Twee pieken of toch maar één?

[flappelap]

Huygens principe is domweg superpositie. Zolang je de 'backreaction' van de lichtstraal op de achtergrond negeert, gaat Huygens principe volgens mij gewoon op.

[OOOVincentOOO]

Dit zijn resultaten uit topic: Python en Jacobi. Deze kunnen helpen met de discussie omtrent the twee pieken.

Hieronder een filmpje met object diameter zon en toenemende massa volgens Jacobi Elliptic Schawrzschild geometry. Op een gegeven moment verandererd de deflectie hoek verdeling van "Gauss" (omgekeerd klok vormig) achtig naar "arcsine" distributie achtig (U vorm). Gedurende deze transitie ontstaan er kortstondig twee pieken.

Van mijn ervaring tot nu toe zou ik zeggen dat de twee pieken ontstaan afhankelijk welke benadering men neemt. In het integraal pad zou ik zeggen dat er oplossingen zijn met twee pieken met sommige benaderingen. Dus afhankelijk welke benadering men neemt betreffende de radius en massa.

Nu laat ik het misschien beter over aan anderen. Voorlopig ben ik voldaan met hetgeen ik geleerd heb. Excuses voor de vele plaatjes, maar dit is ten behoeve van discussie.

Wellicht is het beter de twee pieken discussie verder hier te vervolgen dan blijft het draadje: Python en Jacobi schoon.

[Professor Puntje]

Dank flappelap en Vincent. Dan ga ik er voorlopig vanuit dat Huygens' principe het probleem niet is, maar de toegepaste benaderingen mogelijk wel. Twee benaderingen die de twee pieken veroorzaakt zouden kunnen hebben zijn de bekeken positie van de lichtstraal (langs de lijn y=R_zon) en de richting van waaruit de afbuiging in infinitesimale stapjes wordt berekend (met startrichting voor ieder stapje steeds weer evenwijdig aan de x-as).

[HansH]

Twee benaderingen die de twee pieken veroorzaakt zouden kunnen hebben zijn de bekeken positie van de lichtstraal (langs de lijn y=R_zon) en de richting van waaruit de afbuiging in infinitesimale stapjes wordt berekend (met startrichting voor ieder stapje steeds weer evenwijdig aan de x-as).

Wat is nu de laatste niet benaderde formule in beide gevallen en wat is de oorsprong van beide formules, m.a.w: waarom 2 verschillende formules voor hetzelfde effect. (we hebben nu meerdere topics over hetzelfde dus voor mij heel lastig om de zaak nog op een rijtje te houden)

[OOOVincentOOO]

De lichtdeflektie animatie op basis Schwarzschild Jacobi Elliptic heb ik nog verbeterd. Wellicht kan dat helpen met de intuïtie:

Men kan duidelijk herkennen dat de Jacobi Elliptic een complexe functie is met veel "gedaanten" zie observaties hieronder.



Indien men benaderd neem je niet relevante factoren als constant aan. Dus vereenvoudigd men ook de Jacobi Elliptic waardoor de limieten correct zijn maar de stralengang niet. Als ik de functie \(y=(ax+1)/x^2\) dan gaat de limiet voor \(x \rightarrow \infty\) naar \(0\). Deze limiet is onafhankelijk van de constant \(a\).

Observaties:
Er zijn meerdere transities te herkennen:

• De "Gauss" verdeling veranderd. De buigpunten waar normaal "Standaard deviatie" zit worden positief in buiging [0:22]

• Verdeling begint te veranderen van concaaf naar convex [0:26]. Waarbij de verdeling van bol naar hol gaat.

• Verdeling splits op en veranderd langzaam in "x^2" parabool distributie [0:28]. Merk op lineaire verdeling Angular Deflection.

• Transitie storing: enkele frames is ruis te zien op de verdeling. Vanaf dit punt veranderd verdeling in "arcsin" distributie "U" vorm. [0:33]. Oorzaak ruis niet begrepen.

• Halve cirkel 180° op photon sphere (3 seconden frame bevroren). Enkelzijdige "arcsin". [0:35].

• Hele cirkel 360° afbuiging (3 seconden frame bevroren). Dubbelzijdige "arcsin". Dit is laatste frame, buiten deze zijn er geen oplossingen op basis van de methode.

[Professor Puntje]

@ HansH

Veel is deze kwestie is twijfelachtig, maar van één ding ben ik overtuigd: als al de verschillende manier om deze zaak te onderzoeken in één en hetzelfde topic hadden gestaan dan was het echt door niemand (en ook door mijzelf) niet meer te volgen geweest.

Kort samengevat:

De meest precieze aanpak staat in het topic: viewtopic.php?f=85&t=212427 De enige benaderingen die daarin nog voorkomen bestaan uit het gebruik dat van Python is gemaakt. Dat topic leidt tot één piek.

De aanpak op MathPages is het minst precies, en leidt tot twee pieken. Ik heb die MathPages afleiding met benaderingen in dit topic nog eens stapje voor stapje overgedaan, en vond toen ook twee pieken.

Recentelijk ben ik weer naar dit topic teruggekeerd en heb ik de eerder gegeven afleiding deels met minder benaderingen nog eens overgedaan. En daar kwamen opnieuw twee pieken uit. Wat mij nu nog interesseert is welke van de benaderingen die nu nog in de afleiding zitten er precies voor het verschijnen van die twee pieken verantwoordelijk zijn. Dat probeer ik op te helderen door met steeds preciezere afleidingen te komen. Dan zullen vermoedelijk op zeker moment die twee pieken verdwijnen en er slechts één piek overblijven. Zo wordt dan (hopelijk) duidelijk welke benadering voor die twee pieken verantwoordelijk geweest is.

[Professor Puntje]

@ OOOVincentOOO

Zie ik het goed dat je situaties simuleert die in de richting van een zwart gat gaan?

[Professor Puntje]

Laten we nu bekijken of de twee pieken nog steeds verschijnen als we de afbuigingsaanwas dφ/dx opnieuw berekenen waarbij we in plaats van de benadering y=R_zon voor de locatie van de ondervonden gravitatie de onderstaande betere benadering (17) nemen. De startrichting van waaruit de afbuiging in infinitesimale stapjes wordt berekend houden we nog wel net als op MathPages evenwijdig aan de x-as.

\(\)

\( y = \mathrm{R}_{zon} \cdot \left (2 - \sqrt{\mathrm{a}^2 x^2 +1} \right ) \,\,\, \mbox{met} \,\,\, \mathrm{a} = \frac{\tan(\Phi)}{2 \mathrm{R}_{zon}} \,\,\,\,\,\, (17) \)

Hierin is Φ de bekende totale lichtafbuiging. Voor het gemak schrijven we (17) ook wel als \( y = \mathrm{g}(x) \).

We zien dat:

\(\)

\( (y)_{x=0} = \mathrm{R}_{zon} \cdot \left (2 - \sqrt{\mathrm{a}^2 0^2 +1} \right ) \)

\(\)

\( (y)_{x=0} = \mathrm{R}_{zon} \cdot (2 - 1) \)

\(\)

\( (y)_{x=0} = \mathrm{R}_{zon} \,\,\,\,\,\, (18) \)

\(\)

\(\)

\( \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{y}{x} = \mathrm{R}_{zon} \cdot \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{2 - \sqrt{\mathrm{a}^2 x^2 +1} }{x} \)

\(\)

\( \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{y}{x} = \mathrm{R}_{zon} \cdot \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \left (\frac{2}{x} \mp \sqrt{\mathrm{a}^2 + \frac{1}{x^2}} \right ) \)

\(\)

\( \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{y}{x} = \mathrm{R}_{zon} \cdot \mp \sqrt{ \mathrm{a}^2 } \)

\(\)

\( \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{y}{x} = \mathrm{R}_{zon} \cdot \mp \mathrm{a} \)

\(\)

\( \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{y}{x} = \mp \mathrm{R}_{zon} \cdot \mathrm{a} \)

\(\)

\( \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{y}{x} = \mp \mathrm{R}_{zon} \cdot \frac{\tan(\Phi)}{2 \mathrm{R}_{zon}} \)

\(\)

\( \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{y}{x} = \mp \frac{\tan(\Phi)}{2} \,\,\,\,\,\, (19) \)

\(\)

Volgens (18) gaat de curve van y = g(x) door het punt (0,R_zon) en volgens (19) heeft zij ook de gewenste asymptoten.

[Professor Puntje]

Voor onze zon gebruiken we de Schwarzschild metriek:

Bron: https://hepweb.ucsd.edu/ph110b/110b_notes/node75.html

We hebben het over een lichtstraal in het xy-vlak dus ds = 0 en:
θ = 90º
dθ = 0

Bovendien schrijven we de azimut hoek φ wederom als α om verwarring met de afbuiging φ(x) te voorkomen. Dat geeft:

\( 0 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 \mathrm{d}t^2 + \frac{\mathrm{d}r^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + r^2 \mathrm{d}\alpha^2 \,\,\,\,\,\, (20) \)

[Professor Puntje]

Uit bovenstaand schetsje (figuur 1) zien we dat:

\(\)

\( dx^2 + dy^2 = r^2 d\alpha^2 + dr^2 \,\,\,\,\,\,\, (21) \)

[Professor Puntje]

Combinatie van (20) en (21) geeft:

\(\)

\( 0 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 dt^2 + \frac{dr^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + dx^2 + dy^2 - dr^2 \)

\(\)

\( 0 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 + \frac{d r^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + d x^2 + dy^2 - \frac{ d r^2 ( 1 - \frac{r_s}{r} )}{ 1 - \frac{r_s}{r} } \)

\(\)

\( 0 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 + \frac{\frac{r_s}{r} d r^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + d x^2 + dy^2 \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r})c^2d t^2 = \frac{\frac{r_s}{r} d r^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + d x^2 + dy^2 \,\,\,\,\,\,\, (22) \)

[Professor Puntje]

De startrichting van waaruit de afbuiging in infinitesimale stapjes wordt berekend houden we nog wel net als op MathPages evenwijdig aan de x-as.

Dit houdt in dat we voor iedere x de lichtsnelheid dx/dt langs de bijbehorende horizontale lijnen y=g(x) en y = g(x) + δ hebben te bepalen. De term δ is een klein hoogteverschil dat we later naar nul laten gaan bij de toepassing van Huygens' principe. Voor vaste waarden van x is y langs de lijnen y=g(x) en y = g(x) + δ constant en daar langs die lijnen hebben we dus ook dy=0.

Voor y is constant komt er:

\(\)

\( (dr)_{y=constant} = d \sqrt{x^2 + y^2} \)

\(\)

\( (dr)_{y=constant} = \frac{1}{2} (x^2 + y^2)^{-1/2} 2x dx \)

\(\)

\( (dr)_{y=constant} = \frac{x}{r} dx \)

\(\)

Toegepast op (22) levert dit:

\(\)

\((1 - \frac{r_s}{r}) c^2 d t^2 = \frac{\frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} d x^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + d x^2 \)

\(\)

\((1 - \frac{r_s}{r}) c^2 d t^2 = \left ( \frac{\frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} }{1 - \frac{r_s}{r} } + 1 \right ) d x^2 \)

\(\)

\((1 - \frac{r_s}{r})^2 c^2 d t^2 = \left ( \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} \right ) d x^2 \)

\(\)

\( \left ( \frac{d x^2}{d t^2} \right )_{y=constant} = \frac{(1 - \frac{r_s}{r})^2}{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \cdot c^2 \,\,\,\,\,\,\,\, (23) \)

[Professor Puntje]

Uit het bovenstaande plaatje (figuur 2) zien we dat voor de daar vermelde horizontale beginstukjes van lichtbanen (met y = constant) geldt dat:

\(\)

\( \mathrm{d} \varphi \approx \tan( \mathrm{d} \varphi ) \)

\(\)

\( \mathrm{d}\varphi \approx \frac{ \frac{\mathrm{d} x_{y=g(x)+\delta}}{\mathrm{d}t} \cdot \mathrm{d}t \, - \, \frac{\mathrm{d} x_{y=g(x)}}{\mathrm{d}t} \cdot \mathrm{d}t }{\delta} \)

\(\)

\( \mathrm{d}\varphi \approx \frac{ \frac{\mathrm{d} x_{y=g(x)+\delta}}{\mathrm{d}t} \, - \, \frac{\mathrm{d} x_{y=g(x)}}{\mathrm{d}t} }{\delta} \cdot \mathrm{d}t \)

\(\)

\( \mathrm{d}\varphi = \frac{\partial}{\partial y} \left ( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t} \right ) \cdot \mathrm{d}t \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\partial}{\partial y} \left ( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t} \right ) \cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\partial}{\partial y} \left ( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t} \right )}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\partial}{\partial y} \left ( \frac{\mathrm{d} x}{c \, \mathrm{d}t} \right ) }{\frac{\mathrm{d}x}{c \, \mathrm{d}t}} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\partial}{\partial y} \ln(\frac{\mathrm{d}x}{c \, \mathrm{d}t}) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\partial}{\partial y} \ln \left (\sqrt{\frac{\mathrm{d}x^2}{c^2 \mathrm{d}t^2}} \right ) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial y} \ln \left ( \frac{\mathrm{d}x^2}{c^2 \mathrm{d}t^2} \right ) \,\,\,\,\,\,\,\, (24) \)

\(\)

Let op: formule (24) geldt enkel voor de horizontale beginstukjes van lichtbanen als geschetst in figuur 2. De partiële differentiatie geschiedt (al dan niet indirect) door vergelijking van de kwadraten van de lichtsnelheden langs zulke horizontale beginstukjes van lichtbanen over de lijnen y=g(x) en y=g(x)+δ en deling door δ waarna de limiet voor δ nadert tot nul wordt genomen. De relatie y=g(x) die reeds zelf een buiging van de lichtstraal impliceert wordt bij die partiële differentiatie dus genegeerd. De partiële differentiatie behelst enkel de toepassing van Huygens' principe. Ook het effect van de reeds opgebouwde afbuiging φ(x) op de bewegingsrichting van de lichtstraal en daarmee op de verder aanwas van de afbuiging wordt dus hier net als op MathPages nog steeds verwaarloosd.

[Marko]

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \left ( \frac{1}{ 1 - \frac{r_s}{r} } \, - \, \frac{1}{2} \frac{- 3 \frac{x^2}{r^2} + 1 }{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \right ) \cdot r_s \frac{R}{r^3} \,\,\,\,\,\,\, (16) \)

\(\)

De vraag is nu wat voor curve dit oplevert voor R = R_zon en r = √(x² + R_zon²). Zitten ook hier die twee pieken al in...?.

Ik weet niet of het het gevolg is van het proberen te omzeilen van benaderingen, maar er staan in deze vergelijking een hoop termen die zonder meer verwaarloosd kunenn worden zonder dat het gevolgen heeft voor het kunnen beantwoorden van de vraag (1 of 2 pieken)

Gezien r_s klein is ten opzichte van R_zon en dus ten opzichte van r kan de eerste term tussen de haken in ieder geval weg. En gezien x²/r² altijd kleiner is dan 1 vallen alle termen anders dan 1 ook weg uit de noemer.

Door het weglaten van deze termen kunnen er nooit extra pieken of dalen bij komen.

Volgens mij wordt het dan:

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} ( - 3\frac{x^2}{r^2} + 1 ) \cdot r_s \frac{R}{r^3}\)

Vervolgens is het een kwestie van overal r^{2 vervangen door} x²+R_zon², de afgeleide naar x uitwerken en dan daar kijken hoeveel nulpunten er verwacht mogen worden.

[Professor Puntje]

@ Marko

Voor (16) hebben we met simulaties al vastgesteld dat daar nog twee pieken in zitten. Dit bevestigt je bewering dat de benaderingen die je noemt en die ik in mijn afleiding van (16) wist te omzeilen niet de oorzaak van het verschijnen van de twee pieken zijn.

Maar ik ben door de hele piekenkwestie erg huiverig geworden voor benaderingen dus die probeer ik hier ook zo veel mogelijk te omzeilen, zelfs als ze er op het eerste gezicht onschuldig uitzien.