Wetenschapsforum

Ik ben Killing vectoren wat gedetailleerder aan het bestuderen. Ik vind voorbeelden terug om Killing vectoren te vinden voor Minkowski tijd ruimte, je vindt dan boosts terug. Voor statische symmetriche oplossingen kan je \(\frac{\partial}{\partial\theta}\), \(\frac{\partial}{\partial\phi}\) en \(\frac{\partial}{\partial t}\) terugvinden. De onderliggende berekeningen zijn te begrijpen, maar niet zo triviaal om er zomaar zelf op te komen.

Op wikipedia staat zonder bewijs dat voor \(g=y^{-2} (dx^{2}+dy^{2} )\) de Killing vector \(\frac{\partial}{\partial x}\) is.

Op zich zie ik wel dat de metriek niet verandert in de x richting, maar hoe vind je dat terug?

Ik veronderstel dat je vertrekt van

\(\zeta_{\alpha,\beta} + \zeta_{\beta,\alpha}=0\)

Maar wat dan?

Alternatief vertrekpunt kan zijn

\(\mathcal{L}_{\zeta}g_{\alpha\beta} = 0\)

Dan heb je

\(\zeta^{\mu} \partial_{\mu} g _{\alpha\beta} + \partial_{\alpha} \zeta^{\mu} g _{\mu\beta} + \partial_{\beta} \zeta^{\mu} g _{\alpha\mu}= 0\)

Stel \(\alpha = 0\) en \(\beta = 0\)

\(\zeta^{\mu} \partial_{\mu} g _{00} + \partial_{0} \zeta^{\mu} g _{\mu0} + \partial_{0} \zeta^{\mu} g _{0\mu}= 0\)

\(\zeta^{0} \partial_{0} g _{00} + \zeta^{1} \partial_{1} g _{00}
+ \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} + \partial_{0} \zeta^{1} g _{10}
+ \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} + \partial_{0} \zeta^{1} g _{01}= 0\)

Buiten de diagonalen is \(g\) overal 0, dus

\(\zeta^{0} \partial_{0} g _{00} + \zeta^{1} \partial_{1} g _{00}
+ \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} + \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} = 0\)

\(g_{00}\) is onafhankelijk van \(x\), dus \(\partial_{0} g _{00}\) is 0.

\(\zeta^{1} \partial_{1} g _{00}
+ \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} + \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} = 0\)

\(\zeta^{1} \partial_{1} g _{00}
+ 2\partial_{0} \zeta^{0} g _{00} = 0\)

We hebben \(g_{00}=y^{-2}\), dus

\(\zeta^{1} (-2)y^{-3}
+ 2\partial_{0} \zeta^{0} y^{-2} = 0\)

\(-\zeta^{1} y^{-3}
+ \partial_{0} \zeta^{0} y^{-2} = 0\)

Ik deel dan \( y^{-2}\) weg.

\(-\zeta^{1} y^{-1}
+ \partial_{0} \zeta^{0} = 0\)

Dit zou dan gedaan kunnen worden voor alle combinaties van \(\alpha\) en \(\beta\). Is dat het juiste spoor?

Nu met \(\alpha = 1\) en \(\beta = 1\)

\(\zeta^{\mu} \partial_{\mu} g _{11} + \partial_{1} \zeta^{\mu} g _{\mu1} + \partial_{1} \zeta^{\mu} g _{1\mu}= 0\)

\(\zeta^{0} \partial_{0} g _{11} + \zeta^{1} \partial_{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{0} g _{01} + \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{0} g _{10} + \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}= 0\)

Buiten de diagonalen is \(g\) overal 0, dus

\(\zeta^{0} \partial_{0} g _{11} + \zeta^{1} \partial_{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}= 0\)

\(g_{11}\) is onafhankelijk van \(x\), dus \(\partial_{0} g _{11}\) is 0.

\(\zeta^{1} \partial_{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}= 0\)

\(\zeta^{1} \partial_{1} g _{11}
+ 2\partial_{1} \zeta^{1} g _{11}
\)

We hebben \(g_{11}=y^{-2}\), dus

\(\zeta^{1} (-2)y^{-3}
+ 2\partial_{0} \zeta^{1} y^{-2} = 0\)

\(-\zeta^{1} y^{-3}
+ \partial_{0} \zeta^{1} y^{-2} = 0\)

Ik deel dan \( y^{-2}\) weg.

\(-\zeta^{1} y^{-1}
+ \partial_{0} \zeta^{1} = 0\)

Stel \(\alpha = 0\) en \(\beta = 1\)

\(\zeta^{\mu} \partial_{\mu} g _{01} + \partial_{0} \zeta^{\mu} g _{\mu1} + \partial_{1} \zeta^{\mu} g _{0\mu}= 0\)

\(\zeta^{0} \partial_{0} g _{01} + \zeta^{1} \partial_{1} g _{01}
+ \partial_{0} \zeta^{0} g _{01} + \partial_{0} \zeta^{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{0} g _{00} + \partial_{1} \zeta^{1} g _{01}= 0\)

Buiten de diagonalen is \(g\) overal 0, dus

\(\partial_{0} \zeta^{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{0} g _{00} = 0\)

\(g_{00}\) en \(g_{11}\) zijn gelijk dus dat delen we weg.

\(\partial_{0} \zeta^{1}
+ \partial_{1} \zeta^{0} = 0\)

Maar ook dan zijn we er nog niet...

Hoe halen we hieruit de Killing vector \(\frac{\partial}{\partial x}\) of \(\zeta = (1,0)\)?

De Christoffel symbolen zijn allemaal nul in een Minkowski ruimte.

Misschien helpt dit:


Vind de vraag verder een beetje vaag .. with all due respect. Hopelijk geeft Flappelap je een meer bevredigend antwoord

Gast044 schreef: ↑di 07 sep 2021, 04:35 De Christoffel symbolen zijn allemaal nul in een Minkowski ruimte.

Misschien helpt dit:


Vind de vraag verder een beetje vaag .. with all due respect. Hopelijk geeft Flappelap je een meer bevredigend antwoord

Dit is volgens mij geen minkowski ruimte.

@TS: je Killing vergelijking mist nog covariante afgeleiden, oftewel Christoffel symbolen. Als ik er aan toe kom, zal ik het uitwerken, maar lig nu met een emmer naast me op de bank ziek te wezen

Oh - dat is niet best. Beterschap!

flappelap schreef: ↑di 07 sep 2021, 11:32

Gast044 schreef: ↑di 07 sep 2021, 04:35 De Christoffel symbolen zijn allemaal nul in een Minkowski ruimte.

Misschien helpt dit:


Vind de vraag verder een beetje vaag .. with all due respect. Hopelijk geeft Flappelap je een meer bevredigend antwoord

Dit is volgens mij geen minkowski ruimte.

@TS: je Killing vergelijking mist nog covariante afgeleiden, oftewel Christoffel symbolen. Als ik er aan toe kom, zal ik het uitwerken, maar lig nu met een emmer naast me op de bank ziek te wezen

Jazeker wel. (Over dikgedrukte.) Wat doet je denken dat dat niet zo is? Na nog een keer kijken is het misschien niet de meest duidelijke uitleg.

Dus en maar eerst maar beterschap!

@TommyWhite Dit is zeker geen mikowski ruimte. Je ziet dat de metriek totaal anders is. Dit wordt een Poincarré metriek genoemd.

@Flappelap Hopelijk gaat het snel (al zal dat afhangen van het referentiestelsel) beter.
Je bedoelt dat ik moet vertrekken van

\(\zeta_{\alpha;\beta} + \zeta_{\beta;\alpha}=0\)

Dus met ; ipv ,. Ik dacht dat , volstond maar zal het nog eens nakijken.

Ik zie duidelijk (ook) een "Minkowski metriek".
Kun je mij dat uitleggen?

Leer ik misschien ook weer es wat en tis alweer een tijd geleden dat ik me bezig gehouden met dergelijks .. en ja wanneer gebruik ik het nou behalve bij het bestuderen ervan.

In ieder geval is het toch logisch dat Christoffel symbolen zijn allemaal nul in een Minkowski ruimte. Er is immers geen zwaartekracht/geen kromming in ruimtetijd.

Dus ben erg benieuwd naar Flappelap zijn uitleg.

Maar trouwens, wat je in je eerste bericht zegt over dat Wikipedia zonder bewijs (afleiding) een killing vectorveld geeft gaat immers ook via de Poincaré metriek.

Maar goed, ik zal me er eerst weer eens even in verdiepen en om me heen vragen .. en ben dus erg benieuwd naar Flappelap zijn uitleg.

De Killing vergelijkingen zijn in het algemeen
De christoffel symbolen voor onze Poincare metriek die ongelijk aan nul zijn, zijn
De drie Killing vergelijkingen worden dan
Nu ga ik me er even makkelijk van afmaken: je kunt vrij eenvoudig inzien dat de volgende vector deze differentiaalvergelijkingen oplost:
En zoals je zegt klopt dat ook: als je in de x-richting beweegt, dan veranderen de componenten van de metriek immers niet. De andere oplossingen laat ik je zelf maar even vinden; dit is volgens mij een maximaal symmetrische ruimte, dus zouden er 1/2*2*3=3 Killing vectoren moeten zijn (vergelijk de Euclidische ruimte in 2 dimensies: daar heb je 2 ruimtelijke translaties en 1 rotatie, dus ook 2+1=3 Killing vectoren).