Oplossen 1e orde D.V.

[ThomC]

Beste,
Ik vraag me een en ander af over de 1e orde D.V.die ontstaat na het gelijkstellen van ondeerstaande formules. De uitwerking heb ik dan zelf gemaakt en vraag me nu af of dit klopt en of iemand me misschien enkele  tips kan geven om het wat beter voorstelbaar te maken. Geen idee of de stappen helemaal correct zijn dus wanneer dit niet is graag hoor ik het graag.
 
De formule om een warmtestroom door een gekoeld vat  te berekenen:
 
Q ̇= KA∆T   ∆T = (T-T_o)
 
Q  warmtestroom (W)
K warmtedoorgangsgetal tussen inhoud vat en het koelmiddel (W/m2*K)
A  gekoelde opp (m2)
T-To  vattemp – verdampingstemp koudemiddel(K)
 
Noemen we vervolgens T-To = ϑ (theta)= het tempverschil tussen vat en koudemiddel.
 
Dan kunnen we zeggen dat het vat met massa M ook een warmtestroom afgeeft deze is dan gelijk aan:
 
Q ̇=- M c_p dϑ/dt 
 
M massa inhoud vat (kg)
Cp soortelijke warmte (kg/kgk)
dϑ/dt   T-To/ tijd (k/s)  
 
Stellen we deze 2 formules vervolgens aan elkaar gelijk
1
KAϑ=- M c_p dϑ/dt
 
(Negatief omdat de temp van het vat naar To gaat naarmate tijd verstrijkt. Hier staat dan de D.V. omdat  ϑ de functie is en  dϑ/dt de afgeleide.)
Vervolgens d.m.v scheiden variabelen
 
2
KAdt=-M c_p   1/ϑ   dϑ +C
De 1/ϑ  is dat dan een regel wanneer ϑ naar rechts gehaald wordt? Stel ik moet K naar rechts halen dan zou ik ook 1/K moeten schrijven? De bovenstaande functie kan dan geïntegreerd worden. Schrijf je C er nu bij omdat zonder integratieconstante integreren niet mogelijk is? Of klopt dit niet?
 
Integreren levert dan
3
 
∫KAdt =- M  c_p  ∫1/ϑ  dϑ + C
 
KAt=- M  c_p  lnϑ + C
 
Door integreren valt uit dt d weg. 1/ϑ wordt ln ϑ. dϑ wat gebeurd hiermee? En C. Er moet het volgende uitkomen. Echter zie ik niet wat met dϑ en C gebeurd.
Bovenstaande kan ik schrijven als
 
4
KA/(M  c_p )  t = - ln ϑ + ln ϑ_(0 )
 
Deze vervolgens schrijven als
5
-KA/(M  c_p )  t =  ln ϑ + ln ϑ_(0 ) = -KA/(M  c_p )  t =  ln  ϑ/ϑ_0
 
Waarom worden factoren in ln gedeeld de logregels zeggen toch dat bij optellen vermenigvuldigd moet worden.
 
6
Vermenigvuldigen met e-macht laat ln eruit vallen.
 
Nu noem ik de term -KA/(M  c_p )  t = τ ( tau), (zogenaamde tijdsconstante).
 
De vergelijking wordt dan na invullen beginvoorwaarden (C)
 
e^(-t/τ)  =   ϑ_t/ϑ_0
 
Dit is dan de formule waarmee je op elk gewenst tijdstip de temp van het vat gedurende een koelproces kan bepalen.
Voor mij is dit wel enigszins te begrijpen, maar nog niet helemaal helder.  Hopelijk kan iemand me er verder mee helpen en feedback geven op de stappen die ik neem en of het correct is.
 
Alvast bedankt.
 
M.v.g. 
 
Thom

[Jan van de Velde]

Opmerking moderator

Verplaatst naar thermodynamica en stromingsleer

[Pinokkio]

Bedoel je met To hetzelfde als met T_o ?
In dat geval is ϑ toch hetzelfde als ∆T , dus waarom dan twee verschillende symbolen gebruiken voor hetzelfde?
 
En is ϑ_(0 ) hetzelfde als ϑ_0 ?
 
Ik heb het niet allemaal gecontroleerd, maar ik heb de indruk dat je op een onhandige manier de Afkoelingswet van Newton probeert af te leiden.
 
Daar is op dit forum al vaker over geschreven (gebruik zoekfunctie rechtsboven) en er zijn tig websites die dat tonen.

[ThomC]

Het is niet zoals ik het in word had gemaakt op de site gekomen. Geen idee hoe ik dat zou moeten doen. Ik kan me moeilijk voorstellen dat het de afkoelwet van Newton is. Dan had het ook wel zo in de stof gestaan. 
Het gaat over de berekening van een vat met NH3 mantelkoeling. NH3 heeft een constante To (verdampingstemp), de  lijn van vloeistoftemp (T) zal dan als een e-macht lopen. De grafiek heeft op de y-as Temp vloeistof, en op de x as t (tijd).
 
Het klopt idd dat ϑ hetzelfde als ∆T is. Dit wordt dan denk ik gedaan om een D.V. van het geheel te krijgen.
Bij het integreren ben ik vergeten erbij te zetten dat je integreert tussen o (nul begintemp vloeistof vat) en t (tijd koelproces)
 
Op deze manier een vergelijking uitwerken is dat niet veel voorkomend in natuurkunde?
En de uitgevoerde bewerkingen van de ene kant van = naar de andere kant kloppen die?
Gelden hier algemene regels voor? 
En de e-macht en ln klopt het, dat je door ln met e-macht te vermenigvuldigen ln laat wegvallen?

[Pinokkio]

Het is niet zoals ik het in word had gemaakt op de site gekomen. Geen idee hoe ik dat zou moeten doen.

Je kunt een word document (of wat voor document dan ook) uploaden en in een bericht plaatsen.
 
Log in. Klik rechtsonder op [Uitgebreid bewerken] en daarna linksonder op [Browse...]. Selecteer het bestand op je PC en klik daarna linksonder op [Dit bestand uploaden].
 
Vaak is het simpeler en duidelijker om niet met formules te klooien in word of wat dan ook, maar gewoon netjes op een stuk paper uitschrijven en daarna een foto daarvan uploaden.

Ik kan me moeilijk voorstellen dat het de afkoelwet van Newton is. Dan had het ook wel zo in de stof gestaan.

Het is wel degelijk de Afkoelingswet van Newton (Newton's Law of Cooling) die je probeert af te leiden. Dat zeggen ze niet in de leerstof omdat je het dan immers zou kunnen googlen.