Bewijs van formule (2)

[Professor Puntje]

Deze topic is afgesplitst van deze topic. In deze topic zal ik proberen de onderstaande formule (2) te bewijzen:

formule2.png (6.11 KiB) 2897 keer bekeken

Bron: https://www.mathpages.com/rr/s8-09/8-09.htm

[Professor Puntje]

We moeten dus vanuit de Schwarzschild metriek de formule (2) in het artikel afleiden. De Schwarzschild metriek kan zo worden geschreven:

formule.png (7.18 KiB) 2891 keer bekeken

Bron: https://hepweb.ucsd.edu/ph110b/110b_notes/node75.html

[Professor Puntje]

Voor r_s/r << 1 kun je bij benadering met de cartesiaanse coördinaten x, y en z werken. Dat maakt het mogelijk in de schwarzschildmetriek x, y en z te introduceren. Zie hier voor de transformatieformules:

https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical ... oordinates

[Professor Puntje]

---

Ons uitgangspunt is:

\(\)

\( - c^ 2 (\mathrm{d}\tau)^2 = -(1 - \frac{r_s}{r}) c^2 (\mathrm{d} t)^2 + \frac{(\mathrm{d}r)^2}{1 - \frac{r_s}{r}} + r^2 ((\mathrm{d}\theta)^2 + \sin^2(\theta) (\mathrm{d} \varphi)^2 ) \)

Het artikel gaat uit van eenheden waarin c = G = 1. Dus dan krijgen we: \( r_s = \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{m}}{c^2} = 2 \mathrm{m} \). Substitutie geeft:

\(\)

\( - (\mathrm{d}\tau)^2 = -(1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}) (\mathrm{d} t)^2 + \frac{(\mathrm{d}r)^2}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} + r^2 ((\mathrm{d}\theta)^2 + \sin^2(\theta) (\mathrm{d} \varphi)^2 ) \)

\(\)

\( (\mathrm{d}\tau)^2 = (1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}) (\mathrm{d} t)^2 - \frac{(\mathrm{d}r)^2}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} - r^2 ((\mathrm{d}\theta)^2 + \sin^2(\theta) (\mathrm{d} \varphi)^2 ) \)

[Professor Puntje]

Voor het gemak schrijven we:

\(\)

\( Q = - \frac{(\mathrm{d}r)^2}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} - r^2 ((\mathrm{d}\theta)^2 + \sin^2(\theta) (\mathrm{d} \varphi)^2 ) \)

\(\)

Zodat:

\(\)

\( (\mathrm{d}\tau)^2 = (1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}) (\mathrm{d} t)^2 + Q \)

\(\)

Dus:

\(\)

\( Q = - \frac{(\mathrm{d}r)^2}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} - r^2 ((\mathrm{d}\theta)^2 + \sin^2(\theta) (\mathrm{d} \varphi)^2 ) \)

\(\)

\( Q = - \frac{(\mathrm{d}r)^2}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} + (\mathrm{d}r)^2 - \{(\mathrm{d}r)^2 + r^2 (\mathrm{d}\theta)^2 + r^2 \sin^2(\theta) (\mathrm{d} \varphi)^2 \} \)

\(\)

Zie voor deze stap het topic: viewtopic.php?f=4&t=210967

\(\)

\( Q = - \frac{(\mathrm{d}r)^2}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} + (\mathrm{d}r)^2 - \{(\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2 + (\mathrm{d}z)^2 \} \)

\(\)

\( Q = - \frac{(\mathrm{d}r)^2}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} + \frac{(\mathrm{d}r)^2 ( 1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r} )}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} - \{(\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2 + (\mathrm{d}z)^2 \} \)

\(\)

\( Q = - \frac{(\mathrm{d}r)^2 ( \frac{2 \mathrm{m}}{r} )}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} - \{(\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2 + (\mathrm{d}z)^2 \} \)

[Professor Puntje]

Schrijf nu:

\(\)

\( P = - \frac{(\mathrm{d}r)^2 \frac{2 \mathrm{m}}{r}}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} \)

\(\)

Dan krijgen we:

\(\)

\( P = - \frac{2 \mathrm{m}}{r - 2 \mathrm{m}} (\mathrm{d}r)^2 \)

\(\)

\( P = - \frac{2 \mathrm{m}}{r - 2 \mathrm{m}} \left (\mathrm{d}\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \right )^2 \)

\(\)

\( P = - \frac{2 \mathrm{m}}{r - 2 \mathrm{m}} \left (\frac{1}{2} (x^2 + y^2 + z^2)^{-1/2} \mathrm{d} (x^2 + y^2 + z^2) \right )^2 \)

\(\)

\( P = - \frac{2 \mathrm{m}}{r - 2 \mathrm{m}} \left (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r} \cdot (2x\mathrm{d}x + 2y\mathrm{d}y + 2z\mathrm{d}z) \right )^2 \)

\(\)

\( P = - \frac{2 \mathrm{m}}{r - 2 \mathrm{m}} \left ( \frac{1}{r} \cdot (x\mathrm{d}x + y\mathrm{d}y + z\mathrm{d}z) \right )^2 \)

\(\)

\( P = - \frac{1}{r^2} \frac{2 \mathrm{m}}{r - 2 \mathrm{m}} (x\mathrm{d}x + y\mathrm{d}y + z\mathrm{d}z)^2 \)

[Professor Puntje]

\( (\mathrm{d}\tau)^2 = (1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}) (\mathrm{d} t)^2 + Q \)

\( Q = - \frac{(\mathrm{d}r)^2 ( \frac{2 \mathrm{m}}{r} )}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} - \{(\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2 + (\mathrm{d}z)^2 \} \)

\( P = - \frac{(\mathrm{d}r)^2 \frac{2 \mathrm{m}}{r}}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} \)

\( P = - \frac{1}{r^2} \frac{2 \mathrm{m}}{r - 2 \mathrm{m}} (x\mathrm{d}x + y\mathrm{d}y + z\mathrm{d}z)^2 \)

Daarmee is formule (2) uit de openingspost bewezen.

[flappelap]

Voor r_s/r << 1 kun je bij benadering met de cartesiaanse coördinaten x, y en z werken. Dat maakt het mogelijk in de schwarzschildmetriek x, y en z te introduceren. Zie hier voor de transformatieformules:

https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical ... oordinates

Die transformatie kun je altijd uitvoeren, alleen hebben x,y,z niet de gebruikelijke betekenis. Net zoals r niet de fysieke lengte geeft tussen twee gelijktijdige gebeurtenissen.

[Professor Puntje]

Dat klopt maar om er voor de lichtbuiging iets aan te hebben is het wel handig als x, y en z voor de lichtbaan bij benadering overeenstemmen met de gebruikelijke cartesiaanse coördinaten.

[flappelap]

Mwah, hoeft niet, zolang de hoek uiteindelijk toch de gemeten hoek is op 'oneindig'?

[HansH]

Mwah, hoeft niet, zolang de hoek uiteindelijk toch de gemeten hoek is op 'oneindig'?

Het punt is dan toch dat je voor de lichtafbuiging ananamens hebt gedaan mbt de x richting. Of bedoel je dat je een nog algemenere formule kunt bedenken die ook voor kromme coordinaten gebruikt kan worden.

[Professor Puntje]

Mwah, hoeft niet, zolang de hoek uiteindelijk toch de gemeten hoek is op 'oneindig'?

Laat ik het dan zo zeggen dat het voor gewone stervelingen (zoals ikzelf) wel zo handig is wanneer x, y en z voor de lichtbaan bij benadering hun gebruikelijke huis-tuin-en-keuken betekenis hebben. Zo is het voor ons al ingewikkeld genoeg...

[flappelap]

Mwah, hoeft niet, zolang de hoek uiteindelijk toch de gemeten hoek is op 'oneindig'?

Laat ik het dan zo zeggen dat het voor gewone stervelingen (zoals ikzelf) wel zo handig is wanneer x, y en z voor de lichtbaan bij benadering hun gebruikelijke huis-tuin-en-keuken betekenis hebben. Zo is het voor ons al ingewikkeld genoeg...

Nou ja, ook als het niet zo is kun je er simpel mee rekenen.

Als jij bijvoorbeeld in een Schwarzschild achtergrond zoals de aarde een lat legt tussen r = 6.371.000 m (het aardoppervlak) en r = 6.371.001 meter, dan is de lengte van de lat niet simpelweg 6.371.001 - 6.371.000 = 1 m. De lat wordt immers ingekort door de gekromde meetkunde, en krijgt zo lengte

\( \int_{6371000}^{6371001} (1-\frac{2GM}{r c^2})^{-1} dr \)

[Professor Puntje]

Deze zaken liggen op het randje van wat ik (nog net) begrijp. Daarom houd ik het liefst zo simpel mogelijk.

[flappelap]

Zwakke velden dus