Oefening speciale relativiteits theorie

Moderator: physicalattraction

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 806

Oefening speciale relativiteits theorie

Voor ik de oefening uitleg graag een paar opmerkingen over wat voor discussie ik wil voeren want ik weet hoe snel mensen hier afwijken. Het gaat hier puur over wat er gebeurt binnen de SRT. Heb je bedenkingen of ideeën wat er gebeurt als je er QM of de ART er bij haalt start dan een nieuw topic en bespreek gravitationele en quantum effecten ergens anders. Het onderwerp is al controversieel genoeg dus ook liever geen opmerkingen van praktische aard zoals materialen die niet sterk genoeg kunnen zijn, onrealistische snelheden enz... .
Ook filosofie over de aard van observatie, dingen als "wat is weten" laat ik liever achterwege. De bedoeling is het vraagstuk echt op te lossen en een berekening/kwantitatief resultaat te tonen. Vragen over de oefening zelf, gegevens die niet duidelijk zijn zal ik graag beantwoorden maar begin liever niet zelf aanpassingen te doen omdat het je beter uitkomt. Wil je een variant van deze oefening bespreken dan wil ik dat graag met je doen in een nieuw topic waar jij eerst duidelijk de nieuwe oefening uitlegt.
__________________________________
Nu beleefdheden uit de weg zijn, even een paar begrippen expliciet vermelden waar misschien niet iedereen mee bekent is.

"Boosts": een boost is een plotse versnelling, de versnelling is instantaan en duurt nul seconden. Dit is uiteraard onrealistisch maar het is wel een nuttig limiet geval. De reden dat ik met boosts wil werken is dat er heel wat mensen op dit forum akelige gevoelens krijgen wanneer ze een versnelling tegen komen in de SRT. Zoals vaak vermeld zijn versnellingen in de SRT geen probleem maar ze zijn wel niet eenvoudig en er zijn een heleboel andere paradoxen te vinden die versnellingen in de SRT behandelen. De vreemde effecten van versnellingen zelf wil ik uit deze oefening houden vandaar dat we een boost gaan gebruiken. Als een waarnemer in een referentie frame een boost ondergaat op t=0 van Vx dan wil dat zeggen dat die waarnemer op tijdstip nul instantaan een snelheid Vx krijgt.

"Proper length": eigen lengte is de vertaling geloof ik. Dit is gelijkaardig als eigentijd, het is de lengte van een object gemeten in het referentiestelsel van dat zelfde object. Het heeft dus geen zin om over tijdsdilatie van eigentijd of lengte contractie van eigen lengte te spreken want deze grootheid is per definitie invariant.

De lorentz factor nog even expliciet uitschrijven:
\(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\)
__________________________________
De oefening:
t<0
Twee auto's op een rechte baan (x-as) staan stil voor tijden t<0.
Op t=0 krijgen ze beide gelijktijdig een boost B=+Vx. De coordinaten van deze boost zijn gegeven van uit referentie stelsel A (stilstaande voetganger). A geeft het startsignaal voor de boost, de boost is ook identiek voor beide auto's.
srt oefening 1.png
srt oefening 1.png (4.79 KiB) 1301 keer bekeken

t>0
De auto's rijden nu beide met een snelheid +Vx op de baan(x-as) tot in de eeuwigheid.
srt oefening 2.png
srt oefening 2.png (5.26 KiB) 1301 keer bekeken
\(l=\)Eigen lengte auto, beide auto's zijn identiek.
\(l_{A,t<0}=x2-x1 \)
Dit wil zeggen de auto lengte gezien door observer A voor tijdstippen voor 0. Ik hoop dat deze notatie duidelijk is, ik ga niet alle combinaties afgaan. Omdat voor t<0 B en A stilstaan tegenover elkaar geld:
\(l_{A,t<0}=l\)
We definieren de afstand "d" als volgt:
\(d=d_{A,t<0}=x3-x2\)
De vraag is nu wat is de waarde van deze 2 afstands-verhoudingen:
\(\frac{l_{A,t>0}}{d_{A,t>0}}=?\)
\(\frac{l_{B,t>0}}{d_{B,t>0}}=?\)


Mijn antwoord voor observer A:
\(\frac{l_{A,t>0}}{d_{A,t>0}}=\frac{\gamma l}{d}\)
En voor observer B:
\(\frac{l_{B,t>0}}{d_{B,t>0}}=\frac{l}{\gamma d}\)
We zien dat de verhouding van deze afstanden verschilt voor de twee waarnemers.
Dit is mijn antwoord, wat is jullie antwoord? Ik wacht even met de berekening te posten want dit bericht is al meer dan lang genoeg.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 5.150

Re: Oefening speciale relativiteits theorie

Ik zet in op:
\(\)
\( \frac{l_{A,t>0}}{d_{A,t>0}}=\frac{l/\gamma}{d + l(1 - 1/\gamma)} \)
\(\)
En mogelijk lees ik er overheen, maar ik zie niet wie waarnemer B is.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 3.202

Re: Oefening speciale relativiteits theorie

Een vraag: Geldt die 't=0' voor het referentiestelsel waarin de auto's stilstaan of voor het stelsel waarin ze bewegen?
Wat gelijktijdig is in het ene stelsel is dat niet in het andere

Gebruikersavatar
Berichten: 806

Re: Oefening speciale relativiteits theorie

Xilvo schreef:
di 25 feb 2020, 16:49
Een vraag: Geldt die 't=0' voor het referentiestelsel waarin de auto's stilstaan of voor het stelsel waarin ze bewegen?
Wat gelijktijdig is in het ene stelsel is dat niet in het andere
Die t=0 is gezien vanuit waarnemer A die ook stilstaat. Beide tekeningen zijn ook vanuit zijn perspectief.

Professor Puntje schreef:
di 25 feb 2020, 16:42
Ik zet in op:
\(\)
\( \frac{l_{A,t>0}}{d_{A,t>0}}=\frac{l/\gamma}{d + l(1 - 1/\gamma)} \)
\(\)
En mogelijk lees ik er overheen, maar ik zie niet wie waarnemer B is.
Dubbel klik op de afbeeldingen, ze zijn heel lelijk in paint en sommige dingen zijn wat klein uitgevallen.
B is de waarnemer in het autotje, zou te zien moeten zijn in de tekening.

Bedankt voor je resultaat,ik dacht dat we over observer A wel eens gingen zijn :p.
De teller begrijp ik, daar heb je gewoon lorentzcontractie toegepast op de lengte van de auto. De noemer is denk ik waar het probleem zit. Hoe kom je aan die noemer? Ben je zeker dat je d juist gebruikt? Het lijkt erop dat je de afstand opteld bij de lengte van het autotje. Kijk nog eens goed naar de tekening (vergroot als je dubbel klikt) en let op x1 x2 x3 x4 en hoe d en l samen hangen met die coördinaten.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.150

Re: Oefening speciale relativiteits theorie

die hanze schreef:
di 25 feb 2020, 17:12
Dubbel klik op de afbeeldingen, ze zijn heel lelijk in paint en sommige dingen zijn wat klein uitgevallen.
B is de waarnemer in het autotje, zou te zien moeten zijn in de tekening.
Dank - ik zie het nu.
Bedankt voor je resultaat,ik dacht dat we over observer A wel eens gingen zijn :p.
De teller begrijp ik, daar heb je gewoon lorentzcontractie toegepast op de lengte van de auto. De noemer is denk ik waar het probleem zit. Hoe kom je aan die noemer? Ben je zeker dat je d juist gebruikt? Het lijkt erop dat je de afstand opteld bij de lengte van het autotje. Kijk nog eens goed naar de tekening (vergroot als je dubbel klikt) en let op x1 x2 x3 x4 en hoe d en l samen hangen met die coördinaten.
Ik ben ervan uit gegaan dat de tussenruimte tussen de auto's toeneemt doordat de rijdende auto's krimpen, die daardoor vrijkomende ruimte moet immers ergens blijven. ;)

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 3.202

Re: Oefening speciale relativiteits theorie

Het probleem is dat je een enkele auto in z'n geheel geen boost v kunt geven op t=0 in het stilstaande stelsel.

Teken een Minkowski-diagram en je ziet dat de auto in het ruststelsel dezelfde lengte houdt, in z'n eigen stelsel langer wordt. De auto zal breken.

Dit is nu net Bell's spaceship paradox, nu niet toegepast op een tussenruimte maar op het object zelf.

Citaat uit een ander draadje:
die hanze schreef:
zo 23 feb 2020, 18:02
@xilvo
....
Ik raad je 2 zeer leuke paradoxen aan om te bestuderen die sterk verband houden met de vraag van de topic starter.

1) bell's space ship paradox
2) the ladder paradox

Probeer deze eens te doorgronden.

Gebruikersavatar
Berichten: 806

Re: Oefening speciale relativiteits theorie

Professor Puntje schreef:
di 25 feb 2020, 17:25
die hanze schreef:
di 25 feb 2020, 17:12
Dubbel klik op de afbeeldingen, ze zijn heel lelijk in paint en sommige dingen zijn wat klein uitgevallen.
B is de waarnemer in het autotje, zou te zien moeten zijn in de tekening.
Dank - ik zie het nu.
Bedankt voor je resultaat,ik dacht dat we over observer A wel eens gingen zijn :p.
De teller begrijp ik, daar heb je gewoon lorentzcontractie toegepast op de lengte van de auto. De noemer is denk ik waar het probleem zit. Hoe kom je aan die noemer? Ben je zeker dat je d juist gebruikt? Het lijkt erop dat je de afstand opteld bij de lengte van het autotje. Kijk nog eens goed naar de tekening (vergroot als je dubbel klikt) en let op x1 x2 x3 x4 en hoe d en l samen hangen met die coördinaten.
Ik ben ervan uit gegaan dat de tussenruimte tussen de auto's toeneemt doordat de rijdende auto's krimpen, die daardoor vrijkomende ruimte moet immers ergens blijven. ;)
Het klopt wat je gedaan hebt. Komt doordat de auto's gelijk versnellen maar niet elk punt in de auto versnelt mee op hetzelfde tijdstip. Indien de auto als geheel overal gelijk en simultaan versnelt zou deze in stukken breken. Had eigenlijk iets moeten toevoegen aan de opgave om geen dubbelzinnigheid te krijgen op dit punt. Laten we afspreken dat de gelijke versnelling betrekking heeft op de motorkap (x2 en x4). Deze 2 punten versnellen gelijktijdig tot dezelfde snelheid en dat is waar observer A op let. d zal dan inderdaad lichtjes veranderen tot
\(d=d+l(1-\frac{1}{\gamma})\)
Merk op dat dit effect verdwijnt bij d>>l dus als de afstand tussen de auto's heel groot word in vergelijking met hun lengte.
Indien we de versnelling van de eerste auto zouden definiëren aan zijn koffer (BMW???) dan verdwijnt dit effect.



Mijn uitkomst is nu:
\(\frac{l_{A,t>0}}{d_{A,t>0}}=\frac{l}{\gamma(d+l(1-\frac{1}{\gamma})}\)
\(\frac{l_{B,t>0}}{d_{B,t>0}}=\frac{l}{\gamma(d+l(1-\frac{1}{\gamma})}\)
Had in mijn post voor de voorspelling van A een typ fout gemaakt, die lorentzfactor moet in de noemer staan want het is lorentzcontractie en niet lorentzexpansie :p.

Mijn fysische interpretatie is dat A de ruimteschepen ziet krimpen waardoor de onderlinge afstand een beetje toeneemt maar enkel ten gevolge van de krimp van de auto's. De toename in onderlinge afstand heeft enkel te maken met de lorentz contractie van de auto's zelf en is een effect dat verdwijnt bij heel grote afstanden of heel kleine auto's.

De observer B ziet de afstand ook toenemen maar met een factor \(\gamma\).
Deze afstands toename heeft echter niets te maken met de lorentzcontractie van de ruimteschepen, observer B blijft de auto's even groot zien.

@ puntje wat is het probleem bij observer B voor je?

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 3.202

Re: Oefening speciale relativiteits theorie

die hanze schreef:
di 25 feb 2020, 19:44
Mijn fysische interpretatie is dat A de ruimteschepen ziet krimpen waardoor de onderlinge afstand een beetje toeneemt maar enkel ten gevolge van de krimp van de auto's.
Die afstand neemt ook toe als het punten zijn in plaats van auto's.
De afstand die A ziet is dan gelijk aan wat hij zag toen ze in rust waren.

Zie https://en.wikipedia.org/wiki/Bell%27s_ ... ip_paradox


Gebruikersavatar
Berichten: 5.150

Re: Oefening speciale relativiteits theorie

Voor het beredeneren van de waarnemingen van waarnemer B ga ik uit van een hulp-waarnemer B' die in tegenstelling tot waarnemer B in constante rechtlijnige beweging is en dus net als waarnemer A als een inertiaalwaarnemer mag worden beschouwd. Verder regelen we het zo dat deze waarnemer B' na de boost's van de twee auto's gelijk op met waarnemer B beweegt. Wat deze waarnemer B' (en dus ook B) na de boost's van de twee auto's aan afstanden zal meten moet volgens mij bij deze opzet uitgaande van de metingen van waarnemer A via de lorentztransformatie te berekenen zijn.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 3.202

Re: Oefening speciale relativiteits theorie

die hanze schreef:
di 25 feb 2020, 19:44
Mijn uitkomst is nu:
\(\frac{l_{A,t>0}}{d_{A,t>0}}=\frac{l}{\gamma(d+l(1-\frac{1}{\gamma})}\)
\(\frac{l_{B,t>0}}{d_{B,t>0}}=\frac{l}{\gamma(d+l(1-\frac{1}{\gamma})}\)
Waaruit blijkt dat verhouding tussen autolengte en tussenruimte voor beide waarnemers gelijk is.

Gebruikersavatar
Berichten: 806

Re: Oefening speciale relativiteits theorie

Professor Puntje schreef:
di 25 feb 2020, 20:01
Voor het beredeneren van de waarnemingen van waarnemer B ga ik uit van een hulp-waarnemer B' die in tegenstelling tot waarnemer B in constante rechtlijnige beweging is en dus net als waarnemer A als een inertiaalwaarnemer mag worden beschouwd. Verder regelen we het zo dat deze waarnemer B' na de boost's van de twee auto's gelijk op met waarnemer B beweegt. Wat deze waarnemer B' (en dus ook B) na de boost's van de twee auto's aan afstanden zal meten moet volgens mij bij deze opzet uitgaande van de metingen van waarnemer A via de lorentztransformatie te berekenen zijn.
Na de boost is waarnemer B een inertiaal waarnemer. Ik ken ondertussen je aversie voor versnellingen binnen de SRT :p.
Heb ook speciaal boosts gekozen hoewel dat eigenlijk niet nodig was. De hele constructie met B' lijkt vrij overbodig.
Als B' een inertiaal waarnemer is in rust met B dan is B toch ook een inertiaal waarnemer?
Ik heb inderdaad gewoon een lorentz-transformatie toegepast om uit resultaat voor waarnemer B te vinden.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.150

Re: Oefening speciale relativiteits theorie

Minkowski.png
Als ik het goed heb volgt hier direct uit dat A en B' (dus ook B) na de boost's dezelfde verhouding tussen auto-lengte en tussenafstand meten. Maar ik gebruik dergelijke diagrammen zelden, dus kijk a.u.b. even mee of dit klopt.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.150

Re: Oefening speciale relativiteits theorie

Dit topic betreft een sterke idealisering zoals dat bij SRT-oefeningen bijna altijd het geval is. Daarom laat ik de op- en aanmerkingen die hier ten aanzien van de praktische haalbaarheid te maken zijn ook achterwege. En dit des te meer omdat de TS daar in de openingspost ook om gevraagd heeft. Het zou zonde zijn als ook dit topic weer ontaardt.

Gebruikersavatar
Berichten: 806

Re: Oefening speciale relativiteits theorie

@puntje

Ben ook snel in de war met zo'n diagrammen, vind formules handiger.
Zijn je assen zo geschaald dat c=1? Dat is wel handig. Teken ook altijd een lichtstraal in je diagram, dat is net het hele ding waarmee je je kunt oriënteren in zo'n tekening.
Ben verder niet zeker wat de observer is van elke lijn. De Blauwe lijn van wie is die?
De grijze lijn van x' gaat sneller dan het licht en kan dus niet.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 3.202

Re: Oefening speciale relativiteits theorie

Professor Puntje schreef:
di 25 feb 2020, 21:03
Als ik het goed heb volgt hier direct uit dat A en B' (dus ook B) na de boost's dezelfde verhouding tussen auto-lengte en tussenafstand meten. Maar ik gebruik dergelijke diagrammen zelden, dus kijk a.u.b. even mee of dit klopt.
De tekening klopt in principe. Laat ook zien dat auto's en ruimte ertussen dezelfde lengtecontractie ondervinden.

Reageer