spacetime interval

[HansH]

Voor de stilstaande waarnemer gaat zijn wereldlijn altijd vertikaal omhoog. De bewegende waarnemer is de blauwe lijn in et linker plaatje.

Als je nu het reference frame van de bewegende waarnemer bekijkt (die staat vanuit zichzelf gezien ook stil) dan heb je het rechter plaatje. Dan loopt de blauwe lijn dus vertikaal. Zijn ruimteas loopt horizontaal (niet getekend).

De vertaling van linker naar rechter plaatje maak je door de lichtas (gele lijn) in te duwen en de richting loodrecht daarop uit te rekken. Dan behoudt je dus de 45 graden lijn, maar wordt de tijdas wel in elkaar gedrukt (poppetjes dichter bij elkaar) maar omdat ook de horizontale as evenveel wordt ingedrukt blijft voor de bewegende waarnemer in zijn eigen referentieframe (het rechter plaatje dus) de lichtsnelheid nog steeds gelijk (1 sec in vertiale richting=3x10^8m in horizontale richting) alleen beide schalen zijn ingedrukt.

[flappelap]

@ flappelap
Helaas kan ik de stappen die je maakt niet volgen als ik start bij alleen het gegeven dat c voor elke waarnemer gelijk is.
-wat is een gepriende/ongepriemde waarnemer?
-waar komt de vergelijking dx2+dy2+dz2=c2dt2 vandaan? wat bedoel je met 'deze sfatand' ds2 ? waar verwijst 'deze' naar?
je concludeert ds2=ds'2=0, maar wat wil je daarmee aangeven?

-De 'gepriemde' waarnemer is de waarnemer die coördinaten met 'primes', {t', x', y',z'}, gebruikt ('primed' in het Engels).

-De vergelijking

\( dx^2+dy^2+dz^2=c^2 dt^2 \)

stelt dat in een tijd dt een lichtstraal c*dt aflegt; dit is gelijk aan

\(\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}\)

.

- 'Deze' verwijst naar 'ds'. Mijn conclusie stelt dat beide waarnemers dezelfde waarde vinden voor ds (ds'), namelijk 0.

In mijn boek laat ik lezers op blz 232 jouw vraag beantwoorden met de lichtklok, zie b.v. https://en.wikipedia.org/wiki/Time_dilation of blz 212 van mijn boek. Een lichtklok bestaat uit twee spiegels op afstand L van elkaar, waartussen je een foton laat heen-en-weer kaatsen. Waarnemer A met coördinaten {t,x,y,z} staat stil t.o.v. de lichtklok, en zal dus meten dat

\( \Delta t = \frac{2L}{c} \)

Nu gaat A met snelheid v bewegen ten opzichte van een waarnemer B. Deze waarnemer B gebruikt coördinaten {t',x',y',z'}. De vraag is nu wat B voor tijdsinterval meet wanneer het foton een keer heen en weer gaat. Met de stelling van Pythagoras kun je dan uitrekenen dat de beide tijdsduren van A en B gerelateerd zijn via de formule

\( \Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)

Nu kun je voor jezelf checken dat dan geldt dat het ruimtetijd interval dezelfde waarde aanneemt voor beide waarnemers A en B:

\( c^2 (\Delta t)^2 - (\Delta x)^2 - (\Delta y)^2 - (\Delta z)^2 = c^2 (\Delta t')^2 - (\Delta x')^2 - (\Delta y')^2 - (\Delta z')^2 \)

[Gast]

Vraag je je nu af waarom er een minteken voor de ct staat of wil je meer intuïtie krijgen over ruimtetijd (intervallen)?

[HansH]

Het minteken voor ct inderdaad. als je het invult zoals flappelap hierboven aangaf dan klopt het. Maar ik was op zoek naar het inzicht of je dat ook sneller kunt zien dus niet dat het klopt als je het invult, maar dat het logisch is dat het zo is, dus feitelijk het begrip erachter.

[Gast]

Ok. Uhm. De tijdas wordt verschaald met c zodat de wereldlijnen van licht precies op 45° liggen. Dus heb je ct wat dan de geometrische eenheid van de meter heeft, net als de ruimte-as x. Laten we y, en z achterwege. x = x y z ineen.

Dus krijg je bij een lichtachtige ruimtetijd interval dat ct=x, dus 0=x-ct. Waarbij nul de lichtachtige ruimtetijd interval is. Ook wel (Eng.) null-like spacetime interval. (Nulgeodeten in de ART (bij gekromde ruimtetijd) ook.)

Bij 3 ruimtelijke dimensies wordt de null-like spacetime interval via de stelling van Pythagoras 0=SQRT(x^2 + y^2 + z^2 - ct^2).

Een ruimtetijd interval wordt aangeduid met s^2, vanwege één of ander Duits woord wat begint met s.
Maar dus een lichtachtig ruimtetijd interval s^2 is altijd 0.

Wanneer de ruimtetijd interval tijdachtig is is s^2 altijd groter dan 0. En voor een ruimteachtige ruimtetijd interval geldt altijd s^2 < 0. Maar de formule houdt zijn signatuur: s^2 = x^2 + y^2 + z^2 - ct^2.

(Andersom s^2 = -x^2 - y^2 -z^2 + ct^2 is ook goed, maar er wordt meestal gekozen voor de zogenoemde signatuur (+, +, +, -) boven (-, -, -, +) .. ik vermoed omdat de tijdachtige ruimtetijd intervallen ook daadwerkelijk kunnen bestaan en ruimte-achtigen niet .. en daarom degenen die kunnen bestaan positief zijn.)

Maar dus wanneer ik zei ct=x is 0=x-ct is -x+ct=0 ook goed. Er wordt alleen gekozen voor 0=x-ct.

Ik hoop dat dit helpt.

[Gast]

In de SRT wordt dus voor ruimtetijd gekozen om de ruimtelijke component(en) positief te maken en de tijd component negatief (ruimte (+) tijd (-)). (Ook al is andersom ook goed.)

(In de ART wordt meestal gekozen om de ruimtelijke componenten negatief te maken en de tijd component positief:

)

Uhmm. Dus in principe is het hetzelfde als 6=6, dus 0=6 -6 of 6=2+2+2 geeft 0=2+2+2-6 .. waarbij -6 dan -ct is.

[HansH]

I(In de ART wordt meestal gekozen om de ruimtelijke componenten negatief te maken en de tijd component positief:

Screenshot_20200712-225229_Chrome.jpg)

Uhmm. Dus in principe is het hetzelfde als 6=6, dus 0=6 -6 of 6=2+2+2 geeft 0=2+2+2-6 .. waarbij -6 dan -ct is.

Ik zit niet goed genoeg in de ART. Lijkt me ook niet echt logisch om een effect wat binnen de SRT valt uit te gaan leggen met de veel ingewikkelder ART?

[HansH]

Ik hoop dat dit helpt.

niet echt. Je verwijst naar de stelling van pythagoras maar gebruikt dan wel een minteken terwijl de stelling van pythagoras werkt met de som van positieve kwadraten. Dus ik mis volgens mij dan nog een essentiele tussenstap in de redenatie.

[Gast]

OK. Maar begrijp je dit?

De tijdas wordt verschaald met c zodat de wereldlijnen van licht precies op 45° liggen. Dus heb je ct wat dan de geometrische eenheid van de meter heeft, net als de ruimte-as x. Laten we y, en z achterwege. x = x y z ineen.

Dus krijg je bij een lichtachtige ruimtetijd interval dat ct=x, dus 0=x-ct. Waarbij nul de lichtachtige ruimtetijd interval is. Ook wel (Eng.) null-like spacetime interval.

Bij 3 ruimtelijke dimensies wordt de null-like spacetime interval via de stelling van Pythagoras 0=SQRT(x^2 + y^2 + z^2 - ct^2).

[Gast]

Kijk. Een lichtachtige ruimtetijd interval MOET wel 0 zijn, omdat licht (fotonen) geen eigentijd "ervaren".

Dus bij voor de meest simpele formule (stelling van Pythagoras) van een lichtachtige ruimtetijd interval s^2= +/- x^2 +/- ct^2 (+/- is plus minus). Maar omdat s^2 dus wel 0 moet zijn kunnen niet ct en x beide positief (of beide negatief zijn) .. dan is de lichtachtige ruimtetijd interval s^2 niet meer 0. En dus kiest men ervoor in de SRT om de ct negatief te maken.

[Gast]

Voor de s, de x en de t moet eigenlijk een delta staan.

Maar het gaat er dus om dat zonder een minteken kan een ruimtetijdinterval nooit 0 zijn (of negatief voor ruimte achtige ruimtetijdintervallen).

De wereldlijn van licht, de lichtkegel is dus erg belangrijk.

Voor meer intuïtie vind ik dit filmpje wel goed:

[HansH]

OK. Maar begrijp je dit?

De tijdas wordt verschaald met c zodat de wereldlijnen van licht precies op 45° liggen. Dus heb je ct wat dan de geometrische eenheid van de meter heeft, net als de ruimte-as x. Laten we y, en z achterwege. x = x y z ineen.

Dus krijg je bij een lichtachtige ruimtetijd interval dat ct=x, dus 0=x-ct. Waarbij nul de lichtachtige ruimtetijd interval is. Ook wel (Eng.) null-like spacetime interval.

Bij 3 ruimtelijke dimensies wordt de null-like spacetime interval via de stelling van Pythagoras 0=SQRT(x^2 + y^2 + z^2 - ct^2).

Dat voor de lichtas x=ct dus c-xt=0 is wel duidelijk. dus dat het ruimteijd interval iets met een verschil moet zijn lijkt dan logisch als je ervan uitgaat dat een referentiestelsel wat vrijwel met c verplaatst tova een waarnemer voor die waarnemer de tijd in dat stelsel stil lijkt te staan . Maar waarom verschil van kwadraten? Dus er zit nog een gedachtensprongetje tussen volgens mij.

[Gast]

Ok. Maar daar is 0 dus de (lichtachtige) ruimtetijd interval. Dus 0=SQRT(x^2 - ct^2).

Dat is alles. Een ruimtetijd interval binnen een lichtkegel wordt zo dus positief (s^2>0) op de lijnen van de lichtkegel nul (s^2=0) en negatief bij een ruimtetijd interval wat buiten de lichtkegel valt (s^2<0).

Dus voor de rode lijnen (lichtachtige ruimtetijd interval) is het 0, voor 0-D (tijdachtige ruimtetijd interval) is het positief en voor 0-B (ruimteachtige ruimtetijd interval) negatief.

Zonder het minteken is alles positief.

Je zou kunnen zeggen dat de lichtkegel fundamenteler is dan de ct- en x-as.

[HansH]

x^2 - ct^2 is 0 op de lichtkegels en de overgang tussen positief en negatief is ook daar. Maar dat zelfde geldt toch ook voor x-ct ? dus er moet een goede reden zijn waarom we SQRT(x^2 + y^2 + z^2 - ct^2) nemen en niet bv
SQRT(x^2 + y^2 + z^2) - ct of in alleen x richting x-ct. Dat je voor de totale lengte SQRT(x^2 + y^2 + z^2) is geen enkele discussie over natuurlijk. Dus wat is die reden?

[flappelap]

Misschien helpt Süsskinds video,



vanaf 1:31:00.