afbuiging licht rond zware objecten via grondbeginselen relativiteitstheorie

[flappelap]

Ik dacht dat je formule (2) niet vertrouwde, die probeer ik te bewijzen.

nee het ging om de formule c(r) die daar blijkbaar uit volgt.
die formule vertrouw ik niet omdat er nog een x in voorkomt terwijl c(r) geen x mag bevatten.

Natuurlijk wel. Er geldt immers

\(
r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
\)

Dus c(r) bevat impliciet x. Normaal zie je dat niet, omdat we ons vaak richten op deeltjes of lichtstralen die in radiële richting bewegen, maar bij afbuiging van licht moeten we wel richtingen beschouwen die niet alleen radiëel zijn. Als je lichtstralen wilt doorrekenen in de x-richting, dan zul je de coördinatensnelheid dx/dt van zo'n lichtstraal in de x-richting moeten nemen.

[HansH]

Ik zou graag deze berekening wat vollediger willen doen in een eigen set aantekeningen, maar gezien een baby en een schooljaar dat in alle hevigheid is losgebarsten kom ik daar niet aan toe. Ik zal daarom alleen wat toelichting geven bij

Allereerst super dat je toch nog wat tijd vindt om hiernaar te kijken.Om hiermee verder te komen hebben we inzich nodig van iemand die het voldoende snapt. Hoop dat alles thuis verder goed gaat met moeder en kind.

mbt de inhoud.
Wat je hier aangeeft is eigenlijk ook precies de richting die ik als meest waarschijnlijk had aangenomen.
grr=-1/gtt dus als je dat invult krijg je de formule c(r) die ik in een van de varianten heb gebruikt. Wat ik in mathcad doe is die c(r) differentieren in y richting en dan integreren over de x richting net zoals ze dat in het artikel doen. Ik kom dan op de dubbele buiging tov Newton voor alle delen van het lichtpad, maar 1 piek op minimale afstand van de zon zoals ook logisch lijkt. dus geen dubbele pieken maar wel de juiste afbuiging,

Dat is dus anders dan in het artikel en bevestigt mijn vermoeden dat er een fout zat in de formule c(r) in het artikel omdat er een x inzat waarvan ik de herkomst niet kon verklaren.
Ik zal proberen de zaak nog een keer samen te vatten voor het overzicht, maar belangrijkste is dat we het op dit punt eerst met zijn allen eens moeten zijn over. Je zegt alle vertrouwen te hebben dat de berekeningen in het artikel kloppen, maar op basis van wat je nu zegt kan c(r) in het artikel niet kloppen.

[HansH]

Als je nu lichtstralen bekijkt die in radiële richting bewegen, dus met constante hoeken phi en theta, dan worden die, analoog aan hierboven, beschreven door null-curves

\(
ds^2 = -(1-\frac{2GM}{r c^2})c^2 dt^2 + (1-\frac{2GM}{r c^2})^{-1} dr^2 = 0 \rightarrow (1-\frac{2GM}{r c^2})c^2 dt^2 = (1-\frac{2GM}{r c^2})^{-1} dr^2
\)

De coördinatensnelheid dr/dt van deze lichtstraal kun je hieruit oplossen:

\(
\frac{dr}{dt} = \pm (1-\frac{2GM}{r c^2}) c
\)

Deze coordinatensnelheid kun je c(r) noemen: de lichtsnelheid op afstand r van de oorsprong, zoals gemeten door een buitenstaander. Laten we even uitgaande lichtstralen nemen, dus het plus-teken. Dan kunnen we deze c(r) ook domweg schrijven als de verhouding tussen de metriek componenten

\(
\frac{dr}{dt} = \sqrt{-\frac{g_{tt}}{g_{rr}}}
\)

begrijp ik het nu goed dat bovenstaande formule alleen geldt voor radiale lichtstralen en dat je voor overige lichtstralen (dus in x richting waar wij hwet over hebben) nog moet omrekenen zoals je hieronder aangeeft en dus de formule
\(
\frac{dr}{dt} = \sqrt{-\frac{g_{tt}}{g_{rr}}}
\) niet meer geldt voor lichtstralen die niet radiaal lopwen?
?

Vervolgens beschouwt het artikel een lichtstraal die langs de zon scheert, zoals in de figuur ("as depicted in the figure below".). Wij hebben dan de coördinatensnelheid van de lichtstraal uitgerekend als dr/dt, maar de lichtstraal in onze berekening beweegt zich nu in het {xy}-vlak (z=0). Daarvoor moeten we een nare berekening doen (die ik ooit heb gedaan, en niet nog es ga doen): we moeten de tensorcomponenten van de Schwarzschildmetriek in bolcoördinaten omrekenen naar die Cartesische coördinaten. Wel, de berekening geeft het antwoord in formule (2). In het bijzonder kun je het volgende uitrekenen (dit is simpelweg de transformatiewet voor tensoren):

\(
g_{xx} = \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial r}{\partial x} g_{rr} + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial \theta}{\partial x} g_{\theta\theta} + \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial x} g_{\phi\phi}
\)

komt hier de x term erbij waar nu de discussie over is ivm de dubbele pieken?

Het resultaat daarvan is blijkbaar te schrijven als de formule die volgt op "with varying spatial coefficients. In particular, we have". Aangezien je voor de berekening middels Huygens principe de snelheid

\(
c(x) = \frac{dx}{dt} = \sqrt{-\frac{g_{tt}}{g_{xx}}}
\)

nodig hebt (die de auteur c(r) noemt, maar hey, r(x) is immers weer een functie van x), wordt het resultaat de formule na "Therefore, the speed of light (along this path) is actually given by..." waarbij er nog een Taylor benadering wordt gemaakt. Dat is volledig terecht: de Schwarzschildstraal van de zon is immers zo'n 3 km, terwijl de daadwerkelijke straal zo'n 700.000 km is, dus

\(
\frac{2GM}{r c^2} \approx 4 \times 10^{-6}
\)

Daarna wordt het principe van Huygens toegepast, maar daar ging het verder volgens mij niet om.

Hier wordt het voor mij vaag; je zegt dat je nog stweeds de formule
\(
c(x) = \frac{dx}{dt} = \sqrt{-\frac{g_{tt}}{g_{xx}}}
\)
gebruikt, maar daar staat geen x in en vor mij nu onduidelijk of je die alleen voor radiale lichtstralen mag gebruiken of voor alle lichtstralen.

[flappelap]

Ik zou graag deze berekening wat vollediger willen doen in een eigen set aantekeningen, maar gezien een baby en een schooljaar dat in alle hevigheid is losgebarsten kom ik daar niet aan toe. Ik zal daarom alleen wat toelichting geven bij

Allereerst super dat je toch nog wat tijd vindt om hiernaar te kijken.Om hiermee verder te komen hebben we inzich nodig van iemand die het voldoende snapt. Hoop dat alles thuis verder goed gaat met moeder en kind.

mbt de inhoud.
Wat je hier aangeeft is eigenlijk ook precies de richting die ik als meest waarschijnlijk had aangenomen.
grr=-1/gtt dus als je dat invult krijg je de formule c(r) die ik in een van de varianten heb gebruikt. Wat ik in mathcad doe is die c(r) differentieren in y richting en dan integreren over de x richting net zoals ze dat in het artikel doen. Ik kom dan op de dubbele buiging tov Newton voor alle delen van het lichtpad, maar 1 piek op minimale afstand van de zon zoals ook logisch lijkt. dus geen dubbele pieken maar wel de juiste afbuiging,

Dat is dus anders dan in het artikel en bevestigt mijn vermoeden dat er een fout zat in de formule c(r) in het artikel omdat er een x inzat waarvan ik de herkomst niet kon verklaren.
Ik zal proberen de zaak nog een keer samen te vatten voor het overzicht, maar belangrijkste is dat we het op dit punt eerst met zijn allen eens moeten zijn over. Je zegt alle vertrouwen te hebben dat de berekeningen in het artikel kloppen, maar op basis van wat je nu zegt kan c(r) in het artikel niet kloppen.

Ja hoor, alles gaat goed, 't is alleen wat druk, ook omdat ik nog een tweede boek aan het afronden ben

Met betrekking tot (de precieze betekenis van) die grafiek van de afbuiging, daar zou ik beter naar moeten kijken. Het zou me verbazen als de uitdrukking c(r) na na de opmerking "Therefore, the speed of light (along this path) is actually given, to the first order in the small quantities m/r, by the expression" niet klopt, omdat het een vrij rechttoe-rechtaan berekening is. Ik zou deze uitdrukking alleen schrijven als c(x) in plaats van c(r), maar dat is een detail; de combinatie \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) komt ook in \(g_{xx}\) voor, dus ik kan me voorstellen dat de auteur deze combinatie gewoon weer r noemt en het zo schrijft.

Nog een zij-opmerking: de metrische conditie

grr=-1/gtt

wordt opgelegd vanwege de (bol en tijds)symmetrie van de Schwarzschild-oplossing. Voor meer algemene metrieken zal dit niet meer gelden. Maar daar gaan we denk ik maar niet aan rekenen

[HansH]

Hier wordt het voor mij vaag; je zegt dat je nog stweeds de formule
\(
c(x) = \frac{dx}{dt} = \sqrt{-\frac{g_{tt}}{g_{xx}}}
\)
gebruikt, maar daar staat geen x in en vor mij nu onduidelijk of je die alleen voor radiale lichtstralen mag gebruiken of voor alle lichtstralen.

Ik zie nu pas dat er 2 verschillende dingen staan gxx en grr. blijkbaar nog een sterkere leesbril nodig of een groter scherm.
kunnen we dan concluderen dat er een x term in c(r) komt zodra je lichtstralen niet meer radiaal stuurt maar in x richting?

[flappelap]

begrijp ik het nu goed dat bovenstaande formule alleen geldt voor radiale lichtstralen

Ja, want ik stel de hoeken constant, oftewel \(d\theta=d\phi = 0\). Zo'n uitdrukking geeft ons dr/dt in de r-richting. Als jij bijvoorbeeld de coordinatensnelheid daarentegen in de x- en y-richting wilt weten (dus in het {xy}-vlak) waarbij z= constant en dus \(dz = 0\), dan nemen we het interval voor licht (voor een diagonale metriek)

\( ds^2 = g_{tt}dt^2 + g_{xx}dx^2 + g_{yy}dy^2 + g_{zz}dz^2 = g_{tt}dt^2 + g_{xx}dx^2 + g_{yy}dy^2 \)

zetten we dit op nul (want: licht volgt nullcurven),

\( g_{tt}dt^2 + g_{xx}dx^2 + g_{yy}dy^2 = 0 \)

en los je op voor de snelheid in het {xy}-vlak,

\( c(x,y,z) = \pm\sqrt{\frac{dx^2 + dy^2}{dt^2}} = c(g_{tt},g_{xx}, g_{yy}) \)

De componenten \(g_{tt}, g_{xx}, g_{yy}\) hangen alledrie van de coördinaten (x,y,z) af, en vanwege de bolsymmetrie zullen deze coördinaten ook dikwijls voorkomen in de combinatie die we r noemen.

Een simpele formule in termen van de metrische componenten wordt echter zo al snel doffe ellende.

[flappelap]

Hier wordt het voor mij vaag; je zegt dat je nog stweeds de formule
\(
c(x) = \frac{dx}{dt} = \sqrt{-\frac{g_{tt}}{g_{xx}}}
\)
gebruikt, maar daar staat geen x in en vor mij nu onduidelijk of je die alleen voor radiale lichtstralen mag gebruiken of voor alle lichtstralen.

Ik zie nu pas dat er 2 verschillende dingen staan gxx en grr. blijkbaar nog een sterkere leesbril nodig of een groter scherm.
kunnen we dan concluderen dat er een x term in c(r) komt zodra je lichtstralen niet meer radiaal stuurt maar in x richting?

Als je wilt weten hoe de snelheid van die lichstraal in de x-richting is wel. En dat willen we.

Wat dat betreft is die c(r) notatie verwarrend. Ik zou het gewoon c(x) noemen. Hij zegt ook "Therefore, the speed of light (along this path)". Dat tussen haakjes is belangrijk.

[flappelap]

...maar daar staat geen x in en vor mij nu onduidelijk of je die alleen voor radiale lichtstralen mag gebruiken of voor alle lichtstralen.

De metrische componenten zullen van x afhangen, dus daar staat impliciet een x in. Vul de gegeven componenten uit die mathpages maar in.

[flappelap]

Ik ga nu weer ff terug naar werk&gezin, dus succes voor nu

[HansH]

Ik ga nu weer ff terug naar werk&gezin, dus succes voor nu

ok bedankt. dit is voldoende input om deze discussie in de goede richting te houden volgens mij. dus de x afhankelijkheid is wel degelijk een onderdeel. nu dus iets beter te volgen waarom.

[Professor Puntje]

Zou het niet handig zijn om een "rapportje" te maken van wat je nu precies gedaan hebt en wat je je nu nog precies afvraagt/wilt weten/wilt leren?

En dan in verschillende topics vragen stellen.

Umm. Maar voor nu vraag je je enkel af of een bepaalde formule van die mathpages website klopt?

Inderdaad - dit topic moet hoognodig opgesplitst worden in een aantal kleinere losse topics over deelvragen.

[HansH]

20 pagina's samenvatten plus de grilligheden kost veel tijd, dus zal niet a la minute geregeld zijn, maar ik zal een start maken op hoofdlijnen.

[Professor Puntje]

Ik ben zelf voor het bewijzen van formule (2) al een eigen topic begonnen.

[Professor Puntje]

Twijfel je nu formule (2) is bewezen nog steeds aan de twee pieken? En zo ja - wat wil je dan nog meer bewezen zien?

[HansH]

Zo mooi zijn als we stap voor stap via formule 2 tot de formule c(r) kunnen komen. in c(r) zit nl alle info mbt die 2 pieken.
met name hoe je vanaf formule (2) komt tot de x in formule c(r)

c=fr.gif (2.15 KiB) 686 keer bekeken