Cartans structuur vergelijkingen om Christoffel symbolen te berekenen
Geplaatst: ma 13 sep 2021, 00:40
Ik wil voor de Poincarré metriek de Christoffel symbolen bepalen op basis van Cartans structuur vergelijkingen. Andere methodes zijn al aan bod gekomen in het topic over de Killing vectoren.
$$ds^2 = y^{-2}dx^2 + y^{-2}dy^2$$
Ik introduceer een niet coordinaten orthonormale basis met orthogonale one-forms
$$ds^2 = (\omega^{\hat{x}})^2 + (\omega^{\hat{y}})^2$$
, dus we kunnen de nieuwe basis identificeren als
$$\omega^{\hat{x}} = y^{-1}dx $$
$$\omega^{\hat{y}} = y^{-1}dy $$
Ik bereken de "exterior" differentialen.
$$d (\omega^{\hat{x}}) = d(y^{-1}dx) = - y^{-2} dy \wedge dx = - \omega^{\hat{y}} \wedge \omega^{\hat{x}} = \omega^{\hat{x}} \wedge \omega^{\hat{y}}$$
$$d (\omega^{\hat{y}}) = d(y^{-1}dy) = 0$$
$$d (\omega^{\hat{x}}) = -\Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{i}} \wedge \omega^{\hat{i}} = -\Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{x}} \wedge \omega^{\hat{x}} - \Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{y}} \wedge \omega^{\hat{y}} $$
Dus
$$\Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{y} } = - \omega^{\hat{x}}$$
$$\Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{y} \hat{x}} = -1$$
De transformatiematrices zijn:
$$
\Lambda^{\hat{a}}_{\;b} = \begin{bmatrix}
y^{-1} & 0 \\
0 & y^{-1} \\
\end{bmatrix}
$$
$$
(\Lambda^{-1}) ^{a}_{\;\hat{b}} = \begin{bmatrix}
y & 0 \\
0 & y \\
\end{bmatrix}
$$
, bij gevolg is
$$\Gamma^{x}_{\;yx} = (\Lambda^{-1}) ^{x}_{\;\hat{x}} \Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{y} \hat{x}}
(\Lambda) ^{y}_{\;\hat{y}} (\Lambda) ^{x}_{\;\hat{x}} = -y^{-1} $$
Hoewel dit juist is qua uitkomst, denk ik dat er iets mis is. De andere Christoffelsymbolen kom ik allemaal nul uit. Terwijl dat niet zo is (zie topic over Killing vectoren).
Ik baseer mij op Relativity Demistified (hoofdstuk 5) voor de procedure. Ik vind niet zoveel info op het internet over de procedure.
$$ds^2 = y^{-2}dx^2 + y^{-2}dy^2$$
Ik introduceer een niet coordinaten orthonormale basis met orthogonale one-forms
$$ds^2 = (\omega^{\hat{x}})^2 + (\omega^{\hat{y}})^2$$
, dus we kunnen de nieuwe basis identificeren als
$$\omega^{\hat{x}} = y^{-1}dx $$
$$\omega^{\hat{y}} = y^{-1}dy $$
Ik bereken de "exterior" differentialen.
$$d (\omega^{\hat{x}}) = d(y^{-1}dx) = - y^{-2} dy \wedge dx = - \omega^{\hat{y}} \wedge \omega^{\hat{x}} = \omega^{\hat{x}} \wedge \omega^{\hat{y}}$$
$$d (\omega^{\hat{y}}) = d(y^{-1}dy) = 0$$
$$d (\omega^{\hat{x}}) = -\Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{i}} \wedge \omega^{\hat{i}} = -\Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{x}} \wedge \omega^{\hat{x}} - \Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{y}} \wedge \omega^{\hat{y}} $$
Dus
$$\Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{y} } = - \omega^{\hat{x}}$$
$$\Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{y} \hat{x}} = -1$$
De transformatiematrices zijn:
$$
\Lambda^{\hat{a}}_{\;b} = \begin{bmatrix}
y^{-1} & 0 \\
0 & y^{-1} \\
\end{bmatrix}
$$
$$
(\Lambda^{-1}) ^{a}_{\;\hat{b}} = \begin{bmatrix}
y & 0 \\
0 & y \\
\end{bmatrix}
$$
, bij gevolg is
$$\Gamma^{x}_{\;yx} = (\Lambda^{-1}) ^{x}_{\;\hat{x}} \Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{y} \hat{x}}
(\Lambda) ^{y}_{\;\hat{y}} (\Lambda) ^{x}_{\;\hat{x}} = -y^{-1} $$
Hoewel dit juist is qua uitkomst, denk ik dat er iets mis is. De andere Christoffelsymbolen kom ik allemaal nul uit. Terwijl dat niet zo is (zie topic over Killing vectoren).
Ik baseer mij op Relativity Demistified (hoofdstuk 5) voor de procedure. Ik vind niet zoveel info op het internet over de procedure.