[natuurkunde] Magnetische inductie bepalen m.b.v. scheiding van veranderlijken

Moderator: physicalattraction

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 67

[natuurkunde] Magnetische inductie bepalen m.b.v. scheiding van veranderlijken

Toegevoegd is een afbeelding om het probleem te visualiseren. We hebben te maken met een isotroop probleem. Er zijn drie regio's te onderscheiden, die elk hun eigen elektrische permittiviteit en magnetische permeabiliteit hebben. Regio 0 is vacuüm, regio 1 stelt een magneto-optische vloeistof voor en regio 2 is een omhulsel waaronder het vloeistof gebracht wordt. In het vacuüm wordt een uniform magnetisch veld \(\mathbf{H_0}=H_0/\sqrt{2}(\mathbf{e}_x+\mathbf{e}_y)\) aangelegd a.d.h.v. een elektromagneet. Op deze manier wordt een statisch veld \(\mathbf{H}\) tot stand gebracht in de magneto-optische kern.

Nu is het de bedoeling om de magnetische inductie in de magneto-optische kern ten gevolge van het opgelegde veld te bepalen. Hierbij mogen de afmetingen de vloeistofcontainer als oneindig in de x- en z-richting benaderd worden.

Mijn poging:

Aangezien de vrije stroomdichtheid overal 0 is, kunnen we werken met een scalaire magnetische potentiaal V. Deze moet dan wegens de magnetische wet van Gauss voldoen aan de vergelijking van Laplace. We stellen V = X(x)*Y(y) en bekomen als oplossingen voor X en Y:
\(X(x)=Ae^{kx}+Be^{-kx}\)
en
\(Y(y)=C\sin(ky)+D\cos(ky)\)
. Ik wil nu mogelijke randvoorwaarden voor V bepalen. Ik heb als tip gekregen dat we de potentiaal V in vacuüm (regio 0) moeten bepalen en deze dan kunnen gebruiken voor de randvoorwaarden. Ik zie echter niet in hoe de potentiaal in het vacuüm gevonden kan worden. Mijn redenering was als volgt. We weten dat in vacuüm
\(\nabla V = -\mu_0 \mathbf{H_0} =-\mu_0 H_0/\sqrt{2}(\mathbf{e}_x+\mathbf{e}_y) \)
. Bijgevolg zijn de partiële afgeleiden van V naar x en y gelijk aan elkaar (nl. \(-\mu_0H_0/\sqrt{2}\) (*)). Vervolgens kan men zeggen dat A=B=0 (denk ik), want het magnetisch veld in vacuüm is overal in regio 0 eindig en de exponentiëlen zouden divergeren voor grote (of kleine voor de min) waarden van x. Dit zorgt er echter voor dat V onafhankelijk wordt van x, zodat de partiële afgeleide van V naar x gewoon 0 wordt, in strijd met het feit dat die gelijk zou moeten zijn aan (*).

Hoe kan ik V nu precies bepalen in vacuüm. Dit is het begin van een grote oefening en ik zit nu al vast, dus kan helemaal niet verder. Alle hulp is welkom en wordt erg gewaardeerd.

Alvast bedankt!
Bijlagen
pic.jpg

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 49.261

Re: [natuurkunde] Magnetische inductie bepalen m.b.v. scheiding van veranderlijken

Opmerking moderator

Beetje heftig voor het huiswerkforum, verplaatst naar het vakforum

Gebruikersavatar
Berichten: 67

Re: [natuurkunde] Magnetische inductie bepalen m.b.v. scheiding van veranderlijken

Update: door de symmetrie van het probleem wat beter te bekijken kan men besluiten dat de uitdrukkingen van de velden en potentialen die we zullen afleiden geen oneven termen kunnen bezitten. Oplossingen van de Laplacevergelijking: X(x)=Acos(kx)+Bsin(kx), Y(y)=Ce^(ky)+De^(-ky). Merk op dat de oplossing van Y(y) ook van de vorm E*cosh(ky)+F*sinh(ky) kan zijn. Aangezien er geen oneven termen kunnen zijn, besluiten we dat F=0 en ook B=0, bovendien volgt ook dat C=D (want y-> -y houdt het probleem intact). Het veld in vacuüm waarvoor y>h_2/2 is van de vorm Ae^(ky)cos(kx). Merk echter op dat dan k=0, want door y van teken te veranderen zouden vergelijkingen behouden moeten blijven. We bepalen de oplossingen van de Laplacevergelijking opnieuw (i.e. X '' = Y '' = k = 0). We vinden dan X = Ax+B en Y = Cx+D, zodat dan uit de gegeven uitdrukking voor H_0 volgt dat in vacuum psi = -mu_0*H_0/sqrt(2) * (x+y). Hoe kan deze uitdrukking nu verder gebruikt worden om de overige velden te bepalen?

Reageer