systeem

Moderator: physicalattraction

Gebruikersavatar
Berichten: 3.900

systeem

Drie staven en een balk met verwaarloosbare massa
constructie.png
constructie.png (3.37 KiB) 1401 keer bekeken
klopt dit?
balk doorbuiging:
1.png
1.png (564 Bytes) 1401 keer bekeken
staaf verplaatsing
2.png
2.png (808 Bytes) 1401 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 1.143

Re: systeem

Ik zou wel verwachten dat er in de formules een m voorkomt.

Is dat opgelost met energie methodes?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.900

Re: systeem

je heb gelijk, dimensioneel klopt de eerste uitdrukking niet..
Dus moet deze inderdaad nog vermenigvuldigd worden met de kracht F zijnde het gewicht van massa m
Kracht.png
Kracht.png (1.96 KiB) 1345 keer bekeken
buigstijfheid EI [Nm2]
De 2e uitdrukking klopt dimensioneel wel. Si is de kracht in de staven
rekstijfheid EA [N]

Gebruikersavatar
Berichten: 1.143

Re: systeem

Als ik juist ben is het principe dat arbeid geleverd door de veplaatsing van de massa zijnde \(\frac{mg\delta}{2}\) gelijk is aan de vervormingsenergie die wordt opgeslagen in de drie staven en de horizontale balk. In de staven gaat het dan om vervormingsenergie door trek of druk, in de balk om energie door buiging.

Het is al lang geleden, maar ik meen dat we dat vroeger zo oplosten. Maar misschien volg je een andere weg?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.900

Re: systeem

Engineering mechanics2, mechanics of materials, table 4.3 en section 6.3
Voor de genoemde eenheden van EI en EA zal onder de invloed van een kracht F dit de juiste definitie van uitrekking/doorbuiging zijn.
constructie.png
constructie.png (12.1 KiB) 1315 keer bekeken
Het gaat om de verticale eigenfrequentie ω=√(k*/m) van het systeem, uit te drukken in EI, EA, m en l
Het systeem mag worden gezien als een massa(twee veren parallel)systeem,dus k*=ka+kb

Gebruikersavatar
Berichten: 1.143

Re: systeem

Engineering mechanics2, mechanics of materials, table 4.3 en section 6.3
Dat is inderdaad zoals wij het vroeger ook oplosten.

Ik beschouwde eerst de mg als de kracht F. Nu is de vraag precies veranderd en is de idee dat een extra kracht F wordt toegepast? Je wil het systeem lineariseren en dan de eigenfrequentie gaan berekenen?

Ik denk dat je mogelijk bedoelt twee veren in serie?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.900

Re: systeem

Sorry als er een misverstand is ontstaan
met F bedoel ik inderdaad het gewicht van de massa m
ik dacht aan het bepalen van de veerconstante k1=F/u1 en k2=F/u2
met u1 en u2 de eerder genoemde uitwijkingen
2 veren.png
2 veren.png (33.72 KiB) 1265 keer bekeken
intuïtief zie ik het systeem als massa + twee veren parallel
k*=k1+k2 en dan de eigenfrequentie ω=√(k*/m)

Gebruikersavatar
Berichten: 1.143

Re: systeem

Dat lineariseren is niet nodig, Dat is een fout van mij.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.900

Re: systeem

de keuze parallel valt wellicht uit te leggen met: beide veren ondergaan dezelfde verlenging wanneer massa m verplaatst!

Gebruikersavatar
Berichten: 1.143

Re: systeem

doorbuiging.png
Het is parallel in de zin dat de krachten optellen. Maar de verplaatsingen zijn niet dezelfde. Voor de verticale staaf geldt dat de bovenkant zich verplaatst over \(\delta_1\) en de onderkant over \(\delta_2\). De balk buigt over \(\delta_2\). Je kan van die bovenkant wel abstractie maken en dan heb je eigenlijk wel volledig gelijk, lijkt mij.

Het lijkt mij wel mogelijk om voor een bepaalde \(\delta_1\) en \(\delta_2\) de krachten te berekenen en er zo te komen. Als alternatief voor de methode met de vervormingsenergie.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.900

Re: systeem

Is dat probleem misschien te tackelen via deze (alternatieve) manier?
k2.png
k2.png (13.86 KiB) 1220 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 1.143

Re: systeem

Volgens mij moet je in de staven 2 en 3 ook de buigmomenten berekenen. Die spelen een rol in de methode.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.143

Re: systeem

wnvl1 schreef: do 19 mei 2022, 01:14 Volgens mij moet je in de staven 2 en 3 ook de buigmomenten berekenen. Die spelen een rol in de methode.
Nee dat is fout.

Berichten: 675

Re: systeem

Om het gedrag van het systeem te beoordelen is het m.i. noodzakelijk om
De onderlinge stijfheid verhoudingen van de elementen vast te leggen.

ps de balk kan je door een kabel vervangen 2 mits 2 en 3 voldoende stijf zijn.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.143

Re: systeem

Als de bovenkant van staaf 1 \(\delta_1\) naar beneden gaat en de onderkant \(\delta_2\), dan wordt de nieuwe lengte van de staven 2 en 3: \(l'=\sqrt{l^2 +(l-\delta_1)^2}\). De hoek wordt \(\theta =\arctan{\frac{l-\delta_1}{l}}\)

Stel F de kracht die werkt op staaf 1 en F' de kracht die werkt op staven 2 en 3, dan moet gelden

$$2F'\sin\theta = F$$

Uit het verband kracht - vervorming hebben we:

$$F' = \frac {AE(l-l')}{l}$$
$$F = \frac {AE(\delta_2 - \delta_1)}{l}$$

De kracht uitgeoefend door de gebogen balk voldoet aan

$$\frac{F''(2l)^3}{48EI} = \delta_2$$

Er moet nu nog gelden dat

$$F+F''=mg$$

Nu zijn er genoeg vergelijkingen om het op te lossen, lijkt mij.

Er gaat wel geen lineair verband zijn tussen kracht en verplaatsing. Je moet het dus lineariseren ofwel exact oplossen.

Reageer