Samendrukbare stroming vs onsamendrukbare stroming

Moderator: physicalattraction

Reageer
Berichten: 12

Samendrukbare stroming vs onsamendrukbare stroming

Zeer gewaardeerde wetenschappers,

Als we de drukverandering beschrijven van 2 situaties die vergelijkbaar zijn, behalve dat in de ene situatie wordt het medium samendrukbaar beschouwd is en de andere niet, welke situatie levert dan een hogere drukval op?

(dus alle kenmerken zijn hetzelfde zoals; viscositeit, temperatuur, massadebiet. Maar in situatie 1 beschouwen we het medium als onsamendrukbaar en in situatie 2 als samendrukbaar)

Berichten: 125

Re: Samendrukbare stroming vs onsamendrukbare stroming

Deze vraag is wel heel open. Het hangt er allemaal nogal vanaf. Heb je een vliegtuig vleugel in je hoofd? Bedoel je dan de lift (= drukverschil over de vleugel)? Of door een buis, met/zonder een obstructie? Als het Mach getal laag genoeg is (typisch < 0.3) maakt het niet uit of je wel of geen samendrukbaarheid mee neemt. Maar voor hoge Mach getallen is het niet meenemen ervan gewoon fout.

Als je een meer theoretisch antwoord bedoelt, dus wat doet samendrukbaarheid op de stroming, dan hangt het er ook vanaf. Voor hoge Mach getallen zal er een extra verlies optreden t.g.v. de (snelle) samendrukking of expansie (afhankelijk van wat je analyseert), door schok golven of door snelle veranderingen in temperatuur, in extreme gevallen door ionisatie (hypersoon). Dit zal allemaal tot een hogere drukval leiden dan zonder deze effecten, in feite kosten deze processen energie, die zal ergens vandaan moeten komen, als dat een omzetting van druk betreft, heb je dus een hogere drukval. Als je echter temperatuur met de omgeving uitwisselt (iso-thermisch), dan verlies of win je weer energie door deze uitwisseling wat ook weer invloed heeft op de drukval.

Dit zijn allemaal niet-adiabatische effecten. Als je geen energie uitwisselt met de omgeving en je perst een gas met hoge druk door een buis, dan expandeert het gas over de lengte van de pijp wat de drukval vermindert in vergelijking met een niet-samendrukbaar voorbeeld. Maar dan komt er wel potentiële energie vrij door de expansie van het gas. Het gas koelt ook af door expansie. (Om eerlijk te zijn weet ik zo niet hoe de balans uit pakt, deels zal de lagere temperatuur namelijk weer het effect van de expansie tegen gaan, is dat maar een beetje? Of bijna alles? Ergens er tussenin? Ook neemt de temperatuur toe door de wrijving met de buis, is dat effect groter dan hoeveel de temperatuur afneemt door expansie? Sorry, dit is niet mijn vakgebied).

Dus... wat bedoel je precies?

Berichten: 12

Re: Samendrukbare stroming vs onsamendrukbare stroming

Beste Arjan,

Bedankt voor je reactie.

Mijn vraag is eigenlijk gericht op stroming door leidingwerk met een Mach-waarde tussen de 0.3 en 1.0.

Mocht het niet je vakgebied zijn dan ben ik benieuwd wat je hier van zegt als we het betrekken op een vliegtuigvleugel.

Dus laat ik mijn vraag herformuleren:
Als we de weerstand berekenen van een vliegtuigvleugel in stroming met een Mach-waarde van tussen de 0.3 en 1.0, wat levert dan een hogere weerstand op, als we de stroming als samendrukbaar of als onsamendrukbaar beschouwen? (los van of het goed of fout is)

Berichten: 125

Re: Samendrukbare stroming vs onsamendrukbare stroming

Vliegtuigvleugels en leidingwerk laat zich niet vergelijken.

Even googlen levert dit op. Het hangt er dus vanaf of je de temperatuur constant houdt of het proces adiabatisch beschouwd, zoals ik al schreef. Maar de formule op deze site voor gelijke temperatuur is:
\[
p_1^2 - p_2^2 = \frac{Z_m R T}{M} \left(\frac{w}{A}\right)^2\left(f \frac{L}{D}\right)\ \ \ \ (1)
\]
Dit neem ik even voor waar aan...

Hierin is \(p_{1|2}\) de druk aan begin resp eind van de pijp, \(Z_m\) de gemiddelde (mean) compressibiliteit (\(Z_m = 1\) voor ideaal gas), \(R\) algemene gas constante, \(M\) de molaire massa, \(T\) temperatuur, \(w\) massastroom, \(A\) doorstroom oppervlak leiding, \(L\) lengte van de leiding, \(D\) diameter van de leiding, \(f\) wrijvingsfactor.

Verder geeft de gaswet dat \(PV_m = Z_m R T\) en aangezien \(Z_m R T\) gelijk blijft in dit geval (isotherm), verloopt de dichtheid dus proportioneel aan de druk over de leiding, want \(P\) is locale druk en \(V_m\) is het molair volume (volume van een mol gas, \(V_m = M/\rho\) met \(\rho\) de dichtheid en \(M\) de molaire massa.

Vergelijk dit met het onsamendrukbare geval:
\[
p_1 - p_2 = \frac{1}{2\rho^*}\left(\frac{w}{A}\right)^2\left(f \frac{L}{D}\right) \ \ \ \ (2)
\]
met
\[
\frac{w}{\rho A} = v \ \ \ \ (4)
\]
hierbij is \(v\) de snelheid van de stroming door de leiding.

Hierin is \(M\) de moleculaire massa, en \(\rho^*\) is 'de dichtheid'. Je wilt geen afhankelijkheid tussen druk en dichtheid. Dus wat moet je dan voor \(\rho^*\) in vergelijking (2) gebruiken om hem met vergelijking (1) te vergelijken? M.a.w., hoe moet je deze twee gevallen precies vergelijken? Ok, eerst maar even een recht toe recht aan approach: \(\rho^* = (\rho_1 + \rho_2)/2\), de gemiddelde dichtheid dus. We nemen nu ook \(p^*\) de bijbehorende gemiddelde druk.

Ok, maar nu geeft (2) het drukverschil, maar (1) geeft het verschil tussen het kwadraat van de druk. Hoe moeten we dat vergelijken? In vgl (1) is \( (Z_m R T) / M\) volgens de gaswet gelijk aan \(p / \rho\). Als we hiervoor dan maar weer gewoon de gemiddelden gebruiken, hebben we voor een vergelijkbaar geval:

compressibel:
\[
p_1^2 - p_2^2 = \frac{p^*}{\rho^*} C
\]
incompressibel:
\[
p_1 - p_2 = \frac{1}{2\rho^*} C
\]
met
\[
C = \left(\frac{w}{A}\right)^2\left(f \frac{L}{D}\right)
\]
Dus \(C\) is voor een vergelijkbaar geval gelijk. En \(\rho^*\) en \(p^*\) zijn de gemiddelde druk en dichtheid in het compressibele geval, en gewoon 'de druk' en 'de dichtheid' in het incompressibele geval.

Laten we nu het rechter lid voor het compressibele geval gelijk maken aan het incompressibele geval:
\[
p_1^2 - p_2^2 = \frac{p^*}{\rho^*} C = \frac{(p_1 + p_2)/2}{\rho^*} C
\\
\\
\Rightarrow
\\
\\
\frac{p_1^2 - p_2^2}{(p_1 + p_2)/2} = \frac{1}{\rho^*} C
\\
\\
\Rightarrow
\\
\\
\frac{p_1^2 - p_2^2}{(p_1 + p_2)} = \frac{1}{2\rho^*} C
\]
So, phew, we komen ergens. Nu kan je de vergelijkingen aan elkaar gelijk stellen:
\[
\frac{p_{1c}^2 - p_{2c}^2}{(p_{1c} + p_{2c})} = p_{1ic} - p_{2ic}
\]
Hierbij heb ik even \(_c\) toegevoegd voor het compressibele geval en \(_{ic}\) voor het incompressibele geval, om ze uit elkaar te houden. Als je nu stelt \(p_{2c} = p_{2ic} = p_2 \), dan zeg je dat de uitstroom druk gelijk is. Wat wordt dan de instroom druk? Een kleine verassing:
\[
\frac{p_{1c}^2 - p_2^2}{(p_{1c} + p_2)} = \frac{(p_{1c} - p_2)(p_{1c} + p_2)}{(p_{1c} + p_2)} = p_{1c} - p_2 = p_{1ic} - p_2
\]
Dus... tromgeroffel...:
\[
p_{1c} = p_{1ic}
\]
De instroom drukken zijn gelijk!

Maar, aan het einde van de leiding zit je dus met een gas dat een lagere dichtheid heeft dan toen het de leiding in ging. Dit is een energie verlies. Dit resultaat verbaasde me enigszins, maar is eigenlijk wel logisch.

Eerder zei ik dat het expanderende gas potentiële energie vrij geeft. Dit is ook zo, maar wat ik was vergeten is dat dit gas ook versneld moet worden, en de kinetische energie gaat met het kwadraat van de snelheid, dus dat gaat heel hard. In het compressibele geval is de snelheid over de lengte van de buis dus niet gelijk. Het effect van het versnellen van het gas (kost energie) valt dus blijkbaar weg tegen het effect van de expansie van het gas (er komt potentiële energie vrij) en het toevoegen van warmte (het expanderende gas koelt af, maar warmt ook op door de omgeving, dus neemt het energie op). En dan blijf je nog steeds zitten met een gas met lagere dichtheid (dus minder energie)...

Het adiabatische geval laat ik over als een oefening voor de lezer ;)

Ps: het is een aardige lap tekst geworden, maar ik moest het zelf ook even allemaal correct (hopelijk...) beredeneren. En ik had geen zin om alleen de samenvatting te laten staan.

Berichten: 125

Re: Samendrukbare stroming vs onsamendrukbare stroming

m.a.w. het is dus eigenlijk best een moeilijke vraag :lol:

Berichten: 12

Re: Samendrukbare stroming vs onsamendrukbare stroming

Fantastisch! Erg indrukwekkend benaderd. Zoals ik had gehoopt. En goed gevonden formules om de vergelijking mee op te stellen.

Maar voor mij wel een verwarrende uitkomst.

Ik ga hier over nadenken.

Berichten: 12

Re: Samendrukbare stroming vs onsamendrukbare stroming

Nee, nog beter dan gehoopt.

En nog steeds verwarrend.

Berichten: 125

Re: Samendrukbare stroming vs onsamendrukbare stroming

Op dezelfde site staat ook nog een andere formule:

\[
p_1^2 - p_2^2 = \frac{Z_m R T}{M} \left(\frac{w}{A}\right)^2\left(f \frac{L}{D} + 2\ln \frac{p_1}{p_2}\right)
\]

Blijkbaar is deze algemener (ook voor kortere leidingen). Hier zou wel een verschil uit moeten komen. Door de extra \(\ln\) term aan de rechterkant wordt \(C\) (mijn definitie) groter, dan zal de drukval dus ook groter worden. M.a.w. voor kortere leidingen is de drukval groter t.o.v. incompressiebel.

Berichten: 12

Re: Samendrukbare stroming vs onsamendrukbare stroming

Duidelijk. Kunnen we dit aantonen met een voorbeeld berekening?:

Met bijvoorbeeld een pijpje van 10cm in doorsnede, 4 meter lang, 2 barg voordruk met lucht van 20 grCelsius en een massadebiet van 3 kg/s:
w=3 kg/s
D = 0.1m
--> A= 0.00785 m2
-->(w/A)^2 = (3/0.00785)^2 = 145'900
L= 4m
f=0.1
-->fL/D= 4

P1 = 3 bara
T1 = 20 graden Celsius
rho1= 3.57 kg/m3 (met online calculator gevonden; www.omnicalculator.com/physics/air-density)

Dan zullen we de P2 en rho2 vinden door middel van itteratie denk ik.
Bij onsamendrukbare stroming kom ik dan op:
P2 = 1.45 bara
T2 = -22 graden Celsius (klopt dit als ik het uitreken volgens een ideaal gas?)
rho2= 2.01 kg/m3 (van www.omnicalculator.com/physics/air-density)

Bij samendrukbare stroming kom ik niet uit met itteratie. Het lukt me niet om de getallen voor en na het =-teken gelijk te krijgen. Het dichtste in de buurt kom ik bij:
P2 = 0.9 bara
T2 = -54 graden Celsius (klopt dit als ik het uitreken volgens een ideaal gas?)
rho2= 1.43 kg/m3 (van www.omnicalculator.com/physics/air-density)

Ik ga hier nog verder over prakkeseren.

Berichten: 12

Re: Samendrukbare stroming vs onsamendrukbare stroming

Hoe zit het met het middelen van die dichtheid bij die onsamendrukbare formule. Kunnen we dat nauwkeuriger benaderen als we zeggen:
dP= 1/2/ρ* ⋅ (w/A)2⋅(f⋅dL/D)
en kunnen we de gemiddelde dichtheid dan ook een functie maken van P?
Die dan ook naar links en dan integreren?
En dan zeggen we: Bij L=0, dan P=P1, om zo de onbekende constante weg te werken.

Berichten: 125

Re: Samendrukbare stroming vs onsamendrukbare stroming

met w = 3kg/m3 krijg ik negatieve drukken, dat is raar. Dus ik heb w = 0.5 gebruikt, dan krijg ik dit voor incompressibele stroming, waarbij ik in die formule de gemiddelde dichtheid gebruik. Ik hou natuurlijk ook de T constant, want dat is de aanname die achter deze formule ligt (isotherm). En als laatste is f=0.1 wel erg hoog, realistischer is f=0.002. Dan kom ik op:

========== INCOMPRESSIBLE ==========
rho1 = 3.57 kg/m3, p1 = 3.00 barA
rho2 = 2.22 kg/m3, p2 = 0.73 barA
velocity = 22.02 m/s, dp = 2.27 bar
Temperature = -30.79 C

Merk op dat 4m leiding met deze snelheid veel en veel te kort is om aan te kunnen nemen dat het proces isotherm is. En als het gas adiabatisch expandeert krijg je dus een temperatuur van -31ºC. Dus je weet al dat dit niet klopt.

Ik kijk morgen even naar het compressibele geval.

Ps:
Voor de dichtheid gebruik ik \(\rho = p M / (R T)\), hierbij is R de gasconstante (8.31 J K-1 mol-1) en M de molmassa van lucht (28.96 g/mol). Temperatuur is in Kelvin! Voor de temperatuur: \((\rho_2/\rho_1)^{\gamma -1} T_1\). Hierbij is \(\gamma = 1.4\) en temperatuur weer in Kelvin.

Berichten: 19

Re: Samendrukbare stroming vs onsamendrukbare stroming

Verandert de wrijvings factor niet over de lengte van de buis? Aangezien deze afhankelijk is van het Reynolds getal. Of zeg je dat de dichtheid van het fluidum maar een beetje verandert?

Berichten: 125

Re: Samendrukbare stroming vs onsamendrukbare stroming

Ik ga uit dat we in het 'complete turbulence' regime van de Moody's chart zitten, welke alleen nog van de ruwheid afhankelijk is, niet meer van Reynolds.

Reageer