

\(\)

\( dW = S \, v dt \)

\(\)

\( dW = \lambda v^2 \, v dt \)

\(\)

\( dW = \lambda v^3 dt \)

\(\)

En dat levert aan extra opwaartse kinetische energie dE van de ketting op:

\(\)

\( dE = \frac{1}{2} \lambda v dt \, v^2 \)

\(\)

\( dE = \frac{1}{2} \lambda v^3 dt \)

\(\)

Dus voor het rendement η waarmee de spankracht S bij het bovenste bakje nieuwe schakels van de ketting in beweging zet vinden we:

\(\)

\( \eta = \frac{dE}{dW} \)

\(\)

\( \eta = \frac{\frac{1}{2} \lambda v^3 dt}{\lambda v^3 dt} \)

\(\)

\( \eta = \frac{1}{2} \)