Vliegtuigvleugels en leidingwerk laat zich niet vergelijken.
Even googlen levert
dit op. Het hangt er dus vanaf of je de temperatuur constant houdt of het proces adiabatisch beschouwd, zoals ik al schreef. Maar de formule op deze site voor gelijke temperatuur is:
\[
p_1^2 - p_2^2 = \frac{Z_m R T}{M} \left(\frac{w}{A}\right)^2\left(f \frac{L}{D}\right)\ \ \ \ (1)
\]
Dit neem ik even voor waar aan...
Hierin is \(p_{1|2}\) de druk aan begin resp eind van de pijp, \(Z_m\) de gemiddelde (mean) compressibiliteit (\(Z_m = 1\) voor ideaal gas), \(R\) algemene gas constante, \(M\) de molaire massa, \(T\) temperatuur, \(w\) massastroom, \(A\) doorstroom oppervlak leiding, \(L\) lengte van de leiding, \(D\) diameter van de leiding, \(f\) wrijvingsfactor.
Verder geeft de gaswet dat \(PV_m = Z_m R T\) en aangezien \(Z_m R T\) gelijk blijft in dit geval (isotherm), verloopt de dichtheid dus proportioneel aan de druk over de leiding, want \(P\) is locale druk en \(V_m\) is het molair volume (volume van een mol gas, \(V_m = M/\rho\) met \(\rho\) de dichtheid en \(M\) de molaire massa.
Vergelijk dit met het onsamendrukbare geval:
\[
p_1 - p_2 = \frac{1}{2\rho^*}\left(\frac{w}{A}\right)^2\left(f \frac{L}{D}\right) \ \ \ \ (2)
\]
met
\[
\frac{w}{\rho A} = v \ \ \ \ (4)
\]
hierbij is \(v\) de snelheid van de stroming door de leiding.
Hierin is \(M\) de moleculaire massa, en \(\rho^*\) is 'de dichtheid'. Je wilt geen afhankelijkheid tussen druk en dichtheid. Dus wat moet je dan voor \(\rho^*\) in vergelijking (2) gebruiken om hem met vergelijking (1) te vergelijken? M.a.w., hoe moet je deze twee gevallen precies vergelijken? Ok, eerst maar even een recht toe recht aan approach: \(\rho^* = (\rho_1 + \rho_2)/2\), de gemiddelde dichtheid dus. We nemen nu ook \(p^*\) de bijbehorende gemiddelde druk.
Ok, maar nu geeft (2) het drukverschil, maar (1) geeft het verschil tussen het kwadraat van de druk. Hoe moeten we dat vergelijken? In vgl (1) is \( (Z_m R T) / M\) volgens de gaswet gelijk aan \(p / \rho\). Als we hiervoor dan maar weer gewoon de gemiddelden gebruiken, hebben we voor een vergelijkbaar geval:
compressibel:
\[
p_1^2 - p_2^2 = \frac{p^*}{\rho^*} C
\]
incompressibel:
\[
p_1 - p_2 = \frac{1}{2\rho^*} C
\]
met
\[
C = \left(\frac{w}{A}\right)^2\left(f \frac{L}{D}\right)
\]
Dus \(C\) is voor een vergelijkbaar geval gelijk. En \(\rho^*\) en \(p^*\) zijn de gemiddelde druk en dichtheid in het compressibele geval, en gewoon 'de druk' en 'de dichtheid' in het incompressibele geval.
Laten we nu het rechter lid voor het compressibele geval gelijk maken aan het incompressibele geval:
\[
p_1^2 - p_2^2 = \frac{p^*}{\rho^*} C = \frac{(p_1 + p_2)/2}{\rho^*} C
\\
\\
\Rightarrow
\\
\\
\frac{p_1^2 - p_2^2}{(p_1 + p_2)/2} = \frac{1}{\rho^*} C
\\
\\
\Rightarrow
\\
\\
\frac{p_1^2 - p_2^2}{(p_1 + p_2)} = \frac{1}{2\rho^*} C
\]
So, phew, we komen ergens. Nu kan je de vergelijkingen aan elkaar gelijk stellen:
\[
\frac{p_{1c}^2 - p_{2c}^2}{(p_{1c} + p_{2c})} = p_{1ic} - p_{2ic}
\]
Hierbij heb ik even \(_c\) toegevoegd voor het compressibele geval en \(_{ic}\) voor het incompressibele geval, om ze uit elkaar te houden. Als je nu stelt \(p_{2c} = p_{2ic} = p_2 \), dan zeg je dat de uitstroom druk gelijk is. Wat wordt dan de instroom druk? Een kleine verassing:
\[
\frac{p_{1c}^2 - p_2^2}{(p_{1c} + p_2)} = \frac{(p_{1c} - p_2)(p_{1c} + p_2)}{(p_{1c} + p_2)} = p_{1c} - p_2 = p_{1ic} - p_2
\]
Dus... tromgeroffel...:
\[
p_{1c} = p_{1ic}
\]
De instroom drukken zijn gelijk!
Maar, aan het einde van de leiding zit je dus met een gas dat een lagere dichtheid heeft dan toen het de leiding in ging. Dit is een energie verlies. Dit resultaat verbaasde me enigszins, maar is eigenlijk wel logisch.
Eerder zei ik dat het expanderende gas potentiële energie vrij geeft. Dit is ook zo, maar wat ik was vergeten is dat dit gas ook versneld moet worden, en de kinetische energie gaat met het kwadraat van de snelheid, dus dat gaat heel hard. In het compressibele geval is de snelheid over de lengte van de buis dus niet gelijk. Het effect van het versnellen van het gas (kost energie) valt dus blijkbaar weg tegen het effect van de expansie van het gas (er komt potentiële energie vrij) en het toevoegen van warmte (het expanderende gas koelt af, maar warmt ook op door de omgeving, dus neemt het energie op). En dan blijf je nog steeds zitten met een gas met lagere dichtheid (dus minder energie)...
Het adiabatische geval laat ik over als een oefening voor de lezer
Ps: het is een aardige lap tekst geworden, maar ik moest het zelf ook even allemaal correct (hopelijk...) beredeneren. En ik had geen zin om alleen de samenvatting te laten staan.