digitaal geluid - meerdere frequenties tegelijkertijd definiëren

[tuander]

de vraag is of je heel veel verschillende geluids frequenties wel tegelijkertijd kunt definiëren in een digitaal signaal met een samplerate van 44.100 Hz. In theorie kun je een geluidsfrequentie van 22.050 Hz nog precies definiëren bij deze samplerate  (44.100 Hz , cd-geluid). Mijn vraag is of het theoretisch dan nog wel mogelijk is om, zonder kwaliteitsverlies, extra frequenties toe te voegen aan deze golf van 22.050Hz?
 
Moeilijkheden verwacht ik misschien bij frequenties die zich in grote getallen verhouden tot elkaar. Dan denk ik al snel aan priemgetallen als (17,13,11). Kenmerkende punten in een sinusvormige geluidsgolf zijn; de top (ivm amplitude), en het buigpunt (ivm golflengte). Kun je deze belangrijke punten nog wel goed samen definiëren?
 
 
 

sin 22x-17x-13x-11x.gif (45.92 KiB) 1669 keer bekeken

(afbeelding gemaakt mbv geogebra, https://www.geogebra.org/ )
 

4 moeilijke golflengtes binnen 44000 Hz -verkeerd-.gif (96.71 KiB) 1668 keer bekeken

 
Ik merk trouwens wel op dat deze geluidsfrequenties erg dissonant zijn met elkaar, juist omdat ze zich in deze vreemde getallen met elkaar verhouden

[klazon]

In een digitaal geluidssignaal worden de frequenties niet apart gedefinieerd. Er wordt 44100 keer per seconde een sample genomen van de actuele waarde van het signaal. En dat is net genoeg om frequenties tot 20kHz nog terug te winnen.

[Xilvo]

Ieder signaal opgebouwd uit sinussen met frequenties lager dan de helft van de samplefrequentie valt altijd exact te reconstrueren uit de samples.
 
Voor precies de helft van de samplefrequentie geldt dat net niet meer.

[Benm]

Het antwoord is deels:
 
Het kan in principe wel, maar als je de resolutie (zeg 16 bits) wilt verhouden kan dat niet -per frequentie-. Als je bijvoorbeeld de som van een golven van 1 en 2 kHz wilt sampelen dat heb je op iedere andere piek van het 1 kHz een signaal dat groter in amplitude is dan het 1 kHz signaal alleen. Als je dat nog op 16 bits wilt sampelen dan moet je dus het volume terugdraaien en heb je nog 15 bits over. 
 
De moeilijkheid van het sampelen van idioot veel sinusgolven (zeg alle frequenties met een priemgetal tot aan de nyquist frequentie oid) loopt dus vast tegen de resolutie van de ADC, niet tegen de samplerate. 

[tuander]

Het is natuurlijk een nogal theoretische vraag die ik stel in dit topic, en niet erg praktisch. Maar misschien kun je de vraag reduceren tot de vraag of je altijd de buigpunten kunt bepalen en de hoogte van de golftoppen (amplitude). Heb je die, dan kun je golflengte en amplitude reconstrueren van elke golf in het digitale signaal.
 
De amplitude heeft dus te maken met de bitdiepte (16 bit of 24 bit bijvoorbeeld) En de buigpunten hebben te maken met de samplerate (44,1 KHz, of 192Kz bijvoorbeeld) Maar wat als een buigpunt bijvoorbeeld niet precies op 1 geluidspixel valt? Beter gezegd: als 2 buigpunten (van golven met verschillende frequenties) niet samenvallen in de oorspronkelijke golf, maar wel samenvallen in de digitale versie? Beide golven accuraat reconstrueren wordt dan misschien erg lastig.
 
Stel dat het principieel niet meer mogelijk is om een precieze reconstructie te maken van de twee golven. Waar ga je het effect dan in merken?

[Benm]

Als je het theoretisch wilt benaderen moet het gehele oorspronkelijke signaal perfect te reconstrueren zijn. HOE je dat dat precies moet doen is overigens een apart vraagstuk, maar duidelijk is dat er een beperkte hoeveelheid informatie/seconde in een gegeven samplerate*bitdiepte "past". 
 
Qua muziek is het antwoord domweg: overkill. 16 bits @ 44.1 kHz sampled zo goed dat je gewoon geen hoorbaar verschil krijgt doordat er meerdere instrumenten tegelijk in zitten. Je kunt het verschil in theorie niet eens horen (of meten met een microfoon), tenzij je in een ruimte zit waarbij je 96 dB (~16 bits) dynamisch bereik hebt (dus zeg een omgeving van 30 dB, en een luistervolume van 126 dB). 
 
Maar goed, stel je zou een heel zacht signaaltje van 1 kHz willen meesturen met een stuk muziek, en daardoor wordt het niet dudsdanig luider dat het zal clippen. Vervolgens filter je dat er exact uit aan de ontvangende kant. Ik zei dus al: -zacht- signaaltje. Als je dat bijv 30 dB zachter maakt dan het totaal dan heb je ongeveer 10 bits amplitude voor dat signaal. Maar zou het 60 dB zijn dan heb je nog pakweg  6 bits over, en dat hoor door 'quantizing', je krijgt een vervorming die een beetje klinkt als clipping. 
 
Dit merk je alleen in extreme gevallen, je kan bijv met een audio editor eens een stuk muziek downsampelen naar 8 bits - dan hoor je wel een duidelijk verlies aan kwaliteit. 

[Xilvo]

Ik begrijp niet helemaal wat je bedoelt maar uit een gesampled signaal is het originele signaal altijd te construeren mits de hoogste frequentie in het originele signaal kleiner is dan de helft van de samplefrequentie. 
De nauwkeurigheid is, zoals Benm al aangeeft, afhankelijk van de nauwkeurigheid (bitdiepte) van de samples.
 
Bovendien moeten er voldoende samples ter weerszijden van het te reconstrueren signaal zijn. Als je, om een extreem voorbeeld te nemen, maar twee samples hebt kun je niet reconstrueren hoe het origineel halverwege tussen die punten was. 

[tuander]

Nou, ik bedoel het volgende: Elke golf waar muziek uit opgebouwd is, kun je beschouwen als informatie. Voor elke golf heb je een bepaalde hoeveelheid bits (enen en nullen) nodig om hem op te slaan. Een muziektrack bestaat uit ontzettend veel golven tegelijkertijd. Ik snap dat je elke losstaande golf kleiner dan 22.050 Hz kunt definiëren en ook weer reconstrueren uit het signaal van 44.100Hz. Bijvoorbeeld een golf van 19.000Hz kun je goed coderen en ook weer decoderen. Een golf van 17.000Hz net zo goed. Een golf van 21.000Hz ook. En een golf van 15.000Hz, 13.000Hz, 11.000Hz, 9.000Hz. Allemaal zijn ze afzonderlijk te coderen en te decoderen
 
Maar als je bijvoorbeeld deze 7 golven tegelijkertijd wilt coderen, opslaan, en vervolgens weer wilt decoderenmet deze samplerate. Heb je dan in principe wel genoeg enen en nullen beschikbaar op je harde schijf? Elke afzonderlijke golf vraagt immers nogal wat opslagruimte per seconde. Of kan je uit het gecodeerde totaalsignaal nooit meer exact de originele 7 golven reconstrueren? (9.000Hz, 11.000Hz, 13.000Hz, 15.000Hz, 17.000Hz, 19.000H, 21.000Hz)

[Xilvo]

Wat je samplet is de som van die verschillende signalen. Bij muziek is dat de som van al de geluiden die de instrumenten en stemmen produceren.
Na reconstructie kun je daar de oorspronkelijke frequenties weer uit berekenen met Fourieranalyse.
 
Een signaal met maar één frequentie bevat heel weinig informatie: De frequentie, de amplitude en de fase.

[tuander]

nou heb ik een beetje gekke getallen gekozen. (3*3*1000)Hz, (11*1000)Hz, (13*1000)Hz, (3*5*1000)Hz, (17*1000)Hz, (19*1000)Hz en (3*7*1000)Hz.
 
die 1000 er achter is eigenlijk meer voor de vorm, het ging me om de getallen er voor. Laat je de drie achterste nullen buiten beschouwing, en ontbind je de getallen in factoren dan vind je de factoren 3,5,7,11,13,17,19.  Dit betekent toch dat de resulterende grafiek zichzelf pas herhaalt na 3*5*7*11*13*17*19 cycli? Dat zijn 4.849.845 cycli dus ruwweg na 5 miljoen cycli. Levert dat geen problemen op voor de reconstructie van deze 7 golven?

[Xilvo]

Geen enkel probleem, zoals zowel de theorie als werkende CD-spelers en geluidkaarten aantonen.
 
Neem maar eens ruis op met je geluidskaart. Die wordt netjes gereproduceerd.
Die ruis bevat alle door jou genoemde frequenties (plus nog talloze andere).

[tuander]

Dat vind ik eigenlijk wel een grappig idee. k vraag me echt af of de computer de 7 verschillende frequenties er uit kan vissen, of dat hij met een heel andere reeks sinus-golven komt als benadering. Ik heb wel een oude computer die toch staat te verstoffen (windows xp geloof ik). Dus ook niet erg als die vastloopt in een oneindige berekening. Dan heb ik nog twee dingen nodig denk ik:
 
Een freeware programma waarmee ik verschillende sinusgolven over elkaar kan programmeren, bij elkaar optellen en het resultaat opslaan als lossless codec (bijvoorbeeld wav met 16 bit en 44,1 kHz)
 
En vervolgens een freeware programma waarmee ik de Fourier-analyse zou kunnen doen van deze ene wav-file.

[Xilvo]

Het kan in Excel, dus hoogstwaarschijnlijk ook in Libreoffice.
 
Als je kunt programmeren of bereid bent dat te leren, uitstekende freeware is Octave (Matlab-kloon):
https://www.gnu.org/software/octave/download
 
en Python:
https://winpython.github.io/

[Benm]

Je kunt de losse sinussen er weer uit vissen, inderdaad met fourier-analyse, en met beperkte nauwkeurigheid. Maar je hebt wel gelijk dat je daarvoor meerdere samples nodig hebt.
 
Laten we het gemakkelijk houden, we nemen 1000 samples en doen een fourier transformatie naar 1000 frequency-bins. Bij een samplerate van 40.000 Hz heb je dan 40 Hz per bin. Het oorspronkelijke signaal waren 2 even sterke sinussen bijvoorbeeld van 3 en 5 kHz. Na de analyse heb je ongeveer dit:
 
250 samples in de 2960-3000 bin
250 samples in de 3000-3040 bin
250 samples in de 4960-5000 bin
250 samples in de 5000-5060 bin
 
Die 250 gaan echter niet exact op 250 uitkomen als een een willekeurig blok van 1000 samples ergens midden uit het signaal pakt. Er zit een stukje onnauwkeurigheid in de verkregen informatie, maar je kunt dus wel redelijk goed terugrekenen welke tonen het waren. Maar of het 2999 of 3001 Hz was kun je niet herleiden uit 1000 samples. 

[Xilvo]

Als je 1000 samples hebt met een samplefrequentie van 40 kHz dan kijk je naar een tijdinterval van maar 25 ms.
De frequenties liggen niet exact vast als je naar een beperkt interval kijkt.
 
Dit is vergelijkbaar met de onzekerheidsrelaties in de kwantummechanica.
Het is daarom geen beperking van de Fourieranalyse maar een fundamentele zaak.