Een object onder een constante kracht.

Moderator: physicalattraction

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 806

Een object onder een constante kracht.

We hebben een punt lichaam dat een constante kracht ondervindt vanaf t=0 tot in de eeuwigheid.
Op t=0 bevindt het zich in de oorsprong, de kracht F=(+F,0,0) heeft enkel een component langs de x coördinaat.
Op hetzelfde ogenblik als de versnelling begint (t=0) wordt een licht puls uitgezonden Vanaf coördinaat (A,0,0) dus ergens op de x-as.

Voor welke posities van de lichtpuls zal het licht de versnellende waarnemer bereiken? We kunnen stellen dat positieve waarden op de x-as de lichtpuls voor de waarnemer uit zal vliegen en de waarnemer eeuwig achter blijft aangezien die slechts asymptotisch de lichtsnelheid zal benaderen en vanuit zijn perspectief dit licht steeds met de lichtsnelheid van hem vandaan vliegt. Voor A=0 is de oplossing triviaal: het licht en de waarnemer kruisen bij de start.
Voor welke negatieve waarde van A zal de lichtpuls de waarnemer niet meer kunnen inhalen? Zal het licht de waarnemer altijd inhalen?

Merk op dat we werken met een waarnemer onder constante kracht, geen constante versnelling. Een constante versnelling tot in de eeuwigheid is niet mogelijk in de SRT. Alles wordt ook beschreven uit het niet versnellende inertiaalstelsel waaruit alles vertrekt. In een later topic wil ik bespreken hoe dit eruit ziet voor de versnellende waarnemer.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 5.111

Re: Een object onder een constante kracht.

Eerste zorg lijkt mij om na te gaan hoe kracht zich in de SRT tot versnelling verhoudt.

Gebruikersavatar
Berichten: 806

Re: Een object onder een constante kracht.

Ja we zullen beginnen met de baan van die waarnemer te berekenen. Noem dit x(t).
We weten x(0)=0, dit is belangrijk als randvoorwaarde.
\(F=\frac{\delta P}{\delta t}\)
\(P=\gamma mv\)
We voor het gemak onze tijd en lengte eenheden herschalen zodat c=1.
De bovenstaande differentiaal vergelijking lost ik op en vindt voor v(t):
\(v(t)=\frac{\frac{Ft}{m}}{\sqrt{1+(\frac{Ft}{m})^2}}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 806

Re: Een object onder een constante kracht.

Dit resultaat kunnen we integreren om x(t) te vinden. Gebruik x(0)=0 om de integratieconstante te vinden.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.111

Re: Een object onder een constante kracht.

En wat is het resultaat?

Gebruikersavatar
Berichten: 806

Re: Een object onder een constante kracht.

Een hyperbool :)
\(x(t)=-\frac{m}{F}+\sqrt{\frac{m^2}{F^2}+t^2}\)
Lichtstralen die vertrekken met \(A<-\frac{m}{F}\) zullen de versneller nooit inhalen wat wel vreemd is.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.345

Re: Een object onder een constante kracht.

\(F=\frac{\delta P}{\delta t}\)
Die hoofdletter P moet een kleine letter p zijn. De hoofdletter P wordt gebruikt om druk of vermogen weer te geven.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Gebruikersavatar
Berichten: 806

Re: Een object onder een constante kracht.

Dat is inderdaad de conventie, zal in het vervolg kleine letter p gebruiken.


Gebruikersavatar
Berichten: 9.811

Re: Een object onder een constante kracht.

Professor Puntje schreef:
wo 26 feb 2020, 12:28
Eerste zorg lijkt mij om na te gaan hoe kracht zich in de SRT tot versnelling verhoudt.
Geen zorgen, ook in de SRT geldt F=mA.

Wel gebruik maken van viervectoren natuurlijk.

Gebruikersavatar
Berichten: 806

Re: Een object onder een constante kracht.

F=ma geldt niet in de SRT... tenzij je graag met relativistische massa werkt.
Doordat je een andere ruimte-tijd metriek hebt is p=mv niet meer een behouden grootheid.
Dit kun je afleiden door te kijken naar de generator van de lorentzgroep (lie-algebra's) maar ik ben niet zo goed in deze abstracte materie. Komt erop neer dat symmetrieën u behouden grootheden geven en de nieuwe behouden grootheid is: \(p=\gamma mv\). Vervolgens definiëren we kracht als de afgeleide van deze grootheid net als bij newton.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.111

Re: Een object onder een constante kracht.

die hanze schreef:
wo 26 feb 2020, 11:47
In een later topic wil ik bespreken hoe dit eruit ziet voor de versnellende waarnemer.
Ben heel benieuwd! 8-)

Berichten: 450

Re: Een object onder een constante kracht.

die hanze schreef:
wo 26 feb 2020, 18:29
Een hyperbool :)
\(x(t)=-\frac{m}{F}+\sqrt{\frac{m^2}{F^2}+t^2}\)
Lichtstralen die vertrekken met \(A<-\frac{m}{F}\) zullen de versneller nooit inhalen wat wel vreemd is.
Zie

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Rindler_coordinates

Een versnelde waarnemer heeft een horizon, net als een statische waarnemer bij een zwart gat dit zal ervaren. Volgens het equivalentieprincipe is dat ook te verwachten ;)

Berichten: 450

Re: Een object onder een constante kracht.

mathfreak schreef:
wo 26 feb 2020, 18:35
\(F=\frac{\delta P}{\delta t}\)
Die hoofdletter P moet een kleine letter p zijn. De hoofdletter P wordt gebruikt om druk of vermogen weer te geven.
Sinds ze impuls uit de natuurkundestod hebben geknikkerd niet meer. Tenminste, niet in de methode Newton :P

Reageer