de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

Moderator: physicalattraction

Reageer
Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.590

de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

Ik ben begonnen met deel 6 van de serie fundsmentele natuurkunde ""Statistische mechanica.
Ik probeer de afleiding van de verdelingswet van Maxwell Boltzman te snappen.
Het eerste opstakel is de formule van Stirling\
Ln(x !)=x.Ln(x)-x
Geldt dit vooe hele grote waarden van x ? en hoe komen ze aan die formule?

Berichten: 331

Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

De formule van Stirling is inderdaad een benadering voor de natuurlijke logaritme van de faculteit van een getal,
ln(𝑥!) die vooral nuttig is voor grote waarden van 𝑥
De volledige vorm van Stirling's benadering luidt als volgt:
\(\ln(x!) \approx x \ln(x) - x + \frac{1}{2} \ln(2\pi x) + \frac{1}{12x} - \frac{1}{360x^3} + \ldots\)
De afleiding is wat lastig.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.590

Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

img462.jpg

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.590

Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

img463.jpg
dit differentieren zou niet zo moeilijk moeten zijn , maar dit snap ik niet.?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.321

Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

hint:

$$ln(n_i / g_i) = ln(n_i) - ln(g_i) $$

leid nu eens af naar \(n_i\)...

Berichten: 1.243

Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

aadkr schreef: zo 24 mar 2024, 13:17 Ik ben begonnen met deel 6 van de serie fundsmentele natuurkunde ""Statistische mechanica.
Ik probeer de afleiding van de verdelingswet van Maxwell Boltzman te snappen.
Het eerste opstakel is de formule van Stirling\
Ln(x !)=x.Ln(x)-x
Geldt dit vooe hele grote waarden van x ? en hoe komen ze aan die formule?
Hoe ik dit intuïtief onthoud is dat ln(x!) gelijk is aan ln(x) + ln(x-1) + ln(x-2) + ... + ln(1). Deze som kun je met een integraal benaderen: de integraal van ln(x). Dat is precies x*ln(x)-x.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.590

Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

wnvl1, ik begrijp het gewoon niet. bedankt voor de hulp maar dit is voor mij te moeilijk.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.321

Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

De vraag is alleen maar waarom die \(g_i\) verdwijnt? Of is de vraag ruimer?

Het eerste is heel eenvoudig.

Leid eens ln(x/7) af. Je gaat zien dat die 7 vanzelf verdwijnt. Dat kan je dan heel eenvoudig uitbreiden naar de afgeleide naar n van ln(n/g) met g een constante.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.590

Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

d(Ln P)/dnI=d(lnP)/dP.dP/dnI=1/P .dP/dni

hier gaat het al fout

Gebruikersavatar
Berichten: 2.321

Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

Wat je schrijft is juist, maar dat is niet echt een stap vooruit. Beter direct ln P afleiden ipv om te zetten naar een afgeleide van P via de kettingregel.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.590

Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

wnvl1 en flappelap, hartelijk bedankt voor de hulp. nu zie ik het ook.Er is gebruik gemaakt van d(u.v)=u.dv+du.v
en d (ln (gi/ni))/dni=1/ni
dus
d(Ln(gi/ni))=dni/ni

Reageer