Twee pieken of toch maar één?

[Professor Puntje]

Daarmee is de afleiding voltooid. Een computer plot zal nu moeten uitwijzen of de twee pieken stand houden...

[Professor Puntje]

Een provisorisch Python progje levert:

Misschien kan iemand anders dat nog verifiëren? Mijn voorlopige conclusie: de op MathPages toegepaste benaderingen zijn legitiem en op zichzelf niet verantwoordelijk voor het optreden van de twee pieken.

Wat wel verantwoordelijk zou kunnen zijn is het rekenen in een pseudo-cartesiaans xy-stelsel zoals we dat hier gedaan hebben. De euclidische meetkunde gaat in een door gravitatie gekromde ruimtetijd immers niet meer precies op. Maar in het pseudo-cartesiaanse xy-vlak deden we net alsof dat wel zo is. Ver weg van de gravitatiebron kun je dat doen, maar dichtbij zal dat (vermoedelijk) gaan wringen.

Verder onderzoek stel ik uit tot ik de de ART ook op basis van tensoren kan toepassen, want anders valt het voor mij (op basis van mijn huis-tuin-en-keuken-wiskunde) zo niet meer te behappen.

[flappelap]

Volgens mij zijn die coördinaten prima legitiem. Je gebruikt in de Schwarzschild achtergrond toch ook vaak bolcoordinaten?

[Professor Puntje]

Dan blijft het probleem dat we via de exacte oplossing met de elliptische functie voor datzelfde xy-vlak maar één piek vonden. Dat kan in een zelfde pseudo-cartesiaans xy-stelsel - lijkt mij - niet allebei correct zijn...

[OOOVincentOOO]

Op grond van (17) zien we nog dat:

\(\)

\( \mathrm{g}(x) = \mathrm{R}_{zon} \cdot \left (2 - \sqrt{\mathrm{a}^2 x^2 +1} \right ) \,\,\, \mbox{met} \,\,\, \mathrm{a} = \frac{\tan(\Phi)}{2 \mathrm{R}_{zon}} \)

\(\)

...

\( \mathrm{g}'(x) = - \mathrm{R}_{zon} \cdot \frac{ \mathrm{a}^2 x }{\sqrt{ \mathrm{a}^2 x^2 +1 }} \,\,\,\,\, (38) \)

Erg verwonderlijk de term \(2 \mathrm{R_{sun}}\). Bij de Jacobi Elliptic ontstaan de twee pieken vanaf: \(2 \mathrm{R_{Schwardzschild}}\) [0:38]. Lijkt mij meer dan toeval.

[Professor Puntje]

Formule (17) heb ik zelf in elkaar gezet als alternatief voor de MathPages benadering die de aanwas van de lichtafbuiging bekijkt alsof die voor ieder stukje afbuiging weer in horizontale richting start vanaf de lijn y=R_zon. De factor 2 in formule (17) staat daar om de richting vanwaar het licht volgens die formule vanuit het oneindige komt aanvliegen en de richting waarin het licht volgens die formule weer naar het oneindige wegvliegt in overeenstemming te brengen met de bekende waarde. Ik zou daar verder niet al te veel achter zoeken.

[Marko]

Mogelijk is er iets met vergelijking (3) aan de hand. De berekening van dx² via de stelling van Pythagoras verwaarloost een klein stukje dat volgens mij gelijk moet zijn aan \(r(1-\sqrt{1-da^2})\). Zie onderstaande figuur

Voor kleine hoeken α gaat deze benadering zeker op, maar naarmate α dichter tot 90° nadert wordt de relatieve fout groter.

Wat het uiteindelijke effect hiervan is weet ik niet.

[Professor Puntje]

Ik begrijp je plaatje niet helemaal. Is dit de bedoeling?

Maar dan staat dr verkeerd aangegeven.

[Marko]

De cirkel stelt niet per se de zon voor, maar dat wat er gebeurt als over een hoek dα verdraait, als je de lijn y=R volgt.

Het is een cirkel met straal r. In feite is hier de situatie getoond voor α=90, dus r=R

Dus je begint op het punt (0,R) en na het verdraaien over een hoek dα zit je in (0+dx, R). De afstand tot het middelpunt is dan r+dr, en dr is het stukje vanaf de cirkel tot aan de lijn y=R.

Voor de Pythagoras-berekening moet je een lijn trekken onder een hoek (90-dα). Die lijn valt per definitie binnen de cirkel met straal r, en de afstand die je voor de Pythagoras-berekening moet gebruiken is dus per definitie groter dan dr.

Het verschil is niet groot, alleen is dr voor a≈90° ook niet groot, dus de afwijking (voor de berekende waarde van dx) wordt daar wel significant.

Hierbij een nieuwe figuur met wat extra aanduidingen. Hopelijk verduidelijkt dat het verhaal.

[Professor Puntje]

Dank voor de toelichting. Ik kom er morgen op terug.

[Professor Puntje]

Ik ben het niet helemaal eens met je toelichting:

1. r is de voerstraal van een lichtdeeltje (foton) uit de lichtstraal. Het punt van waaruit r naar het lichtdeeltje wordt getrokken is het centrum van de zon. De cirkel valt in de getekende situatie noodzakelijk samen met de rand van de zon. Dus je tekening heeft enkel betrekking op het gebiedje waar de lichtstraal de zon passeert.

2. dr is een differentiaal en die is enkel in speciale gevallen precies gelijk aan de werkelijke verandering Δr. Het is dus nog maar de vraag of dr in je tekening wel op de juiste plaats staat.

Maar er zou hier inderdaad een probleem kunnen zijn. En omdat dat precies optreedt waar de lichtstraal de zon passeert is dat mogelijk ook relevant voor de pieken kwestie. Ik zal nog eens natrekken waar die dr in de tekening precies hoort te staan.

[Professor Puntje]

\( r^2 = x^2 + R^2 \)

\(\)

\( 2 r dr = 2 x dx + 0 \)

\(\)

\( r dr = x dx \)

\(\)

\( dr = \frac{x}{r} dx \)

\(\)

\( dr = \sin (d \alpha) \, dx \)

\(\)

In het plaatje:

Het vreemde van deze specifieke situatie is dat we hier x = dx hebben. Of dat kwaad kan weet ik niet. Ik denk het niet, maar op het laatst ga je overal aan twijfelen....

[Marko]

Ik ben het niet helemaal eens met je toelichting:

1. r is de voerstraal van een lichtdeeltje (foton) uit de lichtstraal. Het punt van waaruit r naar het lichtdeeltje wordt getrokken is het centrum van de zon. De cirkel valt in de getekende situatie noodzakelijk samen met de rand van de zon. Dus je tekening heeft enkel betrekking op het gebiedje waar de lichtstraal de zon passeert.

Ja en nee. De specifieke tekening geldt inderdaad alleen voor dat punt waar de lichtstraal de zon passeert. Maar het effect geldt ook voor andere posities en andere hoeken α. Alleen is het effect dat minder groot. Ik wilde de situatie tekenen waar het effect het grootst was, maar zo werd het wel verwarrend.

De cirkel die ik tekende was niet bedoeld als zon maar alleen bedoeld als hulpmiddel. Hij was om 2 keer een afstand r uit te kunnen zetten. Maar ik denk dat het duidelijker is door alleen een cirkelsegment te gebruiken, zie onderstaande plaatjes.

Waar het mij om gaat: in de afleiding voor vergelijking (3) trek je een nieuwe lijn met een hoek α+dα en een loodlijn daarop vanuit (x,R), zodat je de stelling van Pythagoras kunt gebruiken. Maar het stuk tussen het middelpunt van de zon en het snijpunt van de nieuwe lijn met die loodlijn is niet gelijk aan r, maar iets korter. En de afstand tot aan het snijpunt van die nieuwe lijn met de lijn y=R (dus het punt x+dx,R) is dan ook niet gelijk aan r+dr.

De afwijking is voor de meeste hoeken verwaarloosbaar klein. Maar voor kleine waardes van x niet meer.

eq3 III.png (10.8 KiB) 565 keer bekeken

[Professor Puntje]

Ik vind dat niet overtuigend. Je verwart in je tekeningen nog steeds de differentiaal dr met de werkelijke verandering Δr. Dat zijn echter (meestal) verschillende dingen. Zie ook mijn punt 2. Inmiddels heb ik ook een bewijs gegeven waar dr bij het passeren van de zon (waar volgens jou de fout het grootst is) gevonden wordt.

[Marko]

In dat geval begrijp ik de tekening die ten grondslag ligt aan vergelijking (3) niet.
Waarom mag je daar wel differentialen gebruiken? Of anders gezegd: wat is daar precies de betekenis van dr, dx en dα?

Zoals ik de tekening interpreteer moet een van onderstaande dingen waar zijn:

- Voor het punt (x+dx, y+dy) geldt niet dat het overeenkomt met (r+dr, α+dα)
- Of de hoek die daar getekend is, is geen rechte hoek.
- Of het lijnelementje met lengte rdα is geen lijnelement maar een cirkelsegment.

Klopt dat?

Verder kan ik het bewijs en de tekening die je voor deze specifieke situatie maakte niet goed volgen. Het gaat om de situatie dat de lichtstraal precies langs de zon gaat, dus x=0 toch? Ik ben in de war met de x en r die getekend staan.