Waar in het veld zit de potentiele energie?

Moderator: physicalattraction

Reageer
Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.375

Waar in het veld zit de potentiele energie?

Stel twee puntladingen worden vanuit oneindig bij elkaar gebracht tot afstand R. De arbeid is omgezet in potentiele energie, en die potentiele energie zit in het E-veld. De energiedichtheid van het veld is ½ ε E2. Is het mogelijk om te berekenen waar in het veld de potentiele energie zich bevindt?

Gebruikersavatar
Berichten: 5.969

Re: Waar in het veld zit de potentiele energie?

De energie-inhoud van het totale elektrische veld van een ladingsconcentratie is gelijk aan de energie die is gespendeerd om die hoeveelheid lading vanuit het oneindige bij elkaar te brengen. Als je twee puntladingen naar elkaar toe beweegt zal daardoor het totale elektrische veld van dat systeem van twee ladingen zodanig veranderen dat de totale energie-inhoud van dat resulterende veld evenveel toeneemt als er aan arbeid verricht moest worden om die ladingen naar elkaar te duwen. Dat is tenminste hoe ik het begrepen heb. Door het uitrekenen van de integraal over de totale ruimte van de energiedichtheid van het totale elektrische veld van de twee ladingen kan je dat controleren. De totale potentiële energie is dan volgens de energiedichtheid van het elektrische veld over de ruimte verspreid.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.218

Re: Waar in het veld zit de potentiele energie?

Professor Puntje schreef: ma 29 jun 2020, 19:02 Als je twee puntladingen naar elkaar toe beweegt zal daardoor het totale elektrische veld van dat systeem van twee ladingen zodanig veranderen dat de totale energie-inhoud van dat resulterende veld evenveel toeneemt als er aan arbeid verricht moest worden om die ladingen naar elkaar te duwen.
Dat lijkt me ook het meest voor de hand te liggen, net als de de energie om twee voorwerpen met een veer ertussen naar elkaar te duwen (tegen de kracht van de veer in) in de veer gaat zitten.

Ik ben aan het kijken of een numerieke benadering daarmee overeenstemt.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.969

Re: Waar in het veld zit de potentiele energie?

Xilvo schreef: ma 29 jun 2020, 19:10 Ik ben aan het kijken of een numerieke benadering daarmee overeenstemt.
Mooi - ben benieuwd!

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.218

Re: Waar in het veld zit de potentiele energie?

Je moet sowieso een bolletje om de lading uitsluiten anders krijg je oneindigheden.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.969

Re: Waar in het veld zit de potentiele energie?

Echte puntladingen geven problemen. Voor klassieke berekeningen kun je ervan uitgaan dat het elektron de klassieke elektronenstraal heeft: https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_electron_radius

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.375

Re: Waar in het veld zit de potentiele energie?

Professor Puntje schreef: ma 29 jun 2020, 19:20 Echte puntladingen geven problemen. Voor klassieke berekeningen kun je ervan uitgaan dat het elektron de klassieke elektronenstraal heeft
Wat een prachtig idee, dat de rustmassa van het elektron zou ontstaan door de arbeid die nodig is om de massaloze lading vanuit het oneindige naar een klein bolletje te brengen, en dat je zo kunt uitrekenen wat de afmeting van het elektron is. Erg jammer dat wikipedia eraan toevoegt "Attempts to model the electron as a non-point particle have been described as ill-conceived and counter-pedagogic."

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.218

Re: Waar in het veld zit de potentiele energie?

Berekend is de energie in het veld. Eerst 1 elektron, q=1.602E-19 C, op positie [-0.05, 0, 0]
Numeriek geïntegreerd over een kubus van 2x2x2 meter; x van -1 tot 1, y van 0 tot 1, z van 0 tot 1.
De laatste twee vanaf nul wegens symmetrie, om tijd te sparen.

dx=dy=dz=0.0005 m.
Veld niet berekend in bolletje met r = 0.01 m om het elektron/ de elektronen.
Energie: 1.14E-26 J = U1

Met tweede elektron op positie [+0.05, 0, 0]
Energie: 2.50E-26 J = U2

U2 - 2 * U1 = 2.12E-27 J

Theoretisch twee elektronen op 10 cm afstand: q2/(4*π*ε0)*(1/0.1) = 2.31E-27 J

Numerieke benadering bewijst natuurlijk niets.
Maar het resultaat zit in ieder geval de buurt van de theoretisch waarde.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.969

Re: Waar in het veld zit de potentiele energie?

@ jkien Voor wat betreft de moderne kwantummechanische opvattingen kan ik je niet helpen, dat gaat mij boven de pet. Overigens geven echte puntladingen ook dan nog steeds moeilijkheden die via kunstgrepen moeten worden weggewerkt.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.969

Re: Waar in het veld zit de potentiele energie?

Xilvo schreef: ma 29 jun 2020, 21:42 Numerieke benadering bewijst natuurlijk niets.
Maar het resultaat zit in ieder geval de buurt van de theoretisch waarde.
Juist - leuk resultaat.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.375

Re: Waar in het veld zit de potentiele energie?

Ik heb een artikeltje gevonden waarin het wiskundig helemaal wordt uitgewerkt.(link)
De bindingsenergie U is, een beetje slordig genoteerd (door mij):

\( U = \frac{1}{2} \epsilon_0 \int_{0}^{\infty} \lVert \mathbf{E_1 + E_2} \rVert ^2 dV - Z_1 -Z_2 \)
\( Z_1 = \frac{1}{2} \epsilon_0 \int_{0}^{\infty} \lVert \mathbf{E_1} \rVert ^2 dV \)
\( Z_2 = \frac{1}{2} \epsilon_0 \int_{0}^{\infty} \lVert \mathbf{E_2} \rVert ^2 dV \)
waarin \( \mathbf{E} \) het elektrische veld is en \( Z_1 \) en \( Z_2 \) de 'zelfenergie' van de twee ladingen.

90% van de bindingsenergie blijkt zich te bevinden in een bol met straal 10R, waarin R de afstand tussen de twee ladingen is.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.218

Re: Waar in het veld zit de potentiele energie?

Xilvo schreef: ma 29 jun 2020, 21:42 Berekend is de energie in het veld. Eerst 1 elektron, q=1.602E-19 C, op positie [-0.05, 0, 0]
Numeriek geïntegreerd over een kubus van 2x2x2 meter; x van -1 tot 1, y van 0 tot 1, z van 0 tot 1.
De laatste twee vanaf nul wegens symmetrie, om tijd te sparen.

dx=dy=dz=0.0005 m.
Veld niet berekend in bolletje met r = 0.01 m om het elektron/ de elektronen.
Energie: 1.14E-26 J = U1

Met tweede elektron op positie [+0.05, 0, 0]
Energie: 2.50E-26 J = U2

U2 - 2 * U1 = 2.12E-27 J

Theoretisch twee elektronen op 10 cm afstand: q2/(4*π*ε0)*(1/0.1) = 2.31E-27 J

Numerieke benadering bewijst natuurlijk niets.
Maar het resultaat zit in ieder geval de buurt van de theoretisch waarde.
Berekening herhaald (computer een nachtje laten rekenen).
Nu met dx=dy=dz=0.001 m., dat bleek bij de vorige berekening nagenoeg dezelfde resultaten te geven.
De kubus was nu 8x8x8 meter.
Eén elektron:
Energie: 1.150E-26 J = U1

Met tweede elektron:
Energie: 2.526E-26 J = U2

U2 - 2 * U1 = 2.26E-27 J
terwijl de theoretisch waarde weer 2.31E-27 J is.
Dat komt al weer dichter in de buurt.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.218

Re: Waar in het veld zit de potentiele energie?

jkien schreef: ma 29 jun 2020, 23:58 90% van de bindingsenergie blijkt zich te bevinden in een bol met straal 10R, waarin R de afstand tussen de twee ladingen is.
\(U = \frac{1}{2} \epsilon_0 \int_{0}^{\infty} \lVert \mathbf{E_1 + E_2} \rVert ^2 dV - Z_1 -Z_2=W-Z_1-Z_2\)

W is groter dan Z1+Z2 waar de velden van de twee ladingen elkaar versterken.

Bij gelijke ladingen is dat het 'buitengebied', terwijl in het gebied tussen de ladingen de veldenergie juist lager is dan de som van de oorspronkelijke zelfenergieën.

Naar elkaar toe duwen van gelijke ladingen verlaagt de veldenergie in het binnengebied maar verhoogt de veldenergie in het buitengebied sterker.

Reageer