Oefening over eigenfrequentie trommels

Moderator: physicalattraction

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 3.597

Oefening over eigenfrequentie trommels

De trommels draaien in tegengestelde richting. Ze ondersteunen een homogeen bord met massa m. De coëfficiënt van kinetische wrijving tussen de trommels en het bord is µ.
Zal ω voorkomen in de expressie van de eigenfrequentie?
eigenfrequentie.png
eigenfrequentie.png (8.48 KiB) 887 keer bekeken

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 6.417

Re: eigenfrequentie

De frequentie waarmee het bord heen en weer beweegt zal in ieder geval afhangen van ω en van de verhouding tussen statische en dynamische wrijvingscoëfficiënten.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.597

Re: eigenfrequentie

Niet dus, en de statische wrijvingcoefficient heeft er ook niets mee van doen.
Intuïtief had ik al zo'n vermoeden dat de eigenfrequentie van dit systeem onafhankelijk is van de hoeksnelheid van de trommels, maar dat wordt hier pas duidelijk nadat het bewijs is geleverd.

Gebruikersavatar
Berichten: 368

Re: eigenfrequentie

De lengte van het bord lijkt mij ook relevant om de reactiekrachten te berekenen.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.597

Re: eigenfrequentie

Free Body Diagram (FBD)
FBD.png
FBD.png (5.79 KiB) 704 keer bekeken
DV.png
DV.png (5.1 KiB) 704 keer bekeken

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 6.417

Re: eigenfrequentie

Uitwerken geeft dan \(\omega=\sqrt{\frac{2\mu g}{2}}\)

Als bijvoorbeeld de hoeksnelheden van de trommels heel hoog is, is dat het hele verhaal.
Maar de statische wrijving gaat meespelen als ω.r van een trommel gelijk wordt aan de momentane snelheid van het bord.

Dus alleen als blijkt dat dat niet kan optreden (of alleen even bij het instellen van een stabiele situatie) kan die buiten beschouwing blijven.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 6.417

Re: eigenfrequentie

Numerieke simulatie:

M=1 kg
g=9,81 m/s2
a=1 m
rtrommel=0,2 m
xbegin=0,7 m
μd=0,2
μs=0,4

Bovenste grafiek: ω=20 rad/s, alleen dynamische wrijving
Onderste grafiek: ω=2 rad/s, omtreksnelheid van een trommel kan gelijk worden aan bordsnelheid, ook statische wrijving.
bord_op_trommels.png

Gebruikersavatar
Berichten: 3.597

Re: eigenfrequentie

Ja, dus een zuiver harmonische trilling.
eigenfrequentie.png
eigenfrequentie.png (790 Bytes) 660 keer bekeken
hoe ziet de DV er nu in het andere geval eruit?, jouw simulatie toont immers een trilling bestaande uit meerdere frequenties

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 6.417

Re: eigenfrequentie

Ik weet niet hoe je dit mooi in een DV kunt schrijven.

Als de omwentelingssnelheden van de trommels groot genoeg zijn dan duwt de linkertrommel het bord altijd naar rechts, de rechter het bord naar links met een kracht die alleen afhangt van de dynamische wrijvingscoëfficiënt en de normaalkrachten.
Als de dynamische wrijvingscoëfficiënt gelijk zou zijn aan de statische en de omwentelingssnelheden worden klein genoeg, dan kan het bord bijvoorbeeld ook een kracht naar rechts ondervinden door de rechtertrommel (vbord<-ω.r). Daar heb je een sign-functie voor nodig.
Is dan ook nog eens de statische wrijvingscoëfficiënt groter dan de dynamische, dan moet je in het programma kijken of ze t.o.v. elkaar "stilstaan" (absolute snelheidsverschil < grenswaarde).

Allemaal best te programmeren maar niet zo makkelijk als DV op te schrijven, lijkt me.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.597

Re: eigenfrequentie

ik ging ervan uit dat je het model had gevonden, anders kun je geen simulatie doen met het getoonde resultaat ..

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 6.417

Re: eigenfrequentie

Ik heb een model geprogrammeerd waarbij ik rekening houd met de richting van het snelheidsverschil tussen trommels en bord en waarbij ik overga van dynamische naar statische wrijving als het absolute snelheidsverschil onder een zekere waarde komt.

Gebruikersavatar
Berichten: 368

Re: eigenfrequentie

Bij een verplaatsing x gaat de grootte van N1 en N2 toch afhankelijk zijn van de breedt van het bord. Waarom zit dat niet in de formule? Je hebt toch niet automatisch N1 = N2 = mg/2.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 6.417

Re: eigenfrequentie

Tikfout, die 2 in de noemer moet natuurlijk a zijn, zoals bij Ukster.
\(\omega=\sqrt{\frac{2\mu g}{a}}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 368

Re: eigenfrequentie

wnvl1 schreef: do 23 sep 2021, 19:28 Bij een verplaatsing x gaat de grootte van N1 en N2 toch afhankelijk zijn van de breedt van het bord. Waarom zit dat niet in de formule? Je hebt toch niet automatisch N1 = N2 = mg/2.
Ik snap het intussen.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 6.417

Re: Oefening over eigenfrequentie trommels

Als de hoeksnelheid \(\omega\) van de trommels voldoende groot is krijg je een harmonische (sinusvormige) trilling met frequentie \(f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2\mu g}{a}}\)

Als de hoeksnelheid heel klein wordt krijg je een driehoekig verloop met amplitude \(A=\frac{a(\mu_s-\mu_d)}{2(\mu_s+\mu_d)}\) en frequentie \(f=\frac{\omega r}{4A}\)

Reageer