Cartans structuur vergelijkingen om Christoffel symbolen te berekenen

Moderator: physicalattraction

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 365

Cartans structuur vergelijkingen om Christoffel symbolen te berekenen

Ik wil voor de Poincarré metriek de Christoffel symbolen bepalen op basis van Cartans structuur vergelijkingen. Andere methodes zijn al aan bod gekomen in het topic over de Killing vectoren.

$$ds^2 = y^{-2}dx^2 + y^{-2}dy^2$$
Ik introduceer een niet coordinaten orthonormale basis met orthogonale one-forms
$$ds^2 = (\omega^{\hat{x}})^2 + (\omega^{\hat{y}})^2$$
, dus we kunnen de nieuwe basis identificeren als
$$\omega^{\hat{x}} = y^{-1}dx $$
$$\omega^{\hat{y}} = y^{-1}dy $$
Ik bereken de "exterior" differentialen.
$$d (\omega^{\hat{x}}) = d(y^{-1}dx) = - y^{-2} dy \wedge dx = - \omega^{\hat{y}} \wedge \omega^{\hat{x}} = \omega^{\hat{x}} \wedge \omega^{\hat{y}}$$
$$d (\omega^{\hat{y}}) = d(y^{-1}dy) = 0$$
$$d (\omega^{\hat{x}}) = -\Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{i}} \wedge \omega^{\hat{i}} = -\Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{x}} \wedge \omega^{\hat{x}} - \Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{y}} \wedge \omega^{\hat{y}} $$
Dus
$$\Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{y} } = - \omega^{\hat{x}}$$
$$\Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{y} \hat{x}} = -1$$
De transformatiematrices zijn:
$$
\Lambda^{\hat{a}}_{\;b} = \begin{bmatrix}
y^{-1} & 0 \\
0 & y^{-1} \\
\end{bmatrix}
$$
$$
(\Lambda^{-1}) ^{a}_{\;\hat{b}} = \begin{bmatrix}
y & 0 \\
0 & y \\
\end{bmatrix}
$$
, bij gevolg is
$$\Gamma^{x}_{\;yx} = (\Lambda^{-1}) ^{x}_{\;\hat{x}} \Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{y} \hat{x}}
(\Lambda) ^{y}_{\;\hat{y}} (\Lambda) ^{x}_{\;\hat{x}} = -y^{-1} $$

Hoewel dit juist is qua uitkomst, denk ik dat er iets mis is. De andere Christoffelsymbolen kom ik allemaal nul uit. Terwijl dat niet zo is (zie topic over Killing vectoren).

Ik baseer mij op Relativity Demistified (hoofdstuk 5) voor de procedure. Ik vind niet zoveel info op het internet over de procedure.

Berichten: 923

Re: Cartans structuur vergelijkingen om Christoffel symbolen te berekenen

Ik zou de specifieke berekeningen erbij moeten pakken, maar ik vind de manier waarop je boek dit uiteenzet nogal karig. Wiskundigen hanteren ook een andere terminologie dan natuurkundigen. Ik zou b.v. es kijken bij Sean Carroll,

https://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019

en dan hoofdstuk 3. Natuurkundigen spreken over het Vielbein en de spin connectie. De reden waarom deze velden nodig zijn, is omdat je anders alleen tensoriële velden aan zwaartekracht kunt koppelen. Als je wilt weten hoe b.v. een elektron (spin 1/2) op zwaartekracht reageert, dan heb je het vielbein en de spin connectie nodig.

Je komt dit formalisme ook weer tegen als je de algemene relativiteitstheorie afleidt als een ijktheorie van de Poincaré algebra, maar dat terzijde.

Gebruikersavatar
Berichten: 365

Re: Cartans structuur vergelijkingen om Christoffel symbolen te berekenen

Ik zal het bekijken in Carroll. Ik had zelf niet de link gelegd met die passage, want gebruik de tekst van Carroll ook wel. Is wel een van de moeilijkere passages in zijn tekst, die ik tot nu toe altijd wat heb overgeslagen.

In relativity demistified wordt de techniek toegepast op de Tolman-Bondi-de Sitter metriek voor de Christoffel symbolen te berekenen. Verderop gebruiken ze de techniek nog een paar keer voor de Riemann Tensor te berekenen o.a. bij het afleiden van de Schwarzschild metriek. Allemaal heel goed te begrijpen en komt allemaal mooi uit. Maar er moet nog iets ontbreken in het verhaal denk ik.

Berichten: 923

Re: Cartans structuur vergelijkingen om Christoffel symbolen te berekenen

Wat "moet" er ontbreken volgens jou? Of doel je op je berekening van die Christoffel symbolen?

Gebruikersavatar
Berichten: 365

Re: Cartans structuur vergelijkingen om Christoffel symbolen te berekenen

Ik ben er niet zelf op gekomen, maar ik had de vraag ook op SE gezet.

https://physics.stackexchange.com/quest ... -formalism

De comment van MBN wees mij erop dat \(\Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{x} }\) niet nul hoeft te zijn maar gelijk kan zijn aan \(a \omega^{\hat{x}}\) want \(a \omega^{\hat{x}} \wedge \omega^{\hat{x}}\) is ook 0. Dat maakt wel veel duidelijk. Daarmee is het natuurlijk nog niet opgelost, want dan heb ik die \(a\) nog niet.

Nu snap ik ook waarom in het boek overal staat 'we guess' en 'we estimate' in de context van die passages. Je kan die Ricci rotation coëfficiënten niet eenduidig vastleggen op bovenstaande manier. Dat is maar een gok. Dat is het inzicht dat mij ontbrak.

Ik weet niet of ik nu nog verder kan geraken. Op zich kan je natuurlijk altijd de Christoffel symbolen bereken via de twee ander methodes. De tegenstrijdigheid tussen de berekeningsmethodes is wel opgelost. En dat is het belangrijkste.

Gebruikersavatar
Berichten: 365

Re: Cartans structuur vergelijkingen om Christoffel symbolen te berekenen

Bij deze keuze van de Ricci rotatie coëfficiënten zoals nu gedaan komt het uit, maar de stap waar je deze kiest, blijft wat gokwerk.

$$ds^2 = y^{-2}dx^2 + y^{-2}dy^2.$$

Ik introduceer een niet coordinaten orthonormale basis met orthogonale one-forms

$$ds^2 = (\omega^{\hat{x}})^2 + (\omega^{\hat{y}})^2.$$

, dus we kunnen de nieuwe basis identificeren als

$$\omega^{\hat{x}} = y^{-1}dx $$
$$\omega^{\hat{y}} = y^{-1}dy. $$

Ik bereken de "exterior" differentialen.

$$d (\omega^{\hat{x}}) = d(y^{-1}dx) = - y^{-2} dy \wedge dx = - \omega^{\hat{y}} \wedge \omega^{\hat{x}} = \omega^{\hat{x}} \wedge \omega^{\hat{y}}$$
$$d (\omega^{\hat{y}}) = d(y^{-1}dy) = 0$$
$$d (\omega^{\hat{x}}) = -\Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{i}} \wedge \omega^{\hat{i}} = -\Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{x}} \wedge \omega^{\hat{x}} - \Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{y}} \wedge \omega^{\hat{y}} $$


$$\Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{y} } = - \omega^{\hat{x}}, \,\,\,
\Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{x} } = \omega^{\hat{y}}$$

$$\Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{y} \hat{x}} = -1, \,\,\, \Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{x} \hat{y}} = -1$$



$$\Gamma^{\hat{y}}_{\;\hat{y} } = - \omega^{\hat{y}}, \,\,\,
\Gamma^{\hat{y}}_{\;\hat{x} } = \omega^{\hat{x}}$$

$$\Gamma^{\hat{y}}_{\;\hat{y} \hat{y}} = -1, \,\,\, \Gamma^{\hat{y}}_{\;\hat{x} \hat{x}} = 1$$

Transformatie matrices zijn:
$$
\Lambda^{\hat{a}}_{\;b} = \begin{bmatrix}
y^{-1} & 0 \\
0 & y^{-1} \\
\end{bmatrix}
$$
$$
(\Lambda^{-1}) ^{a}_{\;\hat{b}} = \begin{bmatrix}
y & 0 \\
0 & y \\
\end{bmatrix},
$$
dus
$$\Gamma^{x}_{\;yx} = (\Lambda^{-1}) ^{x}_{\;\hat{x}} \Gamma^{\hat{x}}_{\;\hat{y} \hat{x}}
(\Lambda) ^{y}_{\;\hat{y}} (\Lambda) ^{x}_{\;\hat{x}} = -y^{-1} $$

De andere Christoffel symbolen kunnen gelijkaardig berekend worden.

Oplossingen zijn correct.

$$\Gamma^{x}_{xx} = 0, \ \ \ \Gamma^{x}_{yx} = \frac{-1}{y}, \ \ \ \Gamma^{y}_{xx} = \frac{1}{y}, \ \ \ \Gamma^{y}_{yy} = \frac{-1}{y}$$

Reageer