Gedachte-experiment over (on-)stabiliteit

Moderator: physicalattraction

Reageer
Berichten: 453

Gedachte-experiment over (on-)stabiliteit

Beschouwd object
Een verzonnen bol met straal RA is opgebouwd uit N positief geladen balletjes en N negatief geladen balletjes die elkaar afwisselen. De N is een groot getal, minstens miljard.
De absolute waarden van de lading van elk van die balletjes zijn gelijk en hebben elk de waarde q. Daardoor is de bol elektrisch neutraal. De straal van elk balletje is r. Neem aan, dat de balletjes nauwelijks indrukbaar zijn zodat r als een constante opgevat mag worden. (‘Harde bollen model’)
De grootte van de elektrische aantrekking of afstoting tussen twee balletjes op afstand d kan dan beschreven worden als F = c/d2. De c is voor elk paar gelijk aan q2/(4πε). Kortom, de c is hier een constante. De d is de afstand van de middelpunten van de balletjes.
De bol roteert niet of nauwelijks, zodat het niet nodig is om te letten op centripetaalkracht op elk balletje.
Als het in het komende handiger is om de bol als een kubus op te vatten met kubische stapeling van de balletjes, (als NaCl) dan mag dat. De ribbe is dan RA.

Situatie A
Die 2N balletjes zitten stevig tegen elkaar aan doordat de netto elektrische kracht op elk deeltje aantrekkend is. De bol is daardoor stabiel. De stabiliteit van de bol doet een beetje denken aan een ionenkristal.

Situatie B
Als we in gedachte alle N negatieve balletjes uit de bol zouden verwijderen, dan zou de resterende bol onmiddellijk explosief uit elkaar spatten, doordat er uitsluitend afstotende elektrische kracht zou zijn. Dit is volmaakt onstabiel.

Situatie C
Uitgaande van situatie A gaan we steeds opnieuw in gedachte een negatief balletje uit de bol weghalen. De plaats waar dat gebeurt is willekeurig. Het gevolg is, dat de bol geleidelijk aan steeds meer positief geladen wordt. Daardoor wordt de bol steeds een beetje minder stabiel. Hij wordt ook steeds een beetje kleiner doordat gaten van buitenaf worden opgevuld.

Situatie D
Er komt een moment, dat p % van de N negatieve bolletjes verwijderd is uit de bal.
Dit is het moment, dat de totale aantrekking en totale afstoting op elk balletje gelijk geworden zijn en de balletjes zweven uiterst rustig van elkaar.

Vragen
a) Ontbreken er gegevens?
b) Bereken het percentage p (zie situatie D).
c) Is p onafhankelijk van N, RA en r?

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 5.180

Re: Gedachte-experiment over (on-)stabiliteit

Even met de natte vinger:

Volume bol V
\(V=1,3.N.v\)
met v het volume van een enkel bolletje. Die 1,3 is een geschatte correctie voor de lege ruimte tussen de bolletjes.

Dan is
\(\frac{R}{r}\approx 1,1.N^{\frac{1}{3}}\)
De afstotende kracht die een deeltje aan het oppervlak ondervindt bij een overschot n van gelijke ladingen/een tekort van ongelijke ladingen, uniform verdeeld door de bol is
\(F_r=c.n/R^2\)
De aantrekkingskracht die een deeltje aan het oppervlak ondervindt door p (misschien effectief 1 ... 3) hem rakende deeltjes met tegengestelde lading is
\(F_a=c.p/d^2=c.p/(4.r^2)\)

Die zijn net in evenwicht als
\(n=\frac{p}{4}\frac{R^2}{r^2}\approx \frac{p}{4}1,2.N^\frac{2}{3}\)
Er zich dan net evenwicht als
\(\frac{n}{N}\approx 0,3.p/N^\frac{1}{3}\)

Het percentage is vanzelfsprekend 100 maal zo groot. En is afhankelijk van N.

Berichten: 453

Re: Gedachte-experiment over (on-)stabiliteit

Bedankt voor de goede aanzet. Toch wat opmerkingen.
1. In de eerste formule moet N vervangen worden door 2N.
2. Waardoor is, aan het eind van de beschouwing, p maximaal 3? (Ik snap de aanraking)
3. Bij de afstotingsformule deel je door R2. Moet daar niet het gemiddelde staan van het kwadraat van alle mogelijke afstanden?

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 5.180

Re: Gedachte-experiment over (on-)stabiliteit

efdee schreef: do 08 apr 2021, 17:08 1. In de eerste formule moet N vervangen worden door 2N.
Volgens mij niet.
efdee schreef: do 08 apr 2021, 17:08 2. Waardoor is, aan het eind van de beschouwing, p maximaal 3? (Ik snap de aanraking)
Dat is inderdaad een schatting. Vier tegengesteld geladen naaste buren waarbij de verbindingslijnen steeds een hoek van 75 graden maakt met de lijn richting middelpunt van de bol trekken effectief even hard al een enkele die er precies "onder" ligt.
efdee schreef: do 08 apr 2021, 17:08 3. Bij de afstotingsformule deel je door R2. Moet daar niet het gemiddelde staan van het kwadraat van alle mogelijke afstanden?
Dat is het dan ook, net als je bij de aarde alle massa in het middelpunt mag denken en zo op dezelfde aantrekkingskracht komt.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.703

Re: Gedachte-experiment over (on-)stabiliteit

Als het wordt opgebouwd uit harde balletjes (en soort knikertjes)
Dan is er misschien een stapelingsprobleem.

De randen van de grote bol zullen onherroepelijk onregelmatig worden, dat betekent dat er plaartselijk geen evenwicht zal zijn tussen af en aanstotende bolletjes.
Dat resulteert er in dat er een bolletje kan worden afgestoten, maar dat maakt het niet glad en zo zal er telkens een deeltje de grote bol verlaten.

Natuurlijk hoeft dat niet te gebeuren als er ook nog gravitatie is.

Berichten: 453

Re: Gedachte-experiment over (on-)stabiliteit

Wat is de lading van de bol in situatie D?

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 5.180

Re: Gedachte-experiment over (on-)stabiliteit

Wat is situatie D?

Berichten: 453

Re: Gedachte-experiment over (on-)stabiliteit

Klopt het, dat de resultende kracht op een willekeurig bolletje ergens in de bol, verwaarloosbaar klein is?

Berichten: 453

Re: Gedachte-experiment over (on-)stabiliteit

Situatie D staat in de inleiding vermeld.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 5.180

Re: Gedachte-experiment over (on-)stabiliteit

De vraag is of er zo'n situatie ontstaat. Het lijkt me waarschijnlijker dat er positieve balletjes wegvliegen totdat de totale lading van de bol klein genoeg is voor een stabiele situatie.

Reageer