Killing vectoren

Moderator: physicalattraction

Gebruikersavatar
Berichten: 221

Killing vectoren

Ik ben Killing vectoren wat gedetailleerder aan het bestuderen. Ik vind voorbeelden terug om Killing vectoren te vinden voor Minkowski tijd ruimte, je vindt dan boosts terug. Voor statische symmetriche oplossingen kan je \(\frac{\partial}{\partial\theta}\), \(\frac{\partial}{\partial\phi}\) en \(\frac{\partial}{\partial t}\) terugvinden. De onderliggende berekeningen zijn te begrijpen, maar niet zo triviaal om er zomaar zelf op te komen.

Op wikipedia staat zonder bewijs dat voor \(g=y^{-2} (dx^{2}+dy^{2} )\) de Killing vector \(\frac{\partial}{\partial x}\) is.

Op zich zie ik wel dat de metriek niet verandert in de x richting, maar hoe vind je dat terug?

Ik veronderstel dat je vertrekt van

\(\zeta_{\alpha,\beta} + \zeta_{\beta,\alpha}=0\)

Maar wat dan?

Gebruikersavatar
Berichten: 221

Re: Killing vectoren

Alternatief vertrekpunt kan zijn

\(\mathcal{L}_{\zeta}g_{\alpha\beta} = 0\)

Dan heb je

\(\zeta^{\mu} \partial_{\mu} g _{\alpha\beta} + \partial_{\alpha} \zeta^{\mu} g _{\mu\beta} + \partial_{\beta} \zeta^{\mu} g _{\alpha\mu}= 0\)

Gebruikersavatar
Berichten: 221

Re: Killing vectoren

Stel \(\alpha = 0\) en \(\beta = 0\)

\(\zeta^{\mu} \partial_{\mu} g _{00} + \partial_{0} \zeta^{\mu} g _{\mu0} + \partial_{0} \zeta^{\mu} g _{0\mu}= 0\)

\(\zeta^{0} \partial_{0} g _{00} + \zeta^{1} \partial_{1} g _{00}
+ \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} + \partial_{0} \zeta^{1} g _{10}
+ \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} + \partial_{0} \zeta^{1} g _{01}= 0\)


Buiten de diagonalen is \(g\) overal 0, dus

\(\zeta^{0} \partial_{0} g _{00} + \zeta^{1} \partial_{1} g _{00}
+ \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} + \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} = 0\)


\(g_{00}\) is onafhankelijk van \(x\), dus \(\partial_{0} g _{00}\) is 0.

\(\zeta^{1} \partial_{1} g _{00}
+ \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} + \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} = 0\)


\(\zeta^{1} \partial_{1} g _{00}
+ 2\partial_{0} \zeta^{0} g _{00} = 0\)


We hebben \(g_{00}=y^{-2}\), dus

\(\zeta^{1} (-2)y^{-3}
+ 2\partial_{0} \zeta^{0} y^{-2} = 0\)


\(-\zeta^{1} y^{-3}
+ \partial_{0} \zeta^{0} y^{-2} = 0\)


Ik deel dan \( y^{-2}\) weg.

\(-\zeta^{1} y^{-1}
+ \partial_{0} \zeta^{0} = 0\)


Dit zou dan gedaan kunnen worden voor alle combinaties van \(\alpha\) en \(\beta\). Is dat het juiste spoor?

Gebruikersavatar
Berichten: 221

Re: Killing vectoren

Nu met \(\alpha = 1\) en \(\beta = 1\)

\(\zeta^{\mu} \partial_{\mu} g _{11} + \partial_{1} \zeta^{\mu} g _{\mu1} + \partial_{1} \zeta^{\mu} g _{1\mu}= 0\)

\(\zeta^{0} \partial_{0} g _{11} + \zeta^{1} \partial_{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{0} g _{01} + \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{0} g _{10} + \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}= 0\)


Buiten de diagonalen is \(g\) overal 0, dus

\(\zeta^{0} \partial_{0} g _{11} + \zeta^{1} \partial_{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}= 0\)


\(g_{11}\) is onafhankelijk van \(x\), dus \(\partial_{0} g _{11}\) is 0.

\(\zeta^{1} \partial_{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}= 0\)


\(\zeta^{1} \partial_{1} g _{11}
+ 2\partial_{1} \zeta^{1} g _{11}
\)


We hebben \(g_{11}=y^{-2}\), dus

\(\zeta^{1} (-2)y^{-3}
+ 2\partial_{0} \zeta^{1} y^{-2} = 0\)


\(-\zeta^{1} y^{-3}
+ \partial_{0} \zeta^{1} y^{-2} = 0\)


Ik deel dan \( y^{-2}\) weg.

\(-\zeta^{1} y^{-1}
+ \partial_{0} \zeta^{1} = 0\)

Gebruikersavatar
Berichten: 221

Re: Killing vectoren

Stel \(\alpha = 0\) en \(\beta = 1\)

\(\zeta^{\mu} \partial_{\mu} g _{01} + \partial_{0} \zeta^{\mu} g _{\mu1} + \partial_{1} \zeta^{\mu} g _{0\mu}= 0\)

\(\zeta^{0} \partial_{0} g _{01} + \zeta^{1} \partial_{1} g _{01}
+ \partial_{0} \zeta^{0} g _{01} + \partial_{0} \zeta^{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{0} g _{00} + \partial_{1} \zeta^{1} g _{01}= 0\)


Buiten de diagonalen is \(g\) overal 0, dus

\(\partial_{0} \zeta^{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{0} g _{00} = 0\)


\(g_{00}\) en \(g_{11}\) zijn gelijk dus dat delen we weg.

\(\partial_{0} \zeta^{1}
+ \partial_{1} \zeta^{0} = 0\)


Maar ook dan zijn we er nog niet...

Gebruikersavatar
Berichten: 221

Re: Killing vectoren

Hoe halen we hieruit de Killing vector \(\frac{\partial}{\partial x}\) of \(\zeta = (1,0)\)?

Gebruikersavatar
Lorentziaan
Berichten: 1.221

Re: Killing vectoren

De Christoffel symbolen zijn allemaal nul in een Minkowski ruimte.

Misschien helpt dit:


Vind de vraag verder een beetje vaag .. with all due respect. Hopelijk geeft Flappelap je een meer bevredigend antwoord
Condemnant Quod Non Intellegunt

Berichten: 871

Re: Killing vectoren

TommyWhite schreef: di 07 sep 2021, 04:35 De Christoffel symbolen zijn allemaal nul in een Minkowski ruimte.

Misschien helpt dit:


Vind de vraag verder een beetje vaag .. with all due respect. Hopelijk geeft Flappelap je een meer bevredigend antwoord
Dit is volgens mij geen minkowski ruimte.

@TS: je Killing vergelijking mist nog covariante afgeleiden, oftewel Christoffel symbolen. Als ik er aan toe kom, zal ik het uitwerken, maar lig nu met een emmer naast me op de bank ziek te wezen 🤮🤣

Gebruikersavatar
Berichten: 7.004

Re: Killing vectoren

Oh - dat is niet best. Beterschap!

Gebruikersavatar
Lorentziaan
Berichten: 1.221

Re: Killing vectoren

flappelap schreef: di 07 sep 2021, 11:32
TommyWhite schreef: di 07 sep 2021, 04:35 De Christoffel symbolen zijn allemaal nul in een Minkowski ruimte.

Misschien helpt dit:


Vind de vraag verder een beetje vaag .. with all due respect. Hopelijk geeft Flappelap je een meer bevredigend antwoord
Dit is volgens mij geen minkowski ruimte.

@TS: je Killing vergelijking mist nog covariante afgeleiden, oftewel Christoffel symbolen. Als ik er aan toe kom, zal ik het uitwerken, maar lig nu met een emmer naast me op de bank ziek te wezen 🤮🤣
Jazeker wel. (Over dikgedrukte.) Wat doet je denken dat dat niet zo is? Na nog een keer kijken is het misschien niet de meest duidelijke uitleg.

Dus en maar eerst maar beterschap!👍
Condemnant Quod Non Intellegunt

Gebruikersavatar
Berichten: 221

Re: Killing vectoren

@TommyWhite Dit is zeker geen mikowski ruimte. Je ziet dat de metriek totaal anders is. Dit wordt een Poincarré metriek genoemd.

@Flappelap Hopelijk gaat het snel (al zal dat afhangen van het referentiestelsel) beter.
Je bedoelt dat ik moet vertrekken van

\(\zeta_{\alpha;\beta} + \zeta_{\beta;\alpha}=0\)

Dus met ; ipv ,. Ik dacht dat , volstond maar zal het nog eens nakijken.

Gebruikersavatar
Lorentziaan
Berichten: 1.221

Re: Killing vectoren

Ik zie duidelijk (ook) een "Minkowski metriek".
Kun je mij dat uitleggen?

Leer ik misschien ook weer es wat en tis alweer een tijd geleden dat ik me bezig gehouden met dergelijks .. en ja wanneer gebruik ik het nou behalve bij het bestuderen ervan.
Condemnant Quod Non Intellegunt

Gebruikersavatar
Lorentziaan
Berichten: 1.221

Re: Killing vectoren

In ieder geval is het toch logisch dat Christoffel symbolen zijn allemaal nul in een Minkowski ruimte. Er is immers geen zwaartekracht/geen kromming in ruimtetijd.

Dus ben erg benieuwd naar Flappelap zijn uitleg.
Condemnant Quod Non Intellegunt

Gebruikersavatar
Lorentziaan
Berichten: 1.221

Re: Killing vectoren

Maar trouwens, wat je in je eerste bericht zegt over dat Wikipedia zonder bewijs (afleiding) een killing vectorveld geeft gaat immers ook via de Poincaré metriek.

Maar goed, ik zal me er eerst weer eens even in verdiepen en om me heen vragen .. en ben dus erg benieuwd naar Flappelap zijn uitleg.
Condemnant Quod Non Intellegunt

Berichten: 871

Re: Killing vectoren

De Killing vergelijkingen zijn in het algemeen
\( \partial_{\mu}\xi_{\nu} + \partial_{\nu}\xi_{\mu} + 2 \Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}\xi_{\lambda} = 0 \)
De christoffel symbolen voor onze Poincare metriek die ongelijk aan nul zijn, zijn
\( \Gamma^{x}_{yx} = \frac{-1}{y}, \ \ \ \Gamma^{y}_{xx} = \frac{1}{y}, \ \ \ \Gamma^{y}_{yy} = \frac{-1}{y} \)
De drie Killing vergelijkingen worden dan
\( \partial_{x}\xi_{x} + \frac{1}{y}\xi_y = 0 \\
\partial_{y}\xi_{y} - \frac{1}{y}\xi_y = 0 \\
\partial_{x}\xi_{y} + \partial_{y}\xi_{x} - \frac{2}{y}\xi_y = 0 \)
Nu ga ik me er even makkelijk van afmaken: je kunt vrij eenvoudig inzien dat de volgende vector deze differentiaalvergelijkingen oplost:
\( \xi_{\mu} = (1,0) \)
En zoals je zegt klopt dat ook: als je in de x-richting beweegt, dan veranderen de componenten van de metriek immers niet. De andere oplossingen laat ik je zelf maar even vinden; dit is volgens mij een maximaal symmetrische ruimte, dus zouden er 1/2*2*3=3 Killing vectoren moeten zijn (vergelijk de Euclidische ruimte in 2 dimensies: daar heb je 2 ruimtelijke translaties en 1 rotatie, dus ook 2+1=3 Killing vectoren).

Reageer