Wet van Snellius en marcherende soldaten

[jkien]

De wet van Snellius kan verklaard worden met marcherende soldaten die terechtkomen in een trager medium, aangenomen dat de pasduur niet verandert. Maar wie door zware modder loopt heeft per stap meer tijd nodig. Hoe verandert de wet van Snellius als je de grotere pasduur meerekent?

Figuur uit hyperphysics

[Xilvo]

De wet van Snellius:

\(\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2}=\frac{n_2}{n_1}=\frac{v_1}{v_2}\)

met n de brekingsindex, v de voortplantingssnelheid.

v ∝ paslengte/pasduur = L_p / T_p

\(\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2}=\frac{n_2}{n_1}=\frac{v_1}{v_2}=\frac{L_{p,1}.T_{p,2}}{L_{p,2}.T_{p,1}}\)

[jkien]

Maar die frontlijn van soldaten is geen golffront, want de soldaten lopen niet in fase.

[Xilvo]

Volgens mij moet je alleen naar de snelheid van de soldaten kijken en een rij soldaten dan als golffront zien.
Zodra ze in een ander medium komen verandert hun snelheid (door andere paslengte en/of staptijd) en daarom moeten ze van richting veranderen willen ze nog naast hun buur blijven lopen, waarbij de richting naar die buur loodrecht op de bewegingsrichting blijft.

Ze hoeven niet van richting te veranderen, of ze hoeven dat niet volgens Snellius te doen, maar dan lopen ze niet meer in rijen waarvan de richting loodrecht op de voortbewegingsrichting staat. Ze vormen dan geen golffront meer.

[Xilvo]

Het is wel zo dat soldaten die voor de overgang in de pas liepen met soldaten in de rijen achter en voor hen, dat niet meer doen na overgang naar het nieuwe medium.

[Benm]

Hoe verandert de wet van Snellius als je de grotere pasduur meerekent?

Dat is niet wat er gebeurt: Het aantal passen per seconde blijft gelijk, maar de afstand die je per pas aflegt wordt kleiner.

Dat is wat het plaatje probeert te laten zien, maar gezien het niet bewegend is is het wat lastig te doorzien.

Fotonen doen hetzelfde, als je bijvoorbeeld licht door glas laat gaan veranderd de energie van dat licht (~passen per seconde) niet, maar de afgelegde afstand per pas wel (lagere lichtsnelheid in glas vergeleken met lucht/vacuum).

Dit veroorzaakt de 'knik' bij invalshoeken anders dan normaal. Maar ook bij een normale invalshoek heb je die vertraging: Als je 2 gelijke lasers hebt, en de ene door een stuk glas schiet en de andere door lucht, is het verschil in reistijd meetbaar.

[Xilvo]

Dat is niet wat er gebeurt: Het aantal passen per seconde blijft gelijk, maar de afstand die je per pas aflegt wordt kleiner.

Dat kun je niet stellen. De tijd per pas kan (ook) veranderen. Je kunt kijken wat dat voor gevolg heeft.

[Benm]

Je kunt er op verschillende manieren naar kijken, maar voor het inzicht is het denk ik wel belangrijk je te realiseren dat de energie per foton gelijk blijft, en er (dus) geen kleurverandering optreed als je licht door een prisma oid stuurt (je kunt wel kleuren scheiden met een prisma, maar dat komt puur omdat de brekingsindex niet gelijk is voor iedere golflengte).

[Xilvo]

Ik neem aan dat jkien het werkelijk over soldaten heeft, niet over fotonen. Ik zou niet weten wat bij fotonen het equivalent van paslengte en pasduur zou moeten zijn.

Beide bepalen de snelheid, bij fotonen heb je alleen met één grootheid, de effectieve snelheid, te maken.

[Professor Puntje]

Als de soldaten wijdbeens lopen zal de wandelsnelheid van hun linker- en rechterbeen op de grenslijn van Concrete naar Swamp eventjes verschillen, en dat leidt dan tot een knik hun bewegingsrichting. Maar wanneer ze als een mannequin langs één lijn lopend steeds de ene voet recht voor de andere zetten zie ik niet in waarom hun looprichting bij de grenslijn tussen Concrete en Swamp zou moeten veranderen.

[Xilvo]

Een enkele soldaat kan gewoon rechtdoor lopen, of afbuigen naar welke kant hij wil.
Een ultradunne lichtbundel heeft ook geen richting, die waaiert onmiddellijk alle kanten op.

Een peloton zal af moeten buigen indien de soldaten de anderen in dezelfde rij aan hun zij willen houden, niet schuin voor of schuin achter.

[jkien]

Het gaat me om de consequentie voor soldaten en in een fantasiescenario ook voor fotonen. Als die vrijheidsgraad van het veranderen van frequentie bij de soldaten bestaat, dan zou je ook bij licht, in theorie, het grensvlak van twee media kunnen voorzien van een kunstmatige plaat die voor elk inkomend groen foton dat hij absorbeert een rood foton uitzendt. Op het moment van uitzending krijgt het rode foton dezelfde fase als het groene foton.

Dan wordt de gegeneraliseerde wet van Snellius: sin i / sin r = (λ/x) / (λ'/x) = (v/f) / (v'/f').

De soldaten zijn in staat om zelf te kiezen wat hun nieuwe richting wordt. Echter, de enige keuze waarbij ze in fase blijven lopen, is de richting van de gegeneraliseerde wet van Snellius.

snellius1.png (7.17 KiB) 1381 keer bekeken

[jkien]

Op internet vond ik een afstudeerscriptie uit 1988 van Robert Bouwens, toen docent in opleiding, over begripsontwikkeling in de optica, waarin de marcherende soldaten en andere analogieën besproken worden. (link)

De brekingsindex kan ook beschreven worden als de verhouding van voortplantingssnelheden in verschillende media.. Wat dit aspect betreft worden in leerboeken vaak analogieën gebruikt. We troffen aan:

• de golfbak met diepe en ondiepe stukken;
• een boer die een stuk land diagonaal wil oversteken, waarvan een gedeelte omgeploegd is;
• een autootje, dat schuin een vlak met schuurpapier op rijdt.
• een peloton soldaten, dat schuin een weiland in marcheert,
• een badmeester, die een drenkeling moet redden, die niet recht vóór hem in het water ligt.

Omdat bij het kleurconcept vaak de fout wordt gemaakt, dat kleureigenschappen aan golflengte worden gekoppeld, is het van belang bij de analogieën te bekijken welke grootheden bij de overgang naar een ander medium veranderen.
In onderstaande tabel leggen we een verband tussen de grootheden.

Code: Selecteer alles

licht        frequentie          golflengte              voortplantingssnelheid
badmeester   zwemslagfrequentie  afstand per zwem-       zwemsnelheid of
             of stapsnelheid     slag of stapgrootte     loopsnelheid
autootje     omwentelingssnel-   wielomtrek rijsnelheid
             heid van wielen
soldaten     stapfrequentie      stapgrootte             loopsnelheid 

De analogie gaat mank bij zowel de badmeester als het autootje. Bij het autootje verandert de wielomtrek niet, zodat de omwentelingsfrequentie moet veranderen in tegenstelling tot het licht, waar de golflengte verandert. Bij de badmeester gaat het waarschijnlijk om de combinatie van de twee: zowel de afstand per slag als de frequentie veranderen. Eenzelfde probleem vinden we bij de boer en het peloton soldaten.
Toch kiezen we uiteindelijk voor het peloton soldaten, omdat

• men kan veronderstellen, dat de soldaten in de pas moeten blijven met een aangegeven marstempo, zodat dan alleen de stapgrootte verandert,
• rijen naast elkaar lopende soldaten een duidelijke suggestie geven van golffronten,
• in dit voorbeeld duidelijk blijkt, dat golffront en voortplantingsrichting loodrecht op elkaar staan.

[Xilvo]

Dan wordt de gegeneraliseerde wet van Snellius: sin i / sin r = (λ/x) / (λ'/x) = (v/f) / (v'/f').

Dat klopt, bij een golf is een golffront een lijn (of vlak) met gelijke fase. Maar hoe definieer je "fase" bij de soldaten?
Een lijn met dezelfde soldaten? Een lijn met (denkbeeldige) soldaten met dezelfde stand van de benen?

[jkien]

Dan wordt de gegeneraliseerde wet van Snellius: sin i / sin r = (λ/x) / (λ'/x) = (v/f) / (v'/f').

Dat klopt, bij een golf is een golffront een lijn (of vlak) met gelijke fase. Maar hoe definieer je "fase" bij de soldaten?
Een lijn met dezelfde soldaten? Een lijn met (denkbeeldige) soldaten met dezelfde stand van de benen?

Een lijn van gelijke fase is een lijn met (denkbeeldige) soldaten met dezelfde stand van de benen.

Als ze niet de richting van de gegeneraliseerde wet van Snellius volgen dan zal die lijn scheef staan op de rij van de soldaten.

Als ze wel de richting van de wet volgen dan is de lijn van gelijke fase parallel met de rij van de soldaten. Tijdens de grensovergang, als de ene helft van de rij al in de modder loopt, en de andere helft nog op het beton, zijn er twee fases door elkaar. De soldaten in de modder lopen niet in fase met de soldaten op het beton.

Voetstapgeluid van een rij van 6 soldaten die de modder in marcheren, de eerste op t=5 en de laatste op t=10.