Een fotonruststelsel m.b.v. infinitesimalen?

[Marko]

Dat zal zijn redenen hebben.

[Professor Puntje]

Ik las net dat de baan van een foton in een gravitatieveld wordt berekend door de baan van een ponderabel deeltje te berekenen en dan te zien waartoe die baan nadert wanneer we de massa van dat deeltje tot nul laten naderen. Dat komt toch aardig in de buurt van een foton met infinitesimale massa...

Het boek Exploring Black Holes (1ste editie) (p. 5-8) gebruikt de onderstaande vier vergelijkingen in geometrische eenheden voor de baan van een deeltje met massa m > 0 en impact parameter b dat zich beweegt onder invloed van een niet-roterend en ongeladen zwart gat met massa M:

\(\)

\( (\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \tau})^2 = (\frac{E}{m})^2 - (1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r} ) \left [ 1 + \frac{(\frac{L}{\mathrm{m}})^2 }{r^2} \right ] \,\,\,\,\,\, (1) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} \tau} = \frac{\frac{L}{\mathrm{m}}}{ r^2 } \,\,\,\,\,\, (2) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d} \tau}{\mathrm{d} t} = \frac{1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r}}{ \frac{ E }{ \mathrm{m} }} \,\,\,\,\,\, (3) \)

\(\)

\( b = \frac{ L }{ \sqrt{E^2 - \mathrm{m}^2 }} \,\,\,\,\,\, (4) \)

\(\)

Uitgaande van bovenstaande vergelijkingen worden in het boek formules voor \( \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} \) en \( r \frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} t} \) voor een massaloos deeltje (zoals een foton) gevonden door onderweg in de afleiding enkele limieten voor m -> 0 te nemen. Ik ben benieuwd of we het zelfde resultaat als in het boek kunnen vinden op basis van een infinitesimale massa m = ξ .

[Professor Puntje]

Op basis van (1), (3), (4) en \( m = \xi \, \) vinden we:

\(\)

\( ( \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} )^2 = ( \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \tau} )^2 ( \frac{\mathrm{d} \tau}{\mathrm{d} t} )^2 \)

\(\)

\( ( \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} )^2 = \left \{ (\frac{E}{m})^2 - (1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r} ) \left [ 1 + \frac{(\frac{L}{\mathrm{m}})^2 }{r^2} \right ] \right \} \left ( \frac{1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r}}{ \frac{ E }{ \mathrm{m} }} \right )^2 \)

\(\)

\( ( \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} )^2 = \left ( 1 - \frac{1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r} }{ (\frac{E}{\mathrm{m}})^2 } \left [ 1 + \frac{(\frac{L}{\mathrm{m}})^2 }{r^2} \right ] \right ) ( 1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r})^2 \)

\(\)

\( ( \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} )^2 = \left ( 1 - \frac{1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r} }{ (\frac{E}{m})^2 } \frac{r^2 + (\frac{L}{\mathrm{m}})^2 }{r^2} \right ) ( 1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r})^2 \)

\(\)

\( ( \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} )^2 = \left ( 1 - \frac{1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r} }{ r^2} \frac{r^2 + (\frac{L}{\mathrm{m}})^2 }{(\frac{E}{m})^2} \right ) ( 1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r})^2 \)

\(\)

\( ( \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} )^2 = \left ( 1 - \frac{1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r} }{ r^2} \frac{r^2 \mathrm{m}^2 + L^2 }{E^2} \right ) ( 1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r})^2 \)

\(\)

\( ( \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} )^2 = \left ( 1 - \frac{1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r} }{ r^2} \frac{r^2 \xi^2 + L^2 }{E^2} \right ) ( 1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r})^2 \)

\(\)

\( ( \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} )^2 \approx \left ( 1 - \frac{1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r} }{ r^2} \frac{L^2 }{E^2} \right ) ( 1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r})^2 \)

\(\)

\( ( \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} )^2 \approx \left ( 1 - \frac{1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r} }{ r^2} \frac{L^2 }{E^2 - \xi^2} \right ) ( 1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r})^2 \)

\(\)

\( ( \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} )^2 \approx \left ( 1 - \frac{1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r} }{ r^2} \frac{L^2 }{E^2 - \mathrm{m}^2} \right ) ( 1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r})^2 \)

\(\)

\( ( \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} )^2 \approx \left ( 1 - \frac{1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r} }{ r^2} b^2 \right ) ( 1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r})^2 \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} \approx \pm ( 1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r}) \sqrt{1 - \frac{1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r} }{ r^2} b^2 } \)

\(\)

Aangezien dit antwoord hoogstens infinitesimaal veel van het reële antwoord kan afwijken en de gevonden uitdrukking geen infinitesimalen meer bevat, moet dat het reële antwoord zelf zijn. Dus:

\(\)

\( \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} = \pm ( 1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r}) \sqrt{1 - \frac{1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r} }{ r^2} b^2 } \,\,\,\,\,\,\,\,\, (5) \)

[Professor Puntje]

Verder vinden we uit (2), (3), (4) en \( m = \xi \, \) dat:

\(\)

\( ( \frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} t} )^2 = ( \frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} \tau} )^2 ( \frac{\mathrm{d} \tau}{\mathrm{d} t} )^2 \)

\(\)

\( ( \frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} t} )^2 = \left ( \frac{\frac{L}{\mathrm{m}}}{ r^2 } \right )^2 \left ( \frac{1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r}}{ \frac{ E }{ \mathrm{m} }} \right )^2 \)

\(\)

\( ( \frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} t} )^2 = \left (\frac{L}{ r^2 } \right )^2 \left ( \frac{1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r}}{ E} \right )^2 \)

\(\)

\( ( \frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} t} )^2 = \left (\frac{L}{ E } \right )^2 \left ( \frac{1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r}}{ r^2 } \right )^2 \)

\(\)

\( ( \frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} t} )^2 \approx \frac{L^2}{ E^2 - \xi^2} \left ( \frac{1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r}}{ r^2 } \right )^2 \)

\(\)

\( ( \frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} t} )^2 \approx \frac{L^2}{ E^2 - m^2} \left ( \frac{1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r}}{ r^2 } \right )^2 \)

\(\)

\( ( \frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} t} )^2 \approx b^2 \left ( \frac{1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r}}{ r^2 } \right )^2 \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} t} \approx \pm b \left ( \frac{1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r}}{ r^2 } \right ) \)

\(\)

\( r \frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} t} \approx \pm b \left ( \frac{1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r}}{ r } \right ) \)

\(\)

Ook nu geldt dat dit antwoord hoogstens infinitesimaal veel van het reële antwoord kan afwijken en dat de gevonden uitdrukking geen infinitesimalen meer bevat, dus moet ook dit antwoord het reële antwoord zelf zijn. Zodat:

\(\)

\( r \frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} t} = \pm b \left ( \frac{1 - \frac{2 \mathrm{M}}{r}}{ r } \right ) \,\,\,\,\,\,\,\,\, (6) \)

\(\)

De hier gevonden formules (5) en (6) stemmen overeen met het boek.