De 2 pieken nader verklaard

[OOOVincentOOO]

Hallo,

Whaw. Ik heb een beetje gespeeld met de formules wat je gevonden hebt. Beetje plotten en Gamma/Praxis methode knippen en plakken totdat ik wat zinnigs krijg. Goed dat je gezien hebt dat x en y anders gedefinieerd zijn.

Start (41.4):
$$y=R- \frac{m}{R} \cdot \frac{y^{2}+x^{2}}{\sqrt{y^{2}+x^{2}}}$$

Differentieren en aanname dat y=R voor dichtste nadering:
$$\frac{\partial y}{\partial x}= \frac{m}{R} \cdot \frac{ x \left( 3 R^{2} + 2 x^{2} \right) }{ R \left( R^{2} +x^{2} \right)^{3/2} } +2 $$
Dit is cumulatieve difflectie en is 4 voor x is infty (opp. integraal). Constante 2 toegevoegd anders begint s curve op -2 tot 2.

Controle Wolfram Alpha
Differentieren:

Code: Selecteer alles

m/R*d((R^2+2*x^2)/sqrt(R^2+x^2))/dx

Plotten:

Code: Selecteer alles

plot 2+x*(3*R^2+2*x^2)/(R*(x^2+R^2)^(3/2)) with R=1

Indien we nogmaal differentieren komen we op vergelijkbare formules als: mathpages en pyhsics stacks:

$$ \Delta c= \frac{m}{R} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{ x \left( 3 R^{2} + 2 x^{2} \right) }{ R \left( R^{2} +x^{2} \right)^{3/2} } \right) $$

$$\boxed{ \Delta c= \frac{m}{R} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{3 R^{2}}{\left( x^{2}+R^{2}\right)^{5/2}} dx }$$
Wolfram Alpha:

Code: Selecteer alles

d(x(2x^2+3*R^2)/(R*(R^2+x^2)^(3/2)))/dx with R=1

Alle varianten op een rijtje:

Deze lijkt het snelste te convergeren naar oppervlakte 4.

Vragen:

• Kan het zijn dat men steeds meer een puntmassa benadering heeft? Zodat uiteindelijk een dirac delta met opp. 4 als blauwe verdeling/deflectie curve?

• Verbazendwekkend dat men dezelfde integraal opp. oplossing bereikt met voor mij als outsider totaal verschillende methoden

[Professor Puntje]

Mooi dat je ermee aan de slag bent gegaan. In de eerste formule mist een 2-tje, verder ben ik vooral benieuwd of die twee pieken in dφ/dx terugkeren als je van Eddingtons formule uitgaat. Begrijp ik het goed dat je startend met (41.4) maar één piek voor dφ/dx als functie van x vindt?

Een concentrische massa in bolvorm en een puntmassa geven overigens klassiek gesproken een identiek veld buiten die massa.

[Professor Puntje]

Nu we toch aan het experimenteren zijn :

Bron: https://www.wolframalpha.com/input/?i=% ... 2F%28dx%29

[OOOVincentOOO]

Goed gezien het 2 tje ontbreekt.Maar gelukkig niet in eindresultaat of berekeningen. Jouw gevonden formule 14.4 heb ik tweemaal gedifferentieerd. Of dat geheel correct is weet ik.

Toevallig was ik enkele weken geleden bezig met afgeleiden van Sigmoid functies [Wiki]. Functie 14.4 liet een functie zien als een "V" oftewel |x|. De afgeleide daarvan is een Sigmoid s-achtige curve en de afgeleide daarvan is een Gauss achtige functie. Vandaar dat ik ging differentieren.

Ik schrijf de formule zoals de integralen uit mathpages. \(\Delta c\) is dus de cumulatieve diflecti (de s curve). En de functie in de integraal is blauwe "Gauss" achtige curve.

Onderstaand een overzicht zodat je zelf kan proberen. Ik heb de formules getyped in Wolfram taal. Zo kan je zelf plotten en dingen variëren als je wilt. Regel voor regel copieren in WA.

De plotjes van eerdere berichten zijn met numerieke integratie. Hierbij een totaal overzicht, dus mij observaties zijn:

gutenberg.org/ebooks/59248, piek=1, oppervlakte=4:
$$ \boxed{ \Delta c= \frac{m}{R} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{3 R^{2}}{\left( x^{2}+R^{2}\right)^{5/2}} dx = \dfrac{4m}{R}} $$

Code: Selecteer alles

Wolfram:
plot 3/(x^2+1)^(5/2)
integrate 3/(x^2+1)^(5/2) dx
plot x(2*x^2+3)/((x^2+1)^(3/2))

1911 Formule (zonder GR), piek=1, oppervlakte=2:
$$\boxed{\Delta c=mR \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{(x^{2}+R^{2})^{3/2}}dx= \dfrac{2m}{R}}$$

Code: Selecteer alles

Wolfram:
plot 1/(x^2+1)^(3/2)
integrate 1/(x^2+1)^(3/2) dx 
plot x/sqrt(x^2+1)

1915 Formule (met GR), piek=2, oppervlakte=4:
$$\boxed{\Delta c=mR \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{4x^{2}+R^{2}}{(x^{2}+R^{2})^{5/2}}dx= \dfrac{4m}{R}}$$

Code: Selecteer alles

Wolfram:
plot (4*x^2+1)/(x^2+1)^(5/2)
integrate (4*x^2+1)/(x^2+1)^(5/2) dx 
plot (2*x^3+x)/(x^2+1)^(3/2)

Physics Stacks, piek=1, oppervlakte=4 (omzetten polair naar Cartesisch coordinaten moet nog gechecked worden):
$$\boxed{\Delta c = m \int_{0}^{\infty}\frac{|x| \left(R^{-3}- \left(R^{2}+x^{2}\right)^{-3/2} \right)}{\left( R^{2}+x^{2} \right)^{3/2}\left(R^{-2}-(R^{2}+x^{2})^{-1}\right)^{3/2}} dx= \frac{4m}{R}}$$

Code: Selecteer alles

Wolfram:
plot 2*|x|*(1-(x^2+1)^(-3/2))/((x^2+1)^(3/2)*(1-(x^2+1)^-1)^(3/2))
integrate |x|*(1-(x^2+1)^(-3/2))/((x^2+1)^(3/2)*(1-(x^2+1)^-1)^(3/2)) dx
plot (2x^2-sqrt(x^2+1)+1)/(x*sqrt(x^2+1))

[OOOVincentOOO]

Nu we toch aan het experimenteren zijn :

Interessant. En dan word y=R (of x=R) gesteld, dan kan ik mij voorstellen dat sommige oplossingen 2 piekjes hebben in x en y verwisseld zijn? Of?

nb. zelf differentieren heb ik de routine niet voor. Dus ik controleren resultaten WA doe ik vaak met plotjes of excel (numeriek).

Misschien kun je jouw Wolfram code plaatsen in "code" blokje? Dan kan ik of anderen ook proberen. Copieren trl met WA gaat niet goed. Dus alleen code wat je invoert is ideaal.

[Professor Puntje]

Het wonderlijke is dat y=R stellen kennelijk geen twee piekjes oplevert. Dus daar kan het niet in zitten. Anders zou je zelf voor "Gutenberg" na het gebruik van de benadering y=R immers ook die twee piekjes voor de functie binnen de integraal moeten hebben.

[OOOVincentOOO]

Zie aanpassingen bericht! Je was mij te snel af was aan het editen.

En dan word y=R (of x=R) gesteld, dan kan ik mij voorstellen dat sommige oplossingen 2 piekjes hebben in x en y verwisseld zijn? Of?

Misschien kun je jouw Wolfram code plaatsen in "code" blokje? Dan kan ik of anderen ook proberen. Copieren URL met WA gaat vaak niet goed (punten, komma, + of - tekens verdwijnen bijvoorbeeld). Dus alleen code wat je invoert is ideaal.

[Professor Puntje]

Code: Selecteer alles

(d(d(7*10^8 - 4.2*10^(-6)*((y^2 + 2*x^2)/((x^2 + y^2 )^(1/2) ) )))/(dx))/(dx)

[Professor Puntje]

xeny.png (55.39 KiB) 556 keer bekeken

Het rode zinsdeel kan alleen kloppen als Eddington x noemt wat wij y noemen.

[Professor Puntje]

Nu even met uiterste precisie te werk gaan. Dit is Eddingtons (41.4):

\( x = R - \frac{m}{R} \frac{ x^2 + 2y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} \)

Maar zoals we in mijn vorige berichtje zagen moeten x en y worden verwisseld om ze te laten corresponderen met onze x en y. Dat geeft:

\( y = R - \frac{m}{R} \frac{ y^2 + 2x^2}{\sqrt{y^2 + x^2}} \)

En daar moeten dan nog natuurconstanten aan worden toegevoegd om het in onze gewone eenheden te schrijven. Als totale afbuiging geeft Eddington 4m/R wat in gewone eenheden (4GM)/(c²R) is. Dus met de gewone eenheden geschreven krijgen we:

\( y = R - \frac{\mathrm{G} \mathrm{M}}{c^2 \mathrm{R}} \frac{ y^2 + 2x^2}{\sqrt{y^2 + x^2}} \,\,\,\,\,\,\, (1) \)

Of bij gebruik van de schwarzschildradius r_s van de zon:

\( y = R - \frac{r_s}{2 \mathrm{R}} \frac{ y^2 + 2x^2}{\sqrt{y^2 + x^2}} \,\,\,\,\,\,\, (1') \)

[OOOVincentOOO]

De verschillen tussen de radiussen is mij een raadsel. Maar denk dit te begrijpen:

Wat ik kan vinden zijn:
- Schwarzschild radius \(r_{s}\).
- Impact parameter: \(b\).
$$\Delta \phi=\frac{4GM}{bc^{2}}$$
Gravitational lensing formalism: [Wiki]

Hier een link relatie beide wat ik kon vinden op physics stackexchange: [Physics Exchange].

Volgens mij dient men normaal gesproken de impact parameter te gebruiken. Volgens mij kan mijn bij kleine deflectie de nabijste radius genomen worden (radius zon dus volgens mij), link eerdere artikel: [Physics Exchange] . Volgens mij mag men niet de Schwarzschild radius nemen.

============================================================
De bericht edit tijd op WF is erg kort. Twee foutjes gecorrigeerd:

gutenberg.org/ebooks/59248, piek=1, oppervlakte=4 (R in teller is R^3 en m vooraan):
$$\boxed{ \Delta c= m \int_{-\infty}^{\infty} \frac{3 R^{3}}{\left( x^{2}+R^{2}\right)^{5/2}} dx = \dfrac{4m}{R}}$$

Physics Stacks, piek=1, oppervlakte=4 (interval is van x=-infty naar infty):
$$\boxed{\Delta c = m \int_{-\infty}^{\infty}\frac{|x| \left(R^{-3}- \left(R^{2}+x^{2}\right)^{-3/2} \right)}{\left( R^{2}+x^{2} \right)^{3/2}\left(R^{-2}-(R^{2}+x^{2})^{-1}\right)^{3/2}} dx= \frac{4m}{R}}$$

[Professor Puntje]

Formules (1) en (1') zeggen precies hetzelfde, alleen is (1') iets compacter geschreven. Ik zie niet wat daar mis mee is. Verder gaat het hier enkel om de zon en een lichtstraal die rakelings langs de zon scheert, zodat R hier de straal van de zon is.

[OOOVincentOOO]

Ik geef geen right or wrong. Ben onwetende in de details. Heb je de link gezien naar: Gravitational lensing formalism: [Wiki] maar gaat mij te diep.

Hier van Physics Exchange, bron: Physics Exchange:

Dus voor de zon is \(b \approx r_{0}\) waar wij zeggen: \(R=r_{0}\). Volgens mij is Schwartschild radius \(r_{s}\) dus verwaarloosbaar. Zo begrijp ik het.

[Professor Puntje]

Wellicht is het gebruik van b preciezer, maar dan is het verschil minimaal want je kunt op talloze manieren afleiden dat R voor een lichtstraal die vlak langs de zon scheert bij goede benadering ook voldoet. Dit soort berekeningen zijn sowieso vaak benaderingen.

[Gast]

Laatste bericht. Zie "Gravitation" van 1099 (40.2) tot 1103.

Gaat niet alleen over de totale afbuiging, maar ook over het traject wat licht aflegd.