Twee pieken of toch maar één?

[Professor Puntje]

In de gekromde ruimtetijd wordt de rol van "rechte lijnen" gespeeld door geodeten. Maar is de lijn y=constant (laten we zo'n lijn hier voor het gemak een horizontale lijn noemen) in het pseudo-cartesische xy-frame eigenlijk wel een geodeet? Als een horizontale lijn geen geodeet is, dan bereken je met de afbuiging van licht ten opzichte van een horizontale lijn feitelijk de afbuiging van die horizontale lijn ten opzichte van het licht (en niet omgekeerd). Het licht volgt immers zelf wel een geodeet en daarmee een "rechte lijn". Ten opzichte van de nul-geodeet die het licht zelf volgt buigt het licht zelfs helemaal niet af! En dus vraag ik mij af of de lokale toepassing van Huygens' principe in een pseudo-cartesisch coördinatenstelsel zoals op MathPages en ook hier gepraktiseerd eigenlijk wel klopt...

Wie weet of horizontale lijnen in een xy-frame als hierboven geodeten zijn?

Check of de kromme aan de geodetenvergelijking voldoet. Da's nou een aardige oefening

Ik vrees dat dat nog even een stapje te ver is, dan krijg je toch die verschrikkelijke Christoffelsymbolen?

[Professor Puntje]

Ruimtelijke hoeken bereken je door een foliatie te kiezen en de ruimtelijke componenten van de metriek te gebruiken; die definieert immers het inproduct.

Kan dat met Flamm's paraboloïde?

[flappelap]

Ruimtelijke hoeken bereken je door een foliatie te kiezen en de ruimtelijke componenten van de metriek te gebruiken; die definieert immers het inproduct.

Kan dat met Flamm's paraboloïde?

Is dat niet een embedding om de ruimtelijke kromming van de Schwarzschild oplossing te visualiseren? Wat zou je daarmee willen uitrekenen?

[flappelap]

In de gekromde ruimtetijd wordt de rol van "rechte lijnen" gespeeld door geodeten. Maar is de lijn y=constant (laten we zo'n lijn hier voor het gemak een horizontale lijn noemen) in het pseudo-cartesische xy-frame eigenlijk wel een geodeet? Als een horizontale lijn geen geodeet is, dan bereken je met de afbuiging van licht ten opzichte van een horizontale lijn feitelijk de afbuiging van die horizontale lijn ten opzichte van het licht (en niet omgekeerd). Het licht volgt immers zelf wel een geodeet en daarmee een "rechte lijn". Ten opzichte van de nul-geodeet die het licht zelf volgt buigt het licht zelfs helemaal niet af! En dus vraag ik mij af of de lokale toepassing van Huygens' principe in een pseudo-cartesisch coördinatenstelsel zoals op MathPages en ook hier gepraktiseerd eigenlijk wel klopt...

Wie weet of horizontale lijnen in een xy-frame als hierboven geodeten zijn?

Check of de kromme aan de geodetenvergelijking voldoet. Da's nou een aardige oefening

Ik vrees dat dat nog even een stapje te ver is, dan krijg je toch die verschrikkelijke Christoffelsymbolen?

Ja. Die kun je evt. ook opzoeken, denk ik. Maar ik denk dat zo'n berekening je meer inzicht geeft dan formele definities proberen te begrijpen. Als je er tenslotte geen concrete berekeningen mee kunt doen...

[Professor Puntje]

Ruimtelijke hoeken bereken je door een foliatie te kiezen en de ruimtelijke componenten van de metriek te gebruiken; die definieert immers het inproduct.

Kan dat met Flamm's paraboloïde?

Is dat niet een embedding om de ruimtelijke kromming van de Schwarzschild oplossing te visualiseren? Wat zou je daarmee willen uitrekenen?

Klopt. Daarmee wil ik dan achterhalen of rechte hoeken tussen lijnen binnen het Schwarzschild frame ook nog rechte hoeken in het xy-frame zijn. Dat in verband met de hoek tussen de golffronten en de bewegingsrichting van een lichtstraal en de toepassing van Huygens' principe in het xy-frame.

[Professor Puntje]

Een aantal plaatjes waarin de roosterlijnen van het xy-frame op een Flamm paraboloïde geprojecteerd worden zijn hier te vinden: https://faraday.physics.utoronto.ca/PVB ... enRel.html

Daaruit zien we dat rechte hoeken tussen lijnen in het xy-frame inderdaad in de buurt van de zon vaak geen rechte hoeken meer zijn voor de corresponderende lijnen in het Schwarzschild frame. Toepassing van Huygens' principe in het xy-frame leidt dus tot een inherente fout voor de lokale afbuiging van de lichtbaan dicht bij de zon.

[Professor Puntje]

In principe zou je de lijn y=R_zon op de Flamm paraboloïde moeten kunnen projecteren; daar de "loodlijnen" op die kromme moeten kunnen berekenen; en die loodlijnen weer terug moeten kunnen projecteren naar het xy-vlak om zo ook in het xy-vlak bij het gebruik van Huygens' principe te kunnen werken met het Schwarzschild equivalent van haakse hoeken.

[wnvl1]

Ook interessant: https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1929P ... T/abstract

Deze gelezen en die is wel eenvoudig en duidelijk geschreven zodat hij ook voor amateurs vlot leesbaar is en de wiskunde tamelijk gemakkelijk te volgen is. Ik kan in zijn redenering wel inkomen. Dat het op die manier mag had ik nu zelf niet zomaar durven zeggen. Dat je op die manier tot twee pieken komt dat voel ik dan wel aan als een logisch gevolg.

[wnvl1]

Ruimtelijke hoeken bereken je door een foliatie te kiezen en de ruimtelijke componenten van de metriek te gebruiken; die definieert immers het inproduct.

Het kiezen van die foliatie gebeurt dan door de "dt" uit de Schwarzschild metriek te mappen op de tijd (zonder dat ik zeg dat het dezelfde is) op de "dt" uit de Euclidische ruimte / Minkowski ruimte. En de andere componenten uit de Schwarzschild metriek op de ruimtelijke componenten van de Euclidische ruimte / Minkowski ruimte, als ik het juist begrijp. Als je daar vanuit dat dat mag (waar ik niet automatisch van overtuigd was/ben), dan kan ik gevoelsmatig wel in de methode van Einstein inkomen.

Heel veel links geeft googlen op "general relativity foliation" wel niet op.

https://physics.stackexchange.com/quest ... -spacetime

[flappelap]

Kan dat met Flamm's paraboloïde?

Is dat niet een embedding om de ruimtelijke kromming van de Schwarzschild oplossing te visualiseren? Wat zou je daarmee willen uitrekenen?

Klopt. Daarmee wil ik dan achterhalen of rechte hoeken tussen lijnen binnen het Schwarzschild frame ook nog rechte hoeken in het xy-frame zijn. Dat in verband met de hoek tussen de golffronten en de bewegingsrichting van een lichtstraal en de toepassing van Huygens' principe in het xy-frame.

Maar waarom doe je dat met zo'n kunstmatige embedding die puur bedoeld is om te visualiseren? Misschien begrijp ik die paraboloïde dan niet goed.

[flappelap]

Ruimtelijke hoeken bereken je door een foliatie te kiezen en de ruimtelijke componenten van de metriek te gebruiken; die definieert immers het inproduct.

Het kiezen van die foliatie gebeurt dan door de "dt" uit de Schwarzschild metriek te mappen op de tijd (zonder dat ik zeg dat het dezelfde is) op de "dt" uit de Euclidische ruimte / Minkowski ruimte. En de andere componenten uit de Schwarzschild metriek op de ruimtelijke componenten van de Euclidische ruimte / Minkowski ruimte, als ik het juist begrijp. Als je daar vanuit dat dat mag (waar ik niet automatisch van overtuigd was/ben), dan kan ik gevoelsmatig wel in de methode van Einstein inkomen.

Heel veel links geeft googlen op "general relativity foliation" wel niet op.

https://physics.stackexchange.com/quest ... -spacetime

Wat ik bedoel: als je ruimtelijke hoeken wilt definiëren voor een waarnemer, dan moet je eerst definiëren wat de "ruimte" is voor zo'n waarnemer. Dat doe je middels een foliatie, en inderdaad door dt=0 te kiezen als de waarnemer een coördinatentijd t gebruikt. Vervolgens gebruik je dat voor twee ruimte-achtige vectoren V en W de hoek ertussen wordt gegeven door

\( cos(V,W) = \frac{g_{ij}V^i W^j}{\sqrt{g_{kl}V^k V^l }\sqrt{g_{mn}V^m V^n}} \)

waar i,j,k,l,m,n ruimtelijke indices zijn.

[Professor Puntje]

De lichtbaan is een tijdloos object dat bijvoorbeeld met vlaggetjes gemarkeerd kan worden. Daarom kan je dt er helemaal uit schoppen, en dan houd je een tijdloos vlak door het centrum van de zon over. Dat vlak kun je vervolgens (voor r > r_s) als (het bovenste deel van) een Flamm paraboloïde in de 3-dimensionale euclidische ruimte inbedden om binnen dat vlak de Schwarzschild geometrie te reproduceren. Tenminste: als ik deze kunstgreep goed begrepen heb.

Wat er bij de gebruikelijke toepassing van Huygens' principe fout gaat is dat rechte hoeken in het xy-vlak niet langer automatisch corresponderen met rechte hoeken op de Flamm paraboloïde. Omdat op de Flamm paraboloïde anders dan op het xy-vlak de fysisch juiste geometrie heerst zijn de rechte hoeken zoals die op de Flamm paraboloïde optreden maatgevend. Daarvoor dient in het xy-vlak dan ook te worden gecorrigeerd door daar de projectie van rechte hoeken vanuit de Flamm paraboloïde te gebruiken in plaats van de vertekende rechte hoeken van het xy-vlak zelf. Mijn vermoeden is dat de twee pieken in d²y/dx² dan verdwijnen en er slechts één centrale piek overblijft.

[wnvl1]

Is duidelijk voor die hoeken. Danku.

Is er een formule om die flamm paraboloide op te stellen? Dan kan je het gemakkelijk narekenen.
Al zie ik niet echt de meerwaarde buiten de visualisatie om van de gekromde ruimte over die paraboloide naar de euclidische ruimte te gaan. In plaats van rechtstreeks.

[Professor Puntje]

Die paraboloïde wordt besproken in Exploring Black Holes 2-24 - 2.27.

[wnvl1]

Op de Wikipedia pagina van de Schwarzschild metriek staat de afleiding van de vergelijking van die paraboloide uitgelegd. Maar die modeleert alleen maar de ruimtelijke kromming. De kromming van de tijd gaat verloren. Dus je komt er met dat model volgens mij niet.