De schwarzschildmetriek in het xy-vlak

Moderator: physicalattraction

Gebruikersavatar
Berichten: 1.605

Re: De schwarzschildmetriek in het xy-vlak

Beste Professor,

Ergens is er een foutje bij jouw ingeslopen. Jij krijgt een dubbele afbuighoek van \(3.5"\) ipv \(1.75"\). Dat heb ik op twee verschillende manieren aangetoond.

Ik loop nu jouw afleiding bottom top door. Mijn top down methode was in jouw verkeerde keelgat geschoten.

Ik ben onder de indruk van jouw algebra kwaliteiten. Ik wenste dat ik die had. Hier een beknopte samenvatting zonder kleine vereenvoudigingen:

Standaard startpunt Schwarzschild:
kan ik volgen
Professor Puntje schreef: wo 15 sep 2021, 15:26
\( ds^2 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 \mathrm{d}t^2 + \frac{\mathrm{d}r^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + r^2 \mathrm{d}\alpha^2 \,\,\,\,\,\, (1) \)
\( dx^2 + dy^2 = r^2 d\alpha^2 + dr^2 \,\,\,\,\,\,\, (2) \)
\( ds^2 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 + \frac{\frac{r_s}{r} d r^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + d x^2 + dy^2 \,\,\,\,\,\,\, (3)\)
Substitutie dr door dx dy:
kan ik volgen
Professor Puntje schreef: wo 15 sep 2021, 16:16 En verder:
\( r^2 = x^2+ y^2 \)
\( dr = \frac{x dx + y dy}{r} \,\,\,\,\,\,\, (4) \)
\( ds^2 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 + \frac{(x dx + y dy)^2}{r^2} \frac{r_s}{r - r_s} + d x^2 + dy^2 \,\,\,\,\,\,\, (5) \)
Hier de beruchte stap waarbij dy word verwaarloosd (kan ik volgen):
HIER ZIJN WIJ HET BEIDE EENS DE ASSYMETRISCHE TERM \(x^2/r^2\) BLIJFT ALLEEN OVER. JIJ NOEMT HET ANDERS MAAR WIJ ZEGGEN HETZELFDE!!! DE OORZAAK VAN DE PIEKEN. IK WIL MIJ NIET NATUURKUNDIG INMENGEN.

Eindformule:
Volgens mij is nog ergens iets met een min teken aan de hand. Er is verschil met mathpages en wiki. Aangezien jouw afleiding kwaliteiten beter zijn vertrouw ik jouw.
Professor Puntje schreef: wo 15 sep 2021, 16:43 Op MathPages wordt dan dy in (5) verwaarloosd, zodat je krijgt:
\( ds^2 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 + \frac{(x dx)^2}{r^2} \frac{r_s}{r - r_s} + d x^2 \)
\( ds^2 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 + \left ( \frac{x^2}{r^2} \frac{r_s}{r - r_s} + 1 \right ) d x^2 \,\,\,\,\,\,\, (6) \)
Wat math pages doet:
Bovenstaande formule delen door \((d \tau)^2\):
$$c(r)=\frac{dx}{dt}\sqrt{-\frac{g_{tt}}{g_{xx}}}\\
g_{tt}=\left( d \tau/dt \right)^{2}
\\g_{xx}=\left( d \tau/dx \right)^{2}$$
$$c(r)=\sqrt{\frac{1-\frac{r_s}{r}}{1+\frac{r_s}{r}\frac{x^2}{r^2}\left(
\frac{1}{1-r_s/r} \right)}}$$
En tenslotte de hoekverdeling \(d \varphi /dx\) en \(r^2=x^2+y^2\) waar het om gaat (welke ik numeriek oplos):
$$\frac{\partial c(r)}{\partial y}= \frac{d \varphi}{dx}$$

Jou methode:
Om eerlijk te zijn kan ik de rest moeilijk volgen hoe jij tot de hoekverdeling \(d \varphi /dx\) komt.

Stap 1 doel: \(d \varphi/dx\):
Kan ik volgen maar ben niet overtuigd of dit correct is. Staat NIET zo in mathpages. Maar accepteer voorlopig dat het correct is
Professor Puntje schreef: do 16 sep 2021, 20:59
buiging.png
buiging.png (36.52 KiB) 286 keer bekeken
Even herhalen wat MathPages met Huygens' principe doet. Dat komt op het volgende neer:
\( \mathrm{d} \varphi = \tan( \mathrm{d} \varphi ) \)
\( \mathrm{d}\varphi = \frac{ (x_{R+dR}(t + \mathrm{d}t) - x_{R+dR}(t)) \, - \, (x_R(t + \mathrm{d}t) - x_R(t)) )}{\mathrm{d}R} \)
\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\partial}{\partial R} \left ( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t} \right ) }{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} \,\,\,\,\,\,\,\, (7) \)
Stap 2 doel: \(dx^2/dt^2\):
Kan ik niet helemaal volgen. Moet je de tijd element ook nul stellen? Is dit eigenlijk al: \(c(r)\) wat je berekend?
Professor Puntje schreef: do 16 sep 2021, 22:03 Voor een lichtstraal hebben we ds = 0, dus de in (6) toegepaste MathPages-benadering dy=0 levert dan op dat:
\( 0 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 + \left ( \frac{x^2}{r^2} \frac{r_s}{r - r_s} + 1 \right ) d x^2 \)
\( \frac{dx^2}{dt^2} = \frac{ (1 - \frac{r_s}{r})^2 }{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \cdot c^2 \,\,\,\,\,\,\,\, (8) \)
Stap 3 combinatie doel: \(d \varphi/dx\) bepalen:
Methodiek volg ik en ook jouw inbreng \(\ln\) maar weet niet of dat mag: zijn \(x\) en \(r\) linear??
Volgens mijn waarnemingen:
Het tussen resultaat \(c(r)\) geeft een foute deflectiehoek van \(3.5"\) ipv. \(1.75"\).
De eindformule \(d \varphi / dx\) geeft ook een foute deflectiehoek van \(3.5"\) ipv. \(1.75"\).
Betekend dat de afleiding tussenin correct is.
Professor Puntje schreef: do 16 sep 2021, 22:37
\( \frac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}t^2} = \frac{(1 - \frac{r_s}{r})^2}{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \cdot c^2 \,\,\,\,\,\,\,\, (6)\)
\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\partial}{\partial R} \left ( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t} \right ) }{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} \,\,\,\,\,\,\,\, (7) \)
Dat geeft:
\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\partial}{\partial R} \left ( \frac{\mathrm{d} x}{c \, \mathrm{d}t} \right ) }{\frac{\mathrm{d}x}{c \, \mathrm{d}t}} \)
\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\partial}{\partial R} \ln(\frac{\mathrm{d}x}{c \, \mathrm{d}t}) \)
\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\partial}{\partial R} \ln \left (\sqrt{\frac{\mathrm{d}x^2}{c^2 \mathrm{d}t^2}} \right ) \)
\(\)
\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial R} \ln \left (\frac{(1 - \frac{r_s}{r})^2}{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \right ) \)
********************************************************************************************************************************
IS DIT IN FEITE NIET c(r)???? WAAROM IS ER DAN EEN LOGARITME??? DIT SNAP IK NIET!!!!
$$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial R} c(r)$$
********************************************************************************************************************************
Professor Puntje schreef: do 16 sep 2021, 22:37 ----verdere vereenvoudiging komt uit op:
\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \left ( \frac{1}{ 1 - \frac{r_s}{r} } \, - \, \frac{1}{2} \frac{- 3 \frac{x^2}{r^2} + 1 }{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \right ) \cdot r_s \frac{R}{r^3} \,\,\,\,\,\,\, (9) \)
\(\)
Hopende op een serieuze reactie.

Groeten,

Vincent

Gebruikersavatar
Berichten: 1.605

Re: De schwarzschildmetriek in het xy-vlak

OOOVincentOOO schreef: za 18 sep 2021, 06:49 Wat math pages doet:
Bovenstaande formule delen door \((d \tau)^2\):
$$c(r)=\frac{dx}{dt}\sqrt{-\frac{g_{tt}}{g_{xx}}}\\
g_{tt}=\left( d \tau/dt \right)^{2}
\\g_{xx}=\left( d \tau/dx \right)^{2}$$
$$c(r)=\sqrt{\frac{1-\frac{r_s}{r}}{1+\frac{r_s}{r}\frac{x^2}{r^2}\left(
\frac{1}{1-r_s/r} \right)}}$$
En tenslotte de hoekverdeling \(d \varphi /dx\) en \(r^2=x^2+y^2\) waar het om gaat (welke ik numeriek oplos):
$$\frac{\partial c(r)}{\partial y}= \frac{d \varphi}{dx}$$
= teken gemist:
Zou echter duidelijk dienen te zijn voor iedereen die mathpages heeft bestudeerd.
$$c(r)=\frac{dx}{dt}=\sqrt{-\frac{g_{tt}}{g_{xx}}}$$

Reageer