Toegevoegd is een afbeelding om het probleem te visualiseren. We hebben te maken met een isotroop probleem. Er zijn drie regio's te onderscheiden, die elk hun eigen elektrische permittiviteit en magnetische permeabiliteit hebben. Regio 0 is vacuüm, regio 1 stelt een magneto-optische vloeistof voor en regio 2 is een omhulsel waaronder het vloeistof gebracht wordt. In het vacuüm wordt een uniform magnetisch veld
\(\mathbf{H_0}=H_0/\sqrt{2}(\mathbf{e}_x+\mathbf{e}_y)\) aangelegd a.d.h.v. een elektromagneet. Op deze manier wordt een statisch veld
\(\mathbf{H}\) tot stand gebracht in de magneto-optische kern.
Nu is het de bedoeling om de magnetische inductie in de magneto-optische kern ten gevolge van het opgelegde veld te bepalen. Hierbij mogen de afmetingen de vloeistofcontainer als oneindig in de x- en z-richting benaderd worden.
Mijn poging:
Aangezien de vrije stroomdichtheid overal 0 is, kunnen we werken met een scalaire magnetische potentiaal V. Deze moet dan wegens de magnetische wet van Gauss voldoen aan de vergelijking van Laplace. We stellen V = X(x)*Y(y) en bekomen als oplossingen voor X en Y:
\(X(x)=Ae^{kx}+Be^{-kx}\)
en
\(Y(y)=C\sin(ky)+D\cos(ky)\)
. Ik wil nu mogelijke randvoorwaarden voor V bepalen. Ik heb als tip gekregen dat we de potentiaal V in vacuüm (regio 0) moeten bepalen en deze dan kunnen gebruiken voor de randvoorwaarden. Ik zie echter niet in hoe de potentiaal in het vacuüm gevonden kan worden. Mijn redenering was als volgt. We weten dat in vacuüm
\(\nabla V = -\mu_0 \mathbf{H_0} =-\mu_0 H_0/\sqrt{2}(\mathbf{e}_x+\mathbf{e}_y) \)
. Bijgevolg zijn de partiële afgeleiden van V naar x en y gelijk aan elkaar (nl.
\(-\mu_0H_0/\sqrt{2}\) (*)). Vervolgens kan men zeggen dat A=B=0 (denk ik), want het magnetisch veld in vacuüm is overal in regio 0 eindig en de exponentiëlen zouden divergeren voor grote (of kleine voor de min) waarden van x. Dit zorgt er echter voor dat V onafhankelijk wordt van x, zodat de partiële afgeleide van V naar x gewoon 0 wordt, in strijd met het feit dat die gelijk zou moeten zijn aan (*).
Hoe kan ik V nu precies bepalen in vacuüm. Dit is het begin van een grote oefening en ik zit nu al vast, dus kan helemaal niet verder. Alle hulp is welkom en wordt erg gewaardeerd.
Alvast bedankt!